函数对称性与周期性的几个性质

上海中学数学·2008年第4期 函数对称性与周期性的几个性质 343000江西省吉安师范学校杨文光 设厂(z)是定义在R上的函数，口、6、m为常 数． 性质1 满足fCx+n)=f(b—z)的函数 y一厂(z)的图象关于直线z一下a+b对称． 证明：设P(x+n，／’(z+丑))为函数Y一 厂(z)的图象上的任意一点，它关于直线z— a下+b的对称点为P7(6一z，厂(z+n))．因为厂(z +口)一f(b—z)，所以点P7也在函数y一厂(z) 的图象上．由P的任意性知：函数Y一厂(z)的图 象关于直线z=a下+b对称． 将f(x+口)一f(b—z)中的z+口以z代 换，得，(z)一尢(n+6)一z]，即 八z+口)一八b--x)C：Vf(x)一尢(n+6)一司． 特别地，当口+b=0时，即：偶函数的图象 关于Y轴对称． 性质2 满足f(x+口)⋯f(bz)的函 数Y一，(z)的图象关于点(下a+b，o)对称．(证 明类似于性质1)f(x+口)⋯f(bz)骨，(z)一一尢(口+ 6)一z] 特别地，当口+b=0时，即：奇函数的图象 关于原点对称． 推广 满足f(x+口)+，(6一z)一m的函 数Y一，(z)的图象关于点(生笋，罟)对称． f(x+n)+f(b—z)=m错，(z)+尢(口+ 6)一z]一m． 性质3 满足f(x+n)=f(z+6)(口≠6) 的函数Y一，(z)是周期函数，且口一b是其一个 周期． 证明：因为Ⅱz+(口一6)]=尢(z一6)+ 口]一尢(z一6)+6]一，(z)，所以厂(z)是以口 一b为周期的周期函数． f(x+口)=f(x+6)骨fix+(n一6)]一 八z)． 性质4 满足f(x+n)一一f(x+6)(口≠ 6)的函数Y=，(z)足周期函数，且2(a一6)是 其一个周期．(证明仿性质3) 将f(x+口)=一f(x+6)中的z以z十口一 26代换，得Ⅱz+2(a一6)]一，(z)，即，(z+口) 一一厂(z+6)㈢fEz+2(a--6)]一，(z)(n≠6)． 例1 函数Y=厂(z)在(0，2)上是增函数， y=f(x+2)是偶函数，则正确的大小关系是 ( )． A．刚)<，(导)<／’(吾) B．，(÷)<厂(号)<八1) c．厂(÷)<刖)<，(导) D．厂(导)<舯)<厂(÷)． 解 因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+ 2)=f(2一z)，由性质l，知函数，(z)的图象关 于直线z=2对称，又厂(z)在(o，2)上是增函 数，易知，(吾)一厂(÷)<，(·)‘<，(导)一 厂(导)．故选c． 例2 函数，(z)的定义域为z∈R，且z≠ 1，已知、f(x+1)为奇函数，当z<1时，厂(z)= 222一z一1，那么，当z>1时，，(z)的递减区间 是( )． A．睁+o。) B．(·，}] c．睁+o。) D．(，，÷] 解 因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+ 1)一一厂(1一z)，由性质2，知函数厂(z)的图象 关于点(1，o)对称，结合图象可知选C． 例3 已知定义在R上的奇函数，(z)满足 f(x+2)一f(x一2)，且f(3)一0，求证方程 ，(z)一0在区问(O，10)内的实根至少有7个． 万方数据 上海中学数学·2008年第4期 证明：由性质3，知4是，(z)的一个周期， 所以，(3)一，(7)一0，又，(z)是奇函数，所以 ，(O)=0=厂(4)=，(8)，一，(3)一，(一3)= ，(1)一，(5)=，(9)=0，故l，3，4，5，7，8，9是 根，但不排除还有其它根的可能，即方程，(z) 一0在(O，10)内至少有7个实根． 