（－∞，0）∪（0＋∞）是一个区间吗

| 下 书 华南师范大学数学科学学院 吴有昌 中学数学教师都要深人理解 中学数学概念 ，这是 提高教学质量的基础．否则，便会产生许多不良的影 响和后果．区间是 中学数学 中的重要概念 ，不 少数学 教师对 区间的定义不注意理解 ，导致忽视了区间 的概 念 ，造成了一些不必要又影响重大的误解 ，从 而导致 了学生对相关问题的理解存在障碍． 1 一个问题的错解 (一。。，0)U(0，4-。。)是一个 区间吗?让我们先 从一个问题谈起．在学习函数 的单调性一节 时 ， 1 学生 通 常会 问这 样 一 个 问题 ：函数 f(z)一 在 ．上 (一。。，0)U(0，4-。。)上是减函数吗? 1 答 ：函数 厂(z)一 在 (一。。，0)U(0，4-。。)上不 Z 是减函数．因为 ，取 z E(一。。，0)，z E(0，4-。。)，例 如 z1一一1，z2—1，则有 厂(z1)< 厂(,2-2)．所 以，函数 1 厂(z)一 在(一。。，0)U(0，4-。。)上不是减 函数．(*) Z 这个解法是笔者 2007年在指导教育实习中发现 的，起 因是一位高 中生来问某 位实习教师 ，这位 实习 教师在黑板上 给学 生如此讲解 ，碰巧笔者在旁听 到． 刚开始笔者就觉得这位实习教师的讲解存在问题 ，但 问题具体在哪里 当时没有想到 ，第二天笔者才发现了 问题的所在．当笔者 向这位实习教师了解情况时 ，得 知是他实习所在班的数学科任教师如此指导他．这引 起 了笔者的极大重视．据笔者了解，至少 80 以上的 中学数学教师都是如此做的，也是这样教给学生的． 为了更好地了解具体情况，结合 2007年广东省数学骨 干教师的培训、2007级 中学数学教育硕士的教学以及 2005级数学系本科生 的教学等工作 的开展 ，对相关的 教学对象开展了调查，调查对象及调查结果如下 ： 调查 对象 样本 赞 同(*) 容量 解法的人数 (其中，部分骨干教师和教育硕士生是来 自全国 各师范大学 的历届本科毕业生 ) 然而 ，这个 解法是错误 的!因为，函数 的单调性 是针对 函数定 义域 中某一 区 间而 言的 ，而 (一。。，0) U(0，4-。。)根本不是一个 区间．笔者对 调查结果感到 非常惊讶 ，这么简单的一个问题居然有如此之多的数 学教师做错 ，这似乎是不可思议 的．然而 ，这毕竟是一 个事实 1 2 区间的相关知识回顾 为了更清楚 地认识 区 间，让 我们 回顾 相关 的知 识．对于 区间，中学教材均有严格 的定义 ：设 n，b是两 个实数 ，而且 nn，z≤b，z<6的实数 z的集合 分别表示为 [n，+∞)，(n，+∞)，(一∞，6]，(一∞，6)．[ ] 定理：实直线R上至少含有两点的一个集E为连 通集 ，当且仅当 E是一个区间．1_2 从区间的定义及定理可以知道 ，区间必须是连通 的．根据 这一性质 ，我们可 以清楚地知道 ，(一oo，0) U(0，4-oo)不是一个 区间 ，因为它不包含 0这 个点， 所以不是一个连通 的集合 ，只能说它是一个 开集，而 (一oo，0)和(0，4-oo)分别是这个开集的构成 区间．当 前高中数学必修教材对区间的连通性强调不够，导致 部分师生产生了误解． 3 错解原因探析 为什么一个 由学生提出来 的问题会有这 么多教 师错解而又看似正确的呢?原因主要有以下两点． 3．1 问题的前提不真 函数的单调性 是针对 区间而言 的，而 (一oo，0) U(0，4-oo)不是一个区间．因此，该问题的前提不真． 关于这一点，人教 A版的同步导学上也明确指出，一 (下转第 57页) 一 一 一 ， 二 一 一 ～～鼹 0 一 = 一 ～ 、、 、、 ～ 维普资讯 http://www.cqvip.com 个“路线图”较好地符合了高中生的知识结构和认知 规律 ，并且较好地吻合 了高 中的课时限制．两者在知 识点深度的把握上也是“英雄所见略同”． 6．3 计分原则 IB与 AP都采用分值转换制，也就是，通过一定 的转换规则把考生卷面的原始分值转换成各 自的 7 分制(IB)和 5分制(AP)． IB一卷、二卷满分 均为 120分 ，三卷 满分 为 6O 分，内部评估满分为 4O分，按 3O，3O，2O，2O的比例折 算成百分制 ，然后 根据 IB主考 (chief examiner)团队 综合各种 因素而商定 的划分界 限(cutout boundary) 把考生的分数划为 7档，1分到 7分，7分为最高． AP考试的原始分根据 AP主考 (chief reader)商定 的划分界限被转换成 5档，1分到 5分 ，5分为最高． 7 两种考试结果的解释 根据国际文凭组织 的官方解释，IB成绩应有如下 评价： 7分 6分 5分 4分 3分 2分 1分 杰 出 很好 好 满意 普通 糟糕 非常糟糕 根据美国大学委员会的官方解释，AP成绩有如 下解释： 2007年 5月的考试结果显示，IB(高水平)考试， 7603名考生中 8 的学生获得满分 7分 ，世界平均分 是 4．