中学数学开放题初探

中学数学开放初探 从锦,数学计算机科学学院 摘 要：在应试教育向素质教育转变的今天，促进每个学生的发展是素质教育的核心.而数学开放题的核心正是培养学生的创造意识和创造能力, 数学开放题是一种新的教育理念的具体体现.本文对数学开放题的相关概念作简要论述，在此基础上总结数学题的基本形式（条件开放题、结论开放题、条件和结论同时开放题、策略开放题）和数学开放题的特殊形式（问题编写型、阅读理解型、数学建模型、列举元素型、寻找异同型、探索归纳型、型），并通过具体的例题进行形象说明，这对于学习数学开放题很有帮助. 关键词：数学开放题;素质教育；基本形式;特殊形式 The Middle School Mathematics Open Question Discussed Cong Jin, Mathematics & Computer Science Abstract: In should try education to quality education shift, and promote the development of each student is the core of quality education. And open mathematics questions is the core of the cultivation of the students' create consciousness and creative ability, open mathematics questions is a kind of new education concept concrete manifestation. In this paper, the concepts of open mathematics questions briefly discusses, on the basis of summing up the basic form of the math problem (condition open topic, the conclusion open topic, the conditions and conclusion and open topic, the strategy open questions) and open mathematics topic the special form (writing, reading comprehension questions type, mathematics model, list element type, look for similarities and differences between the type, type figuring, plan design type), and through the specific examples to illustrate, this study to open mathematics questions to have the help very much. Key words: open mathematics questions; Quality education; Basic form; Special form 1 引 言 数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革的亮点, 已日益引起我国数学教育界的注意, 逐渐成为数学教学改革的一个热点.在教学中有过很多开放题的例子，数学开放题要求学生不仅用数学知识，更重要的是用数学思想方法思考分析，经过自主探索创新解决问题．在解题过程中淡化技巧、考查能力、鼓励创新，使得“对题型，套解法”的经验式解题方法逐渐远离数学学习. 数学教学中的开放题一定要立足于大多数学生的数学现实.一般地, 一个好的数学开放题要具有“起点低, 入口宽, 拓展性强”的特点.给学生指明了一个广阔的探究空间, 因此减少了对学生的束缚, 学生可以根据自己的能力自由的驰骋在知识的海洋, 从中体会到自我探索的乐趣和对自己智能的挑战. 因此教育工作者要很好的了解数学开放题并在数学教学中灵活运用，让学生从数学教学中真正学有所获，学有所用，让素质教育培养出更多的人才. 