利用lnx的不等式解题

解题思想万 去 中 孝⋯⋯⋯ 2013年第4期 (上旬 ) ⋯ 不愤不启，不悱不发，举一反三，触类旁通 ，愿与学生一起进步 利用 In 的不等式解题 黄加流(广东省珠海市第一中学) 在历年的高中，经常出现 In．27的身影，特 别是函数式中含有 In i正明不等式 或恒成立问题 ， 直接用导数求解还是 比较复杂 的．笔者介绍一个关于 In 的不等式 ，把 In 放缩变形成多项式，可避免繁 难的求导运算，解法简明，新颖别致，供同行参考． 定理 ：若 ～2 r≥0，rN 一冬≤ln( r+t)≤z． 用导数很容易证明该定理，此处 从略 ，下面举例 说明定理的应用． 例 1 (2012年高考数学天津卷理科 第 20题 )已 知函数 _，’( )一 —In(X十“)的最小值为 0，其 中 a > 0． (I)求 a的值； (1I)若对任意的 E-[0，+c。)，有 ．厂( )≤是 。成 立，求实数 是的最小值； (HI)略． 解 ：(1)函数 f( )的定义域为(一a，F一)， 由 ，( )= 一ln(丁+“)得 a 一 每x a． 十 令 ， ( r)一0，得 一1一＆> --a， 当 』’∈(一“．1一＆)时，f (_丁) 0，f( )为 增 函数 ， 所以[_厂( )]⋯一／(1一n)一】一a一0， 所 以 “一 1． (Ⅱ)由上述定理 ln( +1)≥ 一 ( ≥O)， 所以 ．／(。)一 一In( +1)≤ 一( 一等)一： ， 要 ／ ( ≤矗 。成立 ，只要： ≤志 成立即可， 所以 走≥ 1 ，即实数 是的最小值为 ． 例 2 (2012年 高考 数 学辽 亍巷 理 科 第 21题 ) 设 ．厂( )一In(x@1)4-、 J-ax-Fb(a，b∈R’且 a、 b为常数)，曲线 = 厂(．r)与直线 一 在 (0，0)点 相切． (I)求 “、b的值 ； (Ⅱ)证明：当 0 0，由上述定 理得 In(．r+1) 0．设两曲线 y一厂(,22)， ===g( )有公共点 ，且在该点处的切线相同． (工)用 a

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示 b，并求 b的最大值 ； (Ⅱ)求证：f(x)≥g( )( >O)． 解 ：(I)设 二== 厂( )与 —g( )( >0)在公共点 (丑 ，Y。)处的切线相同． 因为 _， ( )=j-+2a，g ( )一一,sa-，由题意 f(x。) 一g(x。)，／ (j，0)一g ( ，)， 即 _毒+2axo一3a。In-丁0+6， 。 一 3“ - b2a —— ． n 由 }2“一 得 、一“，或 一一3“(舍去)． 即有 6一 “!+2a 2-3“zln“一 5 d 2—3n ln n ． 以下求 b的最大值略． (II)因为 a>O， >O，由上述定理知 n 一 n[( 一1)~llq一 ． 所以 _，( r)一g( ，)一 1 +2a ．z'-- 3“ 1n 一 6 一 2a．z'--3 n — a 2--3 n n) 一 吉 +2use--s“ n 一导n2 ≥ +za．z--3。 ( ⋯ )一号“2 一 、十 一 ( 。)。≥ 0． 一 “ 十 “ 一 ‘ “)。 u· 例 4 已知函数 _厂( )一 “ 。一2nr¨n 有两 个极值点 、 ，且 z> ． (I)求实数 的取值范围M； (n)若 ∈[1+譬，2]，使得不等式 。) ln(“+1)>厶(“ 一 1)一 (“+ 】)+21n 2对 V a∈M i 成立，求实数b的取值范围． 解 ：(T)／ ( )一“』，一2“卜 一 _二 立 l1_( >0) 。 解 题 思想7：5-三 fa≠ 0， fa≠ 0， J△：==4 一4 >0， J 4 一4“>0， 所以{ l+ 2>0， 即{2>0， 。 > 1 ， l ， (Ⅱ)由 口 z一2ax+1—0，解得 。一—a--—~a— z -- — a ， 因为1<“<2，所以如一1+√1一 <1十 ． 所以_厂( )在[1+譬，2]上单调递增， 所以在[1+譬，2]上，Ef( ，)]n' 一／’(2)一 2“ 4-ln 2． 所 ∈[1+ ，2]， (Lrl1) >?)(“。～1)一(“4-1)+21n 2对 V“∈M 恒成立”等价 于“一2a+ ln 2—4-ln(＆十 1)> 6(“ 1) (“4-1) +21n 2恒成立”， 即不等式 ln(a 4-1)一ba “4-b In 2+1>0对 任意的 a(1<“<2)恒成立 ， 也即 ln 一(a 2--1) 一 十1>0对任意的 “ (1<“<2)恒成立． 因为ln—a- 4-1一ln( 二2 +1)≥ - -1一 1 · ( ) 一 1(--a2+6n ， 所以只要吉(一“ +6n 5) “ l一(“ 一1)6 >O对任意的 d(1<“<2)恒成立． 即(a2 1)，)<告(一a _}6“一5)“+1一⋯吉 · (“ +2日一3)一 百1(“+3)(“一1) ， 所以6<一 暑 一一 (1+ 2 )对任意的 a(1<“<2)恒成立． 由于一告(1+ 2 )>一 1，所以6≤÷． 所以『)的取值范围为f 一， 11．