第十四章

nullnull第14章 线性动态电路的 复频域分析null重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点null 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法null例一些常用的变换对数变换乘法运算变换为加法运算相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换null2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：正变换反变换null 积分域今后讨论的均为0  拉氏变换。[0 ,0＋]区间 f(t) =(t)时此项  0象函数F(s) 存在的条件：null如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足： 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。象函数F(s) 用大写字母示,如I(s)，U(s)原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)null3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数null(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数null14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质证null例1解例2解 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。null2. 微分性质证若足够大null例解利用导数性质求下列函数的象函数null推广：解null3.积分性质证应用微分性质null例解null4.延迟性质证null例1例2求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解null求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为一个周期的函数例3解null对于本题脉冲序列5.拉普拉斯的卷积定理null证null14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(3)把F(s)分解为简单项的组合部分分式展开法null利用部分分式可将F(s)分解为：象函数的一般形式待定常数null待定常数的确定：方法1方法2求极限的方法令s = p1null例解法1null解法2原函数的一般形式nullK1、K2也是一对共轭复数nullnull例解nullnull例解null n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 由F(s)求f(t) 的步骤： 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换null例解null14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示：1.基尔霍夫定律的运算形式根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路nullu=Ri2.电路元件的运算形式 电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路时域形式：null 电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路时域形式：null 电容C的运算形式C的运算电路时域形式：取拉氏变换,由积分性质得null 耦合电感的运算形式时域形式：取拉氏变换,由微分性质得互感运算阻抗null耦合电感 的运算电路null 受控源的运算形式受控源的运算电路时域形式：取拉氏变换null3. RLC串联电路的运算形式时域电路 拉氏变换 运算电路运算阻抗null运算形式的欧姆定律nullnull 电压、电流用象函数形式； 元件用运算阻抗或运算导纳表示； 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电路的运算形式例给出图示电路的运算电路模型。解t=0 时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路null注意附加电源t >0 运算电路null14.5 应用拉普拉斯变换法 分析线性电路由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。1. 运算法的计算步骤null例1(2) 画运算电路解(1) 计算初值电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。null(3) 应用回路电流法null(4)反变换求原函数null例2解画运算电路nullnullt = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。例3解计算初值画运算电路nullnullnullnull由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。 满足磁链守恒。nullnull14.6 网络函数的定义1. 网络函数H（s）的定义 线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。null由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应null例解画运算电路nullnull例解画运算电路null3. 应用卷积定理求电路响应 可以通过求网络函数H(s)与任意激励的象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。 nullK1=3 , K2= -3例解null14.7 网络函数的极点和零点1. 极点和零点当 s =zi 时，H(s)=0， 称 zi 为零点， zi 为重根，称为重零点；null2. 复平面（或s 平面） 在复平面上把 H(s) 的极点用‘  ’表示 ，零点用‘ o ’表示。零、极点分布图zi ， Pj 为复数null例绘出其极零点图。解nullnull14.8 极点、零点与冲激响应1. 网络函数与冲击响应冲击响应H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。nullH0=-10例解由已知的零、极点得：null2. 极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：当pi为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，当pi为正实根时，h(t)为增长的指数函数； 极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。null不稳定电路稳定电路null当pi为共轭复数时，h(t)为衰减或增长的正弦函数； 不稳定电路稳定电路null当pi为虚根时，h(t)为纯正弦函数，当Pi为零时，h(t)为实数； 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。null14.9 极点、零点与频率响应 令网络函数H(s)中复频率s =j，分析H(j)随变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。 对于某一固定的角频率null幅频特性相频特性例定性分析RC串联电路以电压uC为输出时电路的频率响应。解null一个极点null幅频特性相频特性null若以电压uR为输出时电路的频率响应为：