2 数学开放题的概念 2.1 数学开放题的界定 什么是数学开放题, 现在还没有统一的定义,主要有如下的论述： (1)答案不固定或者条件不完备的习题, 我们称为开放题. (2)开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题. (3)有多种正确答案的问题是开放题. (4)这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会, 在解题过程中学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合, 去发现新的思想方法. (5) 答案不唯一的问题是开放性的问题. (6) 具有多种不同的解法, 或有多种可能的解答的问题, 称之为开放题. (7)问题不必有解, 答案不必唯一, 条件可以多余, 称之为开放题. 数学开放题, 通俗地说就是给学生以较大认知空间的题目.开放题是相对传统的封闭性问题而言的．为了便于学生理解，我们这样定义[1]：如果把一个问题系统N 分为已知条件Α、解题依据Β、解题思想方法C、结论D 四个要素，即N={A,B,C,D}，四要素齐备就叫封闭性问题，否则就叫做开放题． 2.2 数学开放题的特点 数学开放题一般具有以下几个特点: (1) 问题的条件常常是不完备的； (2) 问题的答案是不确定的； (3) 问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性； (4) 问题的研究具有探索性和发展性； (5) 问题的教学具有参与性和学生主体性. 2.3 数学开放题的教育作用 2.3.1 数学开放题对学生的教育作用 (1)有利于激发学生的学习兴趣 数学开放题可以做到教学形式的开放, 让学生既可以个别竞争, 又可以互相合作进行学习.学生在自由的教学氛围中轻松、愉快的学习, 有利于激发学生的好奇心和好胜心, 增强对数学学习的浓厚兴趣. (2)有利于学生发散性思维的培养 学生在解答数学开放题时, 一定要打破原有的封闭思维模式, 从多角度、多方位、多层次进行思考, 其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成. 在教学中，单一的教师讲解转变为师生共同研究探讨, 个体操作转变为集体交流合作, 有效地激发学生敢于思考问题、主动参与知识的建构过程. (3)有利于培养学生的创新意识 传统的封闭题答案是唯一的, 而在开放题的解答过程中, 没有固定的、现成的模式可循, 学生必须充分调动自己的知识储备, 用多种方法进行思考和探索因而开放题可以培养学生不断进取的精神, 培养学生的创新意识. 2.3.2 数学开放题对教师的教育作用 (1)开放题可以促进教师转变观念 开放题的出现以及对其教育功能的肯定, 不仅反映了人们数学教育观念的转变，同时也适应了飞速发展的时代的需要，是人们对于数学教学新模式的追求, 是人们站在新时代的前沿上对数学教育改革的新探索. 开放题课堂教学中的数学观是教师的数学观直接反映，如果教师能用动态的、全面的观点来理解数学, 那么他所采用的教学方法就会是启发式的,其教学观就是以学生为中心. (2)开放题可以促进教师转变角色 在开放题引入课堂后,教师从教学活动的主角, 变为主导者 ，不是单纯知识的传授者, 而是教学内容和教学活动的设计者、示范者、组织者、调控者. 开放题要求教师采取适当的教学策略大胆的把时间留给学生要, 让学生有机会去探索全面、正确的结论,教师又要善于把握全局, 调控好度, 凡是学生能提的问题, 教师决不代替；凡是学生能思考的间题, 教师决不暗示；凡是学生能解决的问题, 教师决不插手。让学生成为课堂的主角. 2.4 数学开放题的设计原则 开放题的题型有选放题的基本形式择题，填空题或解答题．设计原则主要有： (1)以课程为准则，以课本为蓝本． (2)科学性原则，语法上一定要严谨；文字上力求精练；表达必须流畅；立论必须准确无误，确保其科学性． (3)适中性原则，要立足于学生的数学现实，充分考虑学生己有的知识水 平和认知能力，必须扎根课本，即学在课本内，用在课本外． (4)开放性原则，要有足够的开放性，要根据学生的心理发展特征和习惯思维，设置一定的障碍，让学生必须经过自主探究，创造性地运用数学思想方法去分析解决问题． 3 数学开放题的类型 3.1 数学开放题的基本形式 3.1.1 条件开放型问题 条件开放型问题是指问题中的结论明确，但条件未知或不足．它要求学生从结论出发，执果索因，逆向思维，逐步探寻、推理，得出应具备的条件，进而进行解答．这是一类变换思维方向，开发逆向思维能力的好题型． 例1 设二次函数 的图象过点(2,0) , 请你再添上一个条件, 使得所求得的二次函数为 . 下面是对本题答案的探讨: 由已知二次函数 的图象过点(2,0) , 说明方程y=0 有一个根 , 方程 的两根为 , , 因此得到本小题的一个答案: (1)二次函数的图象过点(4,0) ( 或方程y = 0 有一个根为4) . 