八种求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列
满足
,
,求数列
的通项公式。
解:
两边除以
,得
,则
,故数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得
,所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,说明数列
是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
,进而求出数列
的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
得
则
所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例3 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
得
则
所以
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例4 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:
两边除以
,得
,
则
,故
因此
,
则
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式,最后再求数列
的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
,则
,故
所以数列
的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例6已知数列
满足
,求
的通项公式。
解:因为
①
所以
②
用②式-①式得
则
故
所以
EMBED Equation.3
③
由
,
,则
,又知
,则
,代入③得
。
所以,
的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,从而可得当
的表达式,最后再求出数列
的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
④
将
代入④式,得
,等式两边消去
,得
,两边除以
,得
代入④式得
⑤
由
及⑤式得
,则
,则数列
是以
为首项,以2为公比的等比数列,则
,故
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
例8 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
⑥
将
代入⑥式,得
整理得
。
令
,则
,代入⑥式得
⑦
由
及⑦式,
得
,则
,
故数列
是以
为首项,以3为公比的等比数列,因此
,则
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求数列
的通项公式。
例9 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
⑧
将
代入⑧式,得
,则
等式两边消去
,得
,
解方程组
,则
,代入⑧式,得
⑨
由
及⑨式,得
则
,故数列
为以
为首项,以2为公比的等比数列,因此
,则
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列
满足
,
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
。在
式两边取常用对数得
⑩
设
eq \o\ac(○,11)
将⑩式代入 eq \o\ac(○,11)式,得
,两边消去
并整理,得
,则
,故
代入 eq \o\ac(○,11)式,得
eq \o\ac(○,12)
由
及 eq \o\ac(○,12)式,
得
,
则
,
所以数列
是以
为首项,以5为公比的等比数列,则
,因此
则
。
评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
又
,所以数列
的通项公式为
。
评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
两边取常用对数得
,即
,再由累乘法可推知
,从而
。
七、数学归纳法
例12 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
及
,得
由此可猜测
,往下用数学归纳法
这个结论。
(1)当
时,
,所以等式成立。
(2)假设当
时等式成立,即
,则当
时,
由此可知,当
时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何
都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:令
,则
故
,代入
得
即
因为
,故
则
,即
,
可化为
,
所以
是以
为首项,以
为公比的等比数列,因此
,则
,即
,得
。
评注:本题解题的关键是通过将
的换元为
,使得所给递推关系式转化
形式,从而可知数列
为等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
1、已知a,b,c的倒数成等差数列,且a,b,c互不相等,则(a-b):(b-c)=
A、c:a B、a:b C、b:c D、a:c
分析:1/b-1/a=1/c-1/b
(a-b)/ab=(b-c)/bc
(a-b):(b-c)=ab:bc=a:c
选D
2、某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,四年后价格与原来的价格相比较,变化的情况是
A、不增不减 B、约减1.4% C、约减9.2% D、约减8%
分析:原来的价格是X,
现在是X(1+0.2)(1+0.2)(1-0.2)(1-0.2)=0.9216X。
(X-0.9216X)/X=0.08
选D
3、设a^a=3,a^b=6,a^c=12,则数列a,b,c
A、是等差数列,但不是等比数列
B、是等比数列,但不是等差数列
C、既是等差数列,又是等比数列
D、既不是等差数列,也不是等比数列
分析:a=loga3
b=loga6
c=loga12
loga6+loga6=loga3+loga12=loga36
所以2b=a+c
选A,
4、一个递减的等比数列,其前三项之和为62,前三项常用对数之和为3,则数列的第5项的值是多少?
分析:q小于1
a1+a1q+a1q2=62
前三项常用对数之和为3,什么意思呀,不太 理解。我 不会。
希望对你有帮助
答案补充
loga1+loga2+loga3=loga1a2a3=3
a1a3=a2的平方
所以就求出了a2,
a1=a2/q.....a3=a2q.
a1+a2+a3=62
就求出了q,所以a5也就能求出来了
3.在等比数列{an}中,若a4a7a13a16=625,则a10=_____
4.在等比数列{an}中,若an>0,a6a15+a9a12=30,则log15(a1*a2*a3*……*a20)=_____
3)a10=5
a4a7a13a16
=a4a16*a7a13
=a10^2*a10^2
=a10^4
=625
4)10
a6a15+a9a12=30
得a6a15=15
a1*a2*a3*……*a20
=(a1*a20)*(a2*a19)……*(a10*a11)
=15^10
6.已知等比数列{an}中,各项都为正数,且a1,a99为方程x平方-10x+16=0的两个根,求a40*a50*a60的值
a1,a99为方程x平方-10x+16=0的两个根
a1*a99=16
则有a1*a99=a50*a50=a40*a60=16
a40*a50*a60=(a50)^3=64
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