43；AP微 积 分 (BC)考 试 ，64311名 考 生 中 43．5 的考生获得 5分 ，平均分是 3．71． 8 结语 其实 IB也好，AP也罢，总的指导思想都是让一 些优秀高中毕业生在打好基础知识之后，接触一些大 学内容，而不是像国内一样继续在基础知识上挖下 去．大学也不会把 IB或 AP的分数当成唯一的录取标 准，事实上还有很多学生虽然没有参加过 IB或 AP考 试，也能通过 自己的努力和其 他方面的突出成绩得 到 著名大学 的青 睐．一些 学者嘲笑 国外 的数学课程是 “ 一 英里宽，一英寸深”，还形容国外的数学课程严谨 不够 ，讽刺为“模 糊数学 ”．事实究竟 怎样?两种方式 的数学教育究竟孰好孰 坏?两种方式应该如何相互 借鉴才能建立更好的有利于学生健康发展的课程体 系?笔者认为 ，把 IB和 AP考试作为切入口来更好地 了解国外的教育理念，以期对国内的课程改革提供一 点有益的资讯 ，是一条可行 的探索之路． 参考 文献 1 Guide for Mathematics HL(First Examinations 2008)，prin— ted in the United Kingdom by Antony Rowe Ltd，Chippen— ham，W ihshire，International Bacalaureate Organization 2 Calculus Course Description(Calculus AB，Calculus BC)， M ay 2008，College Board 3 The IB Diploma Programme Statistical Bulletin(May 2007 Examination Session)，published in November 2007，Inter— national Bacalaureate Organization 4 Student Grade Distributions(AP Examinations—May 2007)， College Board (上接第 53页) 般来说 ，函数 的单调性是针对某个具体 区间而 言的， 1 而不是针对整个定义域，例如我们不能说“函数 一 上 1 是减函数 ，”只能说“函数 一 分别在(一。。，O)和(O， 上 +oo)上是减 函数”_3]这种解释强调 了函数 的单调 性 是针对区间而言的，但笔者认为，它会令人容易产生 1 误解 ，没有指出为什么不能说“函数 Y一二是减函数” 1 的真正 原 因，其 真 正 原 因是 函数 Y一 的定 义 域 (一CxD，0)U(O，+CxD)不是一个区间!事实上，若某个 函数 的整个定义域可以看成一个 区间 ，则函数 的单调 性毫无疑问是可以针对整个定义域而言 的．例 如，函 数 一2x在其整个定义域(一CxD，+。。)上是增函数． 3．2 解题过程出错 错解看似非常正确，实则不然，其表面原因是 、 。 的取值不符合定义．先 回顾增 (减 )函数 的定义 ：一 般地 ，设函数 厂( )的定义域为 I：如果对定义域 I内 的某一区间 D上的任意两个 自变量 、 z，当 ．22 < z 时，都有f(x。)<厂( z)(或f(x。)>厂( z))，则称函数 厂( )在 区间 D上是增 (减)函数 ]．再来 回顾 (*)的 做法 ，(*)中取 1∈(一c,o，O)， 2∈(O，+。。)，这是不 符合定义的!根据定义 ，z。、 必须同属某一区间，错 误的本质是把(一。。，0)U(O，+。。)误看做一个区间． 笔者在本科课程 与教育硕 士课 程教学 中提出 了 这个案例，与学生一起探讨．开始时，学生(员)们大都 认为(*)解法正确 ，没有任何 问题．经过笔者的细致 分析 ，明确指 出(一。。，0)U(0，+。。)不 是一个 区间 时，他们都恍然大悟，深刻认识到了错误的原因，对区 间的连通性有了更深刻的理解 ，从而对 函数 的单调性 有了更进一步的认 识．这个案例给我们启示 ，数 学教 师对数学中的概念要认真分析、加深理解，这将会促 进我们开展有效的数学教学． 参考文献 1 钱佩玲主编．普通高中课程

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实验教科书——数学必修 1(A版)[M]．北京 ：人民教育出版社，2004 2 S．李普舒茨．一般拓扑学[M]．上海：华东师范大学出版 社 ，1982 3 麦羲主编．普通高中课程标准实验教科书导学从书——数 学同步导学(配人教 A版，必修 1)[M]．北京：教育科学出 版社 ，2005 维普资讯 http://www.cqvip.com