上述答案的变形: (2)方程y = 0 的两根之和为6. (3)方程y = 0 的两根之积为8. (4)方程y = 0 的两根的( 算术) 平均数为3( 或二次函数的图象抛物线的对称轴方程为x = 3. ) .由方程y = 0 有一个根为2, 就相当于给出一个关系式: , 即 .如能再给出一个条件, 由此得到另一个关于 , 的关系式, 这样就能解出 , 当然这一关系式必须满足 的要求, 于是需要”执果索因”, 由结果 .出发, 通过逆向思维, 倒推出关于 , 的关系式, 下面是一些答案: (5)二次函数图像过点( 5, 3) . ( 相当于给出关系式 ) . (6)二次函数的最小值为- 1. ( 相当于给出关系式 )实际上. 当然还有其它形式的答案.   3.1.2 结论开放型问题 结论开放型问题是指命题中的结论不确定，不唯一或结论需通过类比引伸推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论．它要求学生剖析题意，捕捉题问信息，分析图形特征，进行大胆猜想，从而获得结论，这种题型考察学生综合、分析、归纳、猜想、判断等能力． 例2[2] 在高二解析几何的抛物线一节中, 利用抛物线的焦点、准线、焦点弦等有关知识, 可设计如下的开放性内容: 图 1 图 2 图 3 1. 已知抛物线 (p>0) , 过焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点, P 是线段AB的中点. 试尽可能多地找出点A 、B、P 的六个坐标所满足的等量关系.(如图1) 对于本题, 学生一般都能或多或少地给出一些答案, 如： （1）在曲线上: , ; (2) 中点坐标公式: , ; (3) A 、B 、P、E 共线: ; (4) 焦点弦的斜率: ; (5) 中点P 的轨迹: ; (6) 焦点弦性质: ; .通过探索, 进一步还可以将“数”的开放转向“形”的开放, 提出下列问题: 2. 在上题中, 设抛物线的准线为l , 分别过点A 、B 、P 作x 轴的平行线, 依次交l 于点M、N 、Q , 连结FM 、FN 、FQ 、A Q 和BQ ( 图2) , 试尽能多地找出图中各线段的垂直关系.（如图2） 学生除了很快回答图中一些显而易见的线段垂直关系外, 至少还可通过观察、猜想, 推证出线段间的以下垂直关系: (1)FM⊥FN;(2)AQ⊥BQ;(3)AQ⊥FM;( 4)BQ⊥FN;(5) FQ⊥AB . 为了进一步开发学生的智力和能力, 还可将上述内容设计成下面的开放题: 3. 在上述问题中, 如果允许引辅助线, 你还能发现哪些结论?在教师的引导和启发下,学生至少还能发现以下结论(如图3): (1)以P为圆心、AB为直径的圆与准线相切,且切点为Q; (2)以Q为圆心,MN为直径的圆切AB于F点; (3)AQ与FM的交点,BQ与FN的交点均在y轴上; (4)AN与BM相交于坐标原点;等等. 3.1.3 条件和结论同时开放型问题 这类问题的特征是条件和结论都不确定，需要学生自主探索，它们之间有一种必然的内在联系，解决这类问题的基本思路是：结合图形，认真分析，找出合理的选择条件和由这些条件可导出的结论，然后进行推理证明. 例3 (2008年全国Ⅱ 16题)平面的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①： 充要条件②: (写出你认为正确的两个充要条件) 分析: 此题条件、结论均开放，要求学生综合与灵活地运用所学数学知识、 思想和方法，进行独立的思考、探索和研究。解决此类题关键是紧扣相关知识，合理运用类比、概括等方法，对相关知识进行合理迁移、融会，再对所得结果进行科学论证. 答案：(1)两组相对侧面分别平行； (2)一组相对侧面平行且相等； (3)对角线交于一点； (4)底面是平行四边形. 例4 如图4，给出五个等量关系：①AB=CD ②AC=BD ③AE=DE ④∠D=∠A ⑤∠ABC=∠DCB.请以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以说明. 分析：此题条件、结论均开放,灵活运用所学知识解决此类问题. 由题意可以想到要说明三角形全等，要利用其中BC=CB（公共边），∠AEB=∠DEC(对顶角)这两个隐含条件。若利用BC=CB（公共边）往往是先说明△ABC≌△DCB；当以①和②作为条件，③④⑤作为结论，本题组合还有其他情况，如以③和④为条件，以①②⑤为结论，这里就不举例了. 