巧用根轴法求函数的单调区间

　巧用根轴法简化研究函数的单调性和最值 　　　　　　　陕西洋县中学（723300） 刘大鸣 郑欣 根轴法是分类研究函数在区间上的函数值的符号的一种简化,中体现为通过列表分类简化求解高次不(或分式)不等式,其实质是仍燃是一种分类的方法，将这种方法借助数轴表示就是根轴法求解高次不(或分式)不等式,利用这种方法可巧妙研究函数的单调性和最值等问题。 例１（05全国3）已知函数 （Ⅰ）求 的单调区间和值域； （Ⅱ）设 ，函数 使得 成立，求a的取值范围. 简析：（I）利用导数研究函数的单调性简单且具有操作性，再用根轴法分类使思维流畅。 对函数 求导，得 研究 的正负，注意整体前面为负，分区间讨论 的正负用根轴法表示，如图为导函数在区间上的函数值的符号，注意导函数与原函数的对应关系，由图知，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数.由单调性，当 时， 的值域为[－4，－3]. （II）借助导数研究值域，利用两值域之间的关系构建不等式解范围。 对函数 求导，得 因为 ，当 时， 因此当 时， 为减函数，从而当 时有 又 即 时有 任给 ， ，存在 使得 ， 则 即 解①式得 ；解②式得 又 ，故a的取值范围为 例２(05山东 )已知 是函数 的一个极值点，其中 ， （Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求 的单调区间；（Ⅲ）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 ，求 的取值范围. 简析：（I）认识极值点构建方程根的意义切入： ，因为 是 的一个极值点，所以 ，即 ，所以 （II）利用根轴法研究导函数在各个区间上的符号从而确定单调区间：由（I）知， 当 时，有 ，当 变化时， 的正负如根轴法表示如图，由图知，当 EMBED Equation.3 ）单调递减，在（ ，1）单调递增，在（1，+ ）单调递减. （III）认识导数的几何意义，将问题转化为二次在区间上恒成立的问题，不同的思维方法将产生不同的解法。 用一般式有解法一：由已知，得 ，即 ， ，即 . （*） 设 ，其函数图象的开口向上.由题意（*）式恒成立， EMBED Equation.3 ，又 ， 即 的取值范围是 注意到特殊性用两根式有解法二：由已知，得 ，即 ， ， （*）1° 时，（*）式化为 恒成立， 2° ，（*）式化为 ,令 ，则 在区间[－2，0 是单调增函数. 由（*）式恒成立，必有 又 ， 综上1°、2°知 【实战演练】 1 已知a、b为常数,a＞0, (1) 当函数 的极大值为2时，求a与b间的关系式. (2) 函数 的极大值为2，在区间 上有极小值 ，求a,b的值 简析：（１）利用根轴法去判断函数的单调区间解决，a＞0, ，令 　可得 或 由图知在 取得极大值，即 ，则　 。 （２）因为函数 在 取得极大值，在区间 上有极小值 ，则有 ，由 ，　得 2 设 ，函数 EMBED Equation.3 的最大值为１，最小值为 ，求常数a与b. 简析：因为 ， ，令 可得 或 ， 　　　　　　　　根轴法如图，在 可能取最大值， ∴ ，同理 可能取最小值， 　　　 　　即 3 （1）求函数 EMBED Equation.3 的单调区间 （2）求函数 （其中 ）的单调区间。 简析： （1） EMBED Equation.3 ， 令 解得 或 用根轴法表示：由导函数最高次项系数为正，借助高次不等式分区间的研究的方法，导函数在各个区间上的函数值已确定，则原函数处于X轴上方所在的区间为函数单调递增区间，位于X轴下方所在的区间为函数单调递减区间。 ∴函数的 单调递增区间为： 和 ，单调递减区间 。 （2）解：∵ ，令 解得 或 ， ∵a﹤-1 ∴ ﹥a ∴ 根轴表示 ∵导函数最高次项系数为负，故函数区间与（1）刚好相反， ∴ 单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 。 注：根轴法研究的是导函数在各个区间上的符号，要注意最高项的系数和区间上的符号共同的决定作用，防止出错。 陕西洋县中学 （723300） 刘大鸣 13992671723 - - � EMBED Equation.3 ��� a + + + � EMBED Equation.3 ��� -2 - －１ a x ０ a x １ －１ 1 � EMBED Equation.3 ��� ① ② � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 0 1 _1180328550.unknown _1201881768.unknown _1202324632.unknown _1202325655.unknown _1202326322.unknown _1202326684.unknown _1202328056.unknown _1202328885.unknown _1203926313.unknown _1203937910.unknown _1203937951.unknown _1203925525.unknown _1202328690.unknown _1202328779.unknown _1202328432.unknown _1202327986.unknown _1202328012.unknown _1202327761.unknown _1202326445.unknown _1202326615.unknown _1202326397.unknown _1202326030.unknown _1202326283.unknown _1202325949.unknown _1202325975.unknown _1202325899.unknown _1202324839.unknown _1202324840.unknown _1202324752.unknown _1202324034.unknown _1202324174.unknown _1202324254.unknown _1202324292.unknown _1202324163.unknown _1201882116.unknown _1201884428.unknown _1201884723.unknown _1201885141.unknown _1201884445.unknown _1201884205.unknown _1201884259.unknown _1201884290.unknown _1201882252.unknown _1201881816.unknown _1201882094.unknown _1201881793.unknown _1201781397.unknown _1201781973.unknown _1201782081.unknown _1201881752.unknown _1201782041.unknown _1201781807.unknown _1201781829.unknown _1201781615.unknown _1185258158.unknown _1201780314.unknown _1201780376.unknown _1186810898.unknown _1180328719.unknown _1180328822.unknown _1180328881.unknown _1180349574.unknown _1180328915.unknown _1180328870.unknown _1180328735.unknown _1180328593.unknown _1180328650.unknown _1180328570.unknown _1180327264.unknown _1180327874.unknown _1180328333.unknown _1180328407.unknown _1180328456.unknown _1180328535.unknown _1180328432.unknown _1180328374.unknown _1180328393.unknown _1180328351.unknown _1180328068.unknown _1180328191.unknown _1180328227.unknown _1180328124.unknown _1180327944.unknown _1180327999.unknown _1180327903.unknown _1180327454.unknown _1180327581.unknown _1180327707.unknown _1180327793.unknown _1180327698.unknown _1180327556.unknown _1180327565.unknown _1180327515.unknown _1180327390.unknown _1180327428.unknown _1180327436.unknown _1180327399.unknown _1180327303.unknown _1180327359.unknown _1180327290.unknown _1179853976.unknown _1179854280.unknown _1180327152.unknown _1180327215.unknown _1180327247.unknown _1180327166.unknown _1180327105.unknown _1180327116.unknown _1179854281.unknown _1179854042.unknown _1179854090.unknown _1179854278.unknown _1179854279.unknown _1179854277.unknown _1179854062.unknown _1179854007.unknown _1179854036.unknown _1179853979.unknown _1179853740.unknown _1179853854.unknown _1179853888.unknown _1179853931.unknown _1179853952.unknown _1179853926.unknown _1179853875.unknown _1179853846.unknown _1179853769.unknown _1179853797.unknown _1179850872.unknown _1179853476.unknown _1179853483.unknown _1179853653.unknown _1179850954.unknown _1179850843.unknown _1179850862.unknown _1179850810.unknown