2009全国初中数学竞赛

欢迎加入海南初中数学华东版QQ群组：69038250 人教版QQ群：72224860 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足 ，则 等于（ ）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C． 解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）． （A） （B） （C）1 （D）2 【答】A． 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即 ， 所以， ． 由 ，解得 ． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】D． 解：当 时，方程组无解． 当 时，方程组的解为 由已知，得 即 或 由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC， . 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故 S△ABC＝ ×8×4＝16. 5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C． 解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为 ． 由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数． 由 ≥ ， 解得 ≤ ．于是 0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求． 当 时，原方程为 ，此时 ； 当y＝－4时，原方程为 ，此时 ． 所以，原方程的整数解为 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 【答】3750． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ， 则 ． 7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为 ． 解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中， ， 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， . 而 ，所以 . 8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ． 【答】 10． 解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数． 又因为 ，所以 ． 由 ，可得 ． 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ． 【答】 ． 解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 ， 即 ， 解得 ．所以 ． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】 ． 解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ． 于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以 ， 解得 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．函数 的图像与 轴的两个交点是否都在直线 的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 的右侧时k的取值范围． 解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图像与x轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线 的右侧． ………………5分 设函数与x轴的两交点的横坐标为 ，则 ，当 且仅当满足如下条件 ………………10分 时，抛物线与 轴的两交点都在直线 的右侧． 由 解之，得 ………………15分 所以当 时，抛物线与 轴的两交点在直线 的右侧． ………………20分 12．在平面直角坐标系 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数 的图像上所有“好点”的坐标． 解：设 EMBED Equation.DSMT4 ，m，k都是非负整数，则 ， 即 ． ……………10分 则有 解得 所以 故“好点”共有4个，它们的坐标是： ………………20分 13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论． 解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分 因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得 ． 同理可得 ． ………………10分 又因为 ，所以有 ，于是可得 ． ………………20分 解法2：结论是 ．下面给出证明． ……………… 5分 连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故 ． ………………10分 又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分 所以， ，于是DE∥FG，故DF＝EG． ………………20分 14．n个正整数 满足如下条件： ； 且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值． 解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即 ． 于是，对于任意的1≤ ≤n，都有 ， 从而 ． ………………5分 由于 是正整数，故 ． ………………10分 由于 ≥ ， 所以， ≤2008，于是n ≤45. 结合 ，所以，n ≤9． ………………15分 另一方面，令 ，…， ， ，则这9个数满足题设要求． 综上所述，n的最大值为9. ………………20分 （第2题） （第4题） 图2 图1 （第7题） （第9题） （第10题） （第13A题） （第13A题） _1291987389.unknown _1292068117.unknown _1293307735.unknown _1293363357.unknown _1293381162.unknown _1296976777.unknown _1296978313.unknown _1297083940.unknown _1297084041.unknown _1296978381.unknown _1296978338.unknown _1296977191.unknown _1296978199.unknown _1296977149.unknown _1295768319.unknown _1295768383.unknown _1295855346.unknown _1293381337.unknown _1293381359.unknown _1293371519.unknown _1293372172.unknown _1293373798.unknown _1293373816.unknown _1293371583.unknown _1293363498.unknown _1293363888.unknown _1293364304.unknown _1293369698.unknown _1293364194.unknown _1293363679.unknown _1293363399.unknown _1293345767.unknown _1293345914.unknown _1293349244.unknown _1293350387.unknown _1293350528.unknown _1293349276.unknown _1293348906.unknown _1293345792.unknown _1293344813.unknown _1293345054.unknown _1293344379.unknown _1292069338.unknown _1292442603.unknown _1292579334.unknown _1293304240.unknown _1293304944.unknown _1293306501.unknown 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