3.1.4 策略开放型问题 这类问题的特征是解题思路多种多样，解题时应充分利用开放功能，进行多角度的分析思考，考察培养思维的发散性和灵活性. 例5[3] 已知 ，用不同的方法求 的最大值和最小值. 分析: 求最大值和最小值的问题，最能联系联系函数的单调性、不等式、线性规划、导数、三角变换、坐标法等知识，是训练“多元联系表示”思想的好载体. 思路一 从函数观点出发，可以从约束条件中得到 ，从而有 = 应用倒数可以求出相应的最大值和最小值. 思路二 从代数角度考虑，如果令 ，那么 ，代入约束条件，有 由x是实数，利用判别式可得一个关于t的一元二次不等式，进而可得要求的值. 思路三 从线性规划角度看，可以把 看成可行域, 就是目标函数，这样就将问题转化为线性规划问题. 思路四 从坐标法看，如果令 ，这就是平行直线系, 表示圆.这样，问题就转化为直线与圆有交点时，求y轴上截距的最大值、最小值，求圆心到直线的距离等于半径时z的值. 思路五 由于约束条件是平方关系可以利用三角函数知识进行转换，即令 , 那么 由正弦函数的有界性立即可以得到所求的值. 一题多解是许多人熟悉的解题训练方法，它在提高数学解题能力方面的作用很大，但是如果仅仅是为了获得几种不同的解法，那就没有充分发挥一题多解在建立知识联系、灵活运用知识、实现不同表现形式的相互转化等方面的应用，这就会使通过解题加深知识理解、培养教学能力的目标难以实现.因此要给学生提供自主探究的时间和空间，鼓励学生积极思考创造自己的解题方法. 3.2 开放题的特殊形式 3.2.1 问题编写型 学习数学，不仅是为了能够解题，更重要的是熟练应用数学，观察分析给出的信息，根据所学的数学知识，利用数学的眼光和数学的思想方法编写符合实际的数学问题. 例1 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（4，5），B（0，2），C（6，4），请利用给定的条件展开联想编写符合数学事实的问题. 该题属于问题编写型开放题，通过添加适当的条件，可以编写多种类型题目.例如（1）已知R是△ABC内切圆的半径，求R的大小 （2）若G是△ABC的重心，求G点的坐标 （3）D、E、F分别是三角形中边BC，边CA，边AB的中点，D、E、F的坐标 （4）△ABC按 =（–1，4）平移后，得△A′B′C′，求A′，B′，C′的坐标 （5）求 : : （6）证明△ABC是钝角三角形，并求出∠A的大小 （7）G是△ABC的重心,求AG : BG : CG （8）M是△ABC的垂心，求M的坐标 （9）若P点在边AB所在的直线上，G是△ABC的重心,求| |的最小值，并求出取最小值时，点P的坐标 （10）G是△ABC的重心，求△BGC的面积 （11）求证A、B、C三点不共线 （12）D是边AB的中点，求证四边形ACDF是一个梯形 （13）求证 < （14）求 AB边上的高 （15）E是边BC的中点，G是△ABC的重心，求 的模 等 通过我们编写该题的过程发现，在编写的题目的过程中，我们可以结合给定的条件从不同的问题出发写题目，也可以添加适当的条件结合原有的条件进而提出合乎实际的问题. 3.2.2 阅读理解型 阅读是当代社会人们获取信息的最重要的途径之一，所以阅读能力的培养非常重要. 近几年来数学习题中出现了大量的阅读理解问题. 也就是要会用数学的眼光和头脑来观察和分析学习生活中遇到的问题. （1）阅读内容，归纳，总结，提炼数学思想方法; （2）阅读解题过程，辨别真伪，考查思维的批判性; （3）阅读给定的材料，用数学的眼光分析和解答相关问题; （4）阅读相关信息，通过归纳、探索，发现规律，得出结论; （5）阅读试题,用提供的新定义、新定理，解决新问题.　 例2 （2004年上海市高考题）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线” 两章内容体现出解析几何的本质是 . 分析：学习数学离不开做题，但更离不开阅读教材，要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉；从例题中提炼思想方法；从课外练习中学会解题技巧等等.如果我们注重对教材的阅读，并且在阅读中把握课本对知识体系的演绎、思想方法的展开，进而得出结论. 答案：解析几何的本质是：“用代数的方法研究几何图形的性质”. 例3[4] （2004年北京市高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{an} 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为，求这个数列的前n项和 的计算公式为? 