例4 设定义域为R的函数Y=，(z)的图 象有丽条对称轴z—a，z—b(a≠6)，求证： ，(z)是周期函数． 证明：由性质1，知，(z)=f(2a--x)，厂(z) =，(26一z)，所以，(2口一z)一，(26一z)．由性 质3，知，(z)是周期函数，且2(a一6)是其一个 周期． 注 若定义域为R的函数Y一，(z)的图 象有两条对称轴z=a，z=b(a≠6)，则此函数 的图象有无数条对称轴，它们分别是z—a+ 2k(a一6)或z—b十2k(a一6)，七∈z． 特别地，当b=0时，即： ～ 性质5 若偶函数八z)的图象关于直线z —a(a≠O)对称，则，(z)是以2n为周期的函数， 且图象有无数条对称轴，它们是z=勉，忌∈z． 例5 设有函数3，一，(z)，z∈R，证明：若 函数，(z)的图象关于直线z=口及点(6，c)(6 ≠口)对称，则此函数是周期函数． 证明：由性质1及性质2的推广，知．厂(z)= f(2a—z)①，，(z)+厂(26一z)=2c②，把①代 入②，得f(2a—z)=2c一，(2b—z)，z以z+ (上接第42页) 所成的角． 鹪：由(I)知A1Ej-面BEP，BE_LEF．建 立如图3所示的空间直角坐标系E_一划z． 则E(O，0，0)、A1(0，0，1)、B(2，0，O)、F(0， √手，o)、P(1，,／g，o)， ．．．布一(2，0，一1)，茚=(一1，厢，o)， ．．．对平面AlBP内的任一非零向蕞：，存在 不全为零的实数A、卢，威一A万商十产茚一(2A 一卢，而，一A)，窟一(o，o，一1)，．·．cos<万磕，左>一彘：————————————二i二—————一循万=嘶W 26—2口代换，得尢2口一(z+26—2n)]=2c一 尢26一(z+26—2口)]一2c—f(2a—z)一f(2b —z)，即尢(4a一2b)一z]一f(z6一z)，由性质 3，知，(z)是周期函数，且4(a一6)是其一个周 期． 注 若定义域为R的函数Y一，(z)的图 象关于直线z=a及点(6，c)(6≠口)对称，则此 函数的图象有无数条对称轴，它们是z—a+ 4k(a一6)，足∈z；有无数个对称点，它们是(6+ 4k(a——6)，f)，是∈Z． 特别地，当b—c=0时，即： 性质6 若奇函数，(z)的图象关于直线z =a(a≠O)对称，则-厂(z)是以4口为周期的函 数，且图象有无数条对称轴，它们是z一(4k+ 1)口，志∈z；有无数个对称点，它们是(4勉，o)，忌 ∈Z 例6(93年江苏省高中数学竞赛) 对任意整数z，厂(z)=f(x一1)+f(x+ 1)，且，(O)=9，厂(4)一93，则，(59)= 解 由厂(z)一，(z一1)+f(x+1)①，得 f(x+1)一，(z)+，(z+2)②，①+②，得f(x+2)⋯f(x1)，由性质4，知6是，(z)的一 个周期，所以 ，(59)一，(一1+6X10)=，(一1)一厂(一 2)+厂(0)一厂(4)+厂(O)产102． 。．．直线A1E与平NAlBP所成的角是万彦 与面A1BP内非零向量夹角中最小者，．’．可设．=I >0，从而<稿>=_：===兰==== √s一4等+4(等)‘ 1 ，一1页丽≮百’ ．．．石查耵夹角中最小值为60。，^直线 A1E与平面A1BP所成的角是60。． 以上方法各有利弊，我们要善于根据题目 的条件，灵活选择求线面角的方法． 万方数据 函数对称性与周期性的几个性质 作者： 杨文光 作者单位： 江西省吉安师范学校,343000 刊名： 上海中学数学 英文刊名： SCHOOL MATHEMATICS IN SHANGHAI 年，卷(期)： 2008，(4) 引用次数： 0次 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_shzxsx200804021.aspx 下载时间：2009年11月12日