高数一（中值定理）

null第三章 微分中值定理与导数的应用第三章 微分中值定理与导数的应用null 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理 统称 微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。 学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路，并初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想。本章重点：本章重点： 利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、极值、凹凸性、渐进线等） 微分学中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理） 洛必达法则 ——计算不定型极限 利用导数证明不等式 最大最小值问题的应用§1. 微分中值定理§1. 微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理费马引理：设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域U(x0) 内有定义, 并且在点 x0 可导。如果对任意的有导数为零的点称为函数的驻点 （或稳定点、临界点）。null不妨设 证明：证毕罗尔定理罗尔定理( Rolle 1652 — 1719 法国 )几何意义：几何意义：AB 为 [a , b] 上连续曲线，且除a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应曲线上的点处的切线平行于 x 轴。ab证：证：∵ f (x) 在 闭区间[ a, b ]上连续，∴f (x) 在 [ a, b ] 必有最大值 M 及最小值 m,有两种情况: (1) M = m ;(2) M > m .(1) 若 M = m ，则 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有 那么 ( a, b ) 内任一点都可取作 ξ ，∴ M = m 时，定理必成立。null(2) 若 M > m ，∴M , m 中至少有一个不等于 f (a) 或 f (b),不妨设 M ≠ f (a) , (设 m ≠ f (a) 同样可证）又设有 f (ξ) = M, 因此，对任意∵ f (a) = f (b) ,有从而由费马引理可知证毕。说明：说明：例： 1.罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。ξπ1 .。虽不满足条件 (1)、(3)但仍存在若条件不满足，则不能保证找到定理中的 ξ 。特别，当 f (a) = f (b) = 0 时，特别，当 f (a) = f (b) = 0 时，Rolle 定理 可简述为：(零点定理）2.若 f (x) 在 [ a, b ] 连续，在 ( a, b ) 可导，则在函数的两个零点之间，它的一阶导函数至少有一个零点（或一个根）。Rolle 定理:若 f (x) 在 [ a, b ] 连续，在 ( a, b ) 可导，f (a) = f (b)例题讨论例题讨论例1： 验证罗尔定理对函数 f (x) = sin x在 [ 0,π ] 上的正确性，并求出 ξ 。证：满足罗尔定理条件，∴ 罗尔定理成立。在 ( 0,π) 存在，null例2：证：由Rolle定理，至少存在中至少有一个根？用零点定理吗？> 0 ？null例3：证：由Rolle定理，至少存在例4：例4：先观察结论, 等式两边都是 ξ 的函数设 f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导，证明存在一点找 F(x)，使考察：即有证明：证明：由罗尔定理，存在由条件知F(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且设 f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导，证明存在一点二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理这条件很特殊，若取消这条件，AB 弦就不一定平行于 x 轴，此时结论又如何？（Lagrange 1736 - 1813 法国）罗尔定理中：几何意义：几何意义： 拉格朗日中值定理： 若函数 f (x)满足 （1）在 [ a, b ] 上连续， （2）在（a, b）内可导， 则在（a, b）内至少存在一点ξ ，使得：  而右端正是AB弦的斜率 .①ABabξ1ξ2②式 ① 可写成:在上述条件下，曲线AB上至少有一点 ξ ，使 ( ξ , f (ξ ) ) 处的切线平行于 AB 弦。在上述条件下，曲线AB上至少有一点 ξ ，使 ( ξ , f (ξ ) ) 处的切线平行于 AB 弦。显然，罗尔定理 是 L — 定理 的特殊情况 ：弦 AB 平行于 x 轴。证：证： ∵曲线AB与弦AB交于A、B点，（1）分析：这样就要使两端点函数值相等，为此引进希望能用罗尔定理来证，辅助函数 φ (x) , 且要满足注意到, 弦AB的方程：f (x) 为曲线AB上纵坐标，y 为 弦 AB上的纵坐标。此处它们的差即为0，即y = f (x)null至少存在一点（2）证：作辅助函数：∵ f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导，∴φ (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导，则由罗尔定理，null 须掌握这种引进辅助函数来证明一些等式的方法。 null例：设 f (x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明存在一点定理：如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零，那么 f (x) 在区间 I 上是一个常数。定理：如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零，那么 f (x) 在区间 I 上是一个常数。(原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立)证：由L — 定理：由 x1, x2 的任意性，推论 ：推论 ： （说明若两个函数在某一区间内具有相同的导数，则这两个函数仅差一个常数）若 f (x) , g (x) 在 (a, b) 内成立则在 (a, b) 内证：由定理: F (x) = C,例题讨论例题讨论证：例1：验证拉格朗日中值定理对∴ 满足 L — 定理 的条件，利用L — 定理证明一些等式不等式：利用L — 定理证明一些等式不等式：    例1：证明不等式常用 L－定理证。题中出现正弦函数在 x, y 间的增量形式，分析：证：则 f (u) 在 [ x, y ] 连续，在( x, y ) 可导，由L — 定理：null同理，x > y,证明不等式null例2：证明：由L — 定理：令证 ：null证明：null例3. 证明恒等式证：则= 0所以由前面的定理可知：在-1< x < 1内，f (x) = c因为 所以null所以有所以三、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法国)三、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法国)ABCf(b)f(a)g(a)g(b)g(ξ)若曲线AB: Y =F(X) 用参数方程表示：null与这一事实相应的就是柯西中值定理： null柯西中值定理：( P.131 )若两函数 f (x)，g (x) 满足： (1) 在 [a, b] 上连续； (2) 在（a, b）内可导，且 则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得 成立。