分析：过提供新材料、创设新情境和提出新问题来考查考生学习新数学知识的能力和综合运用知识的能力，这是个新定义问题，题材对于每一名同学都是陌生的，重点在于考查学生学习应用新知识的能力和由“等差 ”到“等和”的类比能力. 答案：根据试题提供的材料不难得出： （1） ; （2）当n是偶数时 ；当n是奇数时 阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，数学新知识的学习离不开阅读. 由此可见，在高中数学复习中通过让学生自己阅读教材、自己阅读例题的解法、加强学生阅读能力的培养是十分迫切，也是十分重要的. 3.2.3 数学建模型 在既定的条件或实际情景中, 设计解决某些问题的方案.给出既定的条件, 或问题的实际情景, 建立数学模型, 寻求多种解法与结论, 这是编制数学开放题的一个重要方法. 既定的条件或问题的实际情景, 可以是数学的, 也可以是自然的、社会的. 由于既定的条件可加以构想, 问题的实际情景往往是多变因的、动态的, 因此可以引出多样的数学开放题. 1．建立几何模型： 诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解. 例4 沿海某城市A的正南方240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过5级，则称为受台风影响．那么城市A恰好受台风影响时，A与台风中心距离是多少千米?城市A受影响的时间是多少? 分析：本题可利用直角三角形性质解答，由A向BC作辅助线使AD垂直BC，可先解出AD，BD长，AE交BC于E，再解出DE长，然后求出E′E长，除以时间进行计算即可． 解 ∵台风每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，而中心为12级，当离台风中心130米时风力减少7级，刚好影响到A市．（如图5） 由A向BC作垂线AD，D为垂足，再由A向BC上作辅助线AE，设AE=AE’=130km； ∵∠ADB=90°，∠ACD=30°AB=240km ∴AD= AB=120km，BD=120 km 又∵AE=130km ∴DE=50km ∴DE′=50Km 台风从E到E′用时为100÷20=5小时, 即5小时． 2．建立方程模型： 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方 程. 例5：如图6，在宽为20米，长为32米的的矩形地面上，修筑同样宽的两条路互相垂直，余下部分种草坪，要使草坪面积540平方米，道路的宽应为多少米？ 分析：作整体思考，设路的宽度为 , 则问题转化为： 求方程（20-x）(32-x)=540的解， 解得x=2或x=50（不合题意去）. 3．建立直角坐标系与函数模型： 当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论. 例6[5] （2010滨州）如图7，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是 以点C为顶点的抛物线 恰好经过 轴上A、B两点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解 ①由抛物线的对称性可知AM=BM，在 和 中， ∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC ∴OA=MB=MA 设菱形的边长为2m，在 中， ， 解得m=1． ∴DC=2，OA=1，OB=3． ∴A、B、C三点的坐标分别为 （1，0）、（3，0）、 . ②设抛物线的解析式为 代入A点坐标可得 ,抛物线的解析式为 . ③设抛物线的解析式为 ，代入D 可得k= ,所以平移后的抛物线的解析式为 ，平移了 个单位． 4．建立不等式模型： 在我们的现实生活中，不等关系非常普遍.因此，利用不等式（组）解决问题是常见的方法.一般来说，当问题中出现“不超过”、“最多”、“至少”关键词的实际应用题时，可考虑建立不等式（组）的数学模型解之. 例7 若干个苹果分给若干名小朋友，如果每个小朋友分4个，则还余19个苹果；如果每个小朋友分7个，则剩余一个小朋友分不到7个，求有多少个苹果和多少名小朋友？ 解 设有x名小朋友，依题意,苹果应有4x+19个，当每名小朋友分7个苹果时,假设全部分完，则有7x个苹果，但是不够分配；当一名小朋友不参与分苹果时，只分了7(x-1)个苹果，肯定分不完. 因此有了下列不等式：7(x-1)<4x+19<7x，又因为人数为整数，所以可解出x 取8.因此有8名小朋友，51个苹果. 3.2.4 列举元素型 列举法作为解题策略之一，与其他解题策略互为补充，以其独特的解题思路为学生解题提供简洁的解法。问题教学,种类繁多,解法各异,学生对之无所适从.作为教育工作者，应拨开云雾见天日,寻求部分题目的优化解题策略.而列举法犹如穿越解题隧道的飞剑,游刃有余,把握本质,让部分问题不再是学生解题的障碍,而成了学生数学能力的演示场. 例7 有盐水若干，加入一定量的水，含盐率降低到3%，第二次又加入同样多的水后，含盐率降低到2%，第三次再加入同样多的水，这时盐水的含盐率是多少？ 分析：这道题头绪紊乱，如果想设未知数，方程中的等量关系不易把握，该如何下手？关键是“加入同样多的水”，可知加的水的质量相等，同时由题意可得：盐的质量始终没变。可用列举法解答. 解 第一次盐与水的比是3：（100-3）=3：97； 　 第二次盐与水的比是2：（100-2）=2：98=1：49; 根据“盐的质量不变”，把盐的份数都看作3份，想1：49=3：147，147-97=50，求得后加水的份数是50份，则第三次盐与水的比是3：（147+50）=3：197，最后求出含盐率是 =1.5%. 例8 比如我们现在要从小到大排序，排序规则：先用第一个数和第二个数比，要是第一个数大于第二个数就交换两个数，小于等于就不动；然后再第二个数和第三个数比，只要前一个大于后一个就交换，这样一直比到结尾就把最大的数放到最后了，这是一轮，然后再从第一个开始比，还是这样的规则，但是只用比到倒数第二个数，就这样一论一比到所有的数都按从小到大排列. 原来的数组为：2 7 5 3，写出解题过程 解 第一轮开始比 2和7比不动数组变成 2 7 3 1 7和3比交换数组变成 2 3 7 1 7和1比交换数组变成 2 3 1 7 第二轮 2和3比不动数组变成 2 3 1 7 3和1比交换数组变成 2 1 3 7 第三轮 2和1比交换数组变成 1 2 3 7 这样排序就完成了，因为是一轮是找到一个最大（小）的数 就像冒泡泡一样，所以叫冒泡法. 3.2.5 寻找异同型 发现某些对象的共同点和异同点, 是一种自主性的创造思维活动. 对一些数学对象, 如几何图形、代数式、函数及其图像、命题等, 或比较它们的异同, 或加以分类, 是编制数学开放题的适当视角之一. 例9[6] 试比较下列两个方程的异同: ， 解 两个方程的相同点有: （1）​ 都是一元二次方程，且都转化为了一般形式; （2）​ 二次项系数相同, 均为1; （3）​ 一次项系数相同, 均为3; （4）​ 常数项的绝对值相等, 均为4; （5）​ 都是整系数的一元二次方程. 两个方程的不同点有: （1）​ 常数项的符号相反; （2）​ 判别式不等; （3）​ 前者有实数根, 后者没有实数根; （4）​ 考虑两个方程的左边, 前者可分解为两个因式的乘积, 即( x - 1) ( x + 3) , 而后者不能分解( 在实数范围内) . 等等. 3.2.6 探索归纳型 探索归纳型问题要求从所给的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行论证.这是一种常见的开放题型，这类题型综合考查学生处理数学问题的能力，起点和要求很高。 例10 将1至1001个数如下图格式排列.用一个长方形框入12个数, 要使这12个数的和等于⑴ 1986 ⑵ 2529 ⑶ 1989 是否办得到? 如果办不到, 简单说明理由:如果办得到, 写出长方形框里的最大的数和最小的数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ... ... ... ... ... ... 995 996 997 998 999 1000 1001 解 根据已知条件，按照图标得知每行有7个数，因此设置长方形框入的数为N则以得出以下结论：一共有以下五种情况： 两行六列：12N+1+2+3+4+5+7+8+9+10+11+12 三行四列：12N+1+2+3+7+8+9+10+14+15+16+17 四行三列：12N+1+2+7+8+9+14+15+16+21+22+23 六行两列：12N+1+7+8+14+15+21+22+28+29+35+36 十二行一列：12N+7+14+21+28+35+42+49+56+63+70+77 分别计算得出以下五个代数式： 12N+72；12N+102；12N+138；12N+216；12N+462； 因此可以看出无论哪种情况，所有12数之和一定为偶数，所以排除（2）和（3）的可能性； 分别计算： 12N+72=1986；12N+102=1986；12N+138=1986；12N+216=1986；12N+462=1986； 得出N=198；N=157；N=154；N=147.5；N=127； 那么结论如下： （1）12数和为1986是可行的，有四种情况： 两行六列矩形：最小数为198，最大数为198+12=210 三行四列矩形：最小数为157，最大数为157+17=174 四行三列矩形：最小数为154，最大数为154+23=177 十二行一列矩形：最小数为127，最大数为127+77=204 （2）12数和为2529不可能. （3）12数和为1989不可能. 3.2.7 方案设计型 方案设计型问题引导学生将所学的知识应用于实际，从数学的角度对日常生活出现的问题进行设计性研究，有利于对学生实践应用能力的提高，是学为之用的教改精神的具体体现。这类题目不仅要求学生有扎实的数学双基知识，而且能够把实际问题中涉及到的数学问题转化抽象为具体的数学问题。这类题目立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力，综合考察阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手操作能力。 题型1 设计测量方案题 设计测量方案题渗透到初中几何各章节中，设计测量方案可以考察学生对知灵活运用能力，对实验器材的操作能力，用数学知识解决生活中遇到的问题，学以致用. 例12 如下图，A、B两点被池塘隔开，为测量A、B两点的距离，某数学兴趣学习小组根据所学知识设计了如下系列测量方案： 图a 图b 解 方案一：如图a，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中 点M、N，如果测得MN=20m，那么AB=2×20m=40m． 方案二：如图b，分别延长AC、BC，使CD=AC，CE=BC，连接DE，如果测得DE=X（m），则AB=X（m）． 题型2 设计图形题 主要以几何图形的分割为主，有时根据面积相等来分割，有时根据线段间的关系来分割，有时根据它的某些条件来分割做此类题一般用尺规作图. 例11 如图，将等边三角形分割成三个全等的图形，请画出三种不同的分割方法． 分析：首先应找到等边三角形的中心，连接中心和各顶点可把等边三角形分为3个全等的三角形；联想到可从等边三角形的中心向对边引垂线可把等边三角形分成三个全等的四边形；那么把中心和前两个分法中得到的三条直线继续旋转与等边三角形的三条边相交，可得另一种分法． 解 如下图 方法一：连等边三角形的中心与各顶点； 方法二：连等边三角形的中心与各边中点； 方法三：连等边三角形的中心与各边上的一点，并且这点到对应顶点的距离相等． 题型3 设计购买方案题 例13 (2007哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案. 解 (1)设该商场能购进甲种商品x件，根据题意，得 解得x=40 乙种商品：100-40=60（件） (2)设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100-a)件．根据题意得 ： 因此，不等式组的解集为48≤a ≤50 根据题意，a的值应是整数， ∴a=48或49或50 ∴该商场共有三种进货方案：方案略. 本题既具有开放性又具有实际应用价值，对学生的思维能力和应用能力要求比较高. 结 论 综上可知,数学开放题形式多样，贯穿在整个中学数学的学习过程中，通过开放型问题的学习，可以更好的激励学生大胆质疑和探索创新，推动素质教育的发展. 通过对数学开放题的基本形式（条件开放题、结论开放题、条件和结论同时开放题、策略开放题）和数学开放题的特殊形式（问题编写型、阅读理解型、数学建模型、列举元素型、寻找异同型、探索归纳型、方案设计型）的了解和分析，我们知道数学开放题有着高度的灵活性和极强的技巧性，有很强的教育价值.因此在解答“开放型问题”时，要认真思考，综合分析，审清题意，找出关系，灵活运用恰当的方法策略，学生通过实践、思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，培养创新精神和创新能力，把素质教育真正落到实处. 因此在数学教学中要更好的加强开放型问题的教学，让更多更好的开放型问题走进课堂，走进学生的数学学习中. 参考文献： [1]杨昌座.对高中数学开放题的认识[J].福建教育学院学报，2008，（9）:68-69. 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