待定系数法探讨

第9讲：解题方法之待定系数法探讨 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设 ， 的反函数 ，那么 的值依次为　　▲　　”，解答此题，并不困难，只需先将 EMBED Equation.DSMT4 化为反函数形式 ，与 中对应项的系数加以比较后，就可得到关于 的方程组，从而求得 值。这里的 就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L： 平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是　　▲　　”，解答此题，只需设定直线L’的方程为 ，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知 ，求 的值”，解答此题，只需设定 ，则 ，代入 即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 结合2012年全国各地的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：（1）待定系数法在函数问题中的应用；（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（3）待定系数法在三角函数问题中的应用；（4）待定系数法在数列问题中的应用。 一、待定系数法在函数问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年浙江省理4分）若将函数 表示为 ， 其中 ， ， ，…， 为实数，则 ▲ ． 【】10。 【考点】二项式定理，导数的应用。 【解析】　用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得 。 或对等式： 两边连续对x求导三次得： ，再运用特殊元素法，令 得： ，即 。 例2.（2012年山东省文4分）若函数 在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m， 且函数 在 上是增函数，则a＝ ▲ . 【答案】 。 【考点】函数的增减性。 【解析】∵ ，∴ 。 当 时， ∵ ，函数 是增函数， ∴在［－1，2］上的最大值为 ，最小值为 。 此时 ，它在 上是减函数，与题设不符。 当 时， ∵ ，函数 是减函数， ∴在［－1，2］上的最大值为 ，最小值为 。 此时 ，它在 上是增函数，符合题意。 综上所述，满足条件的 。 　例3. （2012年江苏省5分）设 是定义在 上且周期为2的函数，在区间 上， 其中 ．若 ， 则 的值为 ▲ ． 【答案】 。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵ 是定义在 上且周期为2的函数，∴ ，即 = 1 \* GB3 ①。 又∵ ， ， ∴ = 2 \* GB3 ②。 联立① = 2 \* GB3 ②，解得， 。∴ 。 例4. （2012年全国大纲卷文12分）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）设 有两个极值点 ， ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值． 【答案】解：（1）∵ ，∴ ① 当 时， ，且仅当 时 。∴ 是增函数。 ②当 时， 有两个根 。列表如下： 的增减性 ＞0 增函数 ＜ 减函数 ＞0 增函数 （2）由题设知， ， 是 的两个根，∴ ，且 。 ∴ 。 同理， 。 ∴直线 的解析式为 。 设直线 与 轴的交点为 ，则 ，解得 。 代入 得 ， ∵ 在 轴上，∴ ， 解得， 或 或 。 【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。 【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。 （2）由 ， 是 的两个根和（1）的结论，得 ，求出 关于 的表达式和 关于 的表达式，从而得到直线 的解析式。求出交点的横坐标代入 ，由其等于0，求出 的值。 例5. （2012年全国课标卷文5分）设函数 (Ⅰ)求 的单调区间 (Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时， ，求k的最大值 【答案】解：(Ｉ) f(x)的的定义域为 ， 。 若 ，则 ，∴ 在 上单调递增。 若 ，则当 时， ；当 时， ，∴在 上单调递减， 在 上单调递增。 (Ⅱ)∵a=1，∴ 。 ∴当x>0时， ，它等价于 。 令 ，则 。 由(Ｉ)知，函数 在 上单调递增。 ∵ ， ，∴ 在 上存在唯一的零点。 ∴ 在 上存在唯一的零点，设此零点为 ，则 。 当 时， ；当 时， 。 ∴ 在 上的最小值为 。 又∵ ，即 ，∴ 。 因此 ，即整数k的最大值为2。 【考点】函数的单调性质，导数的应用。 【解析】(Ｉ)分 和 讨论 的单调区间即可。 (Ⅱ)由于当x>0时， 等价于 ，令 ， 求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。 二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国课标卷理5分）设是椭圆 的左、右焦点， 为直线上一点， EMBED Equation.DSMT4 是底角为的等腰三角形，则 的离心率为【 】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【答案】 。 【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。 【解析】∵是椭圆 的左、右焦点， ∴ 。 ∵ EMBED Equation.DSMT4 是底角为的等腰三角形， ∴ 。 ∵ 为直线上一点，∴ 。∴ 。 又∵ EMBED Equation.DSMT4 ，即 。∴ 。故选 。 例2. （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为【 】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【答案】 。 【考点】双曲线和抛物线的性质。 【解析】 的准线 。 ∵ 与抛物线 的准线交于 两点， ， ∴ ， 。 设 ，则 ，得 ， 。故选 。 例3. （2012年山东省理5分）已知椭圆C： 的离心率为 ，双曲线 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】 A B C D 【答案】D。 【考点】椭圆和双曲线性质的应用。 【解析】∵双曲线 的渐近线方程为 ， 代入 可得 。 又∵根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形， ∴ ，即 = 1 \* GB3 ①。 又由椭圆的离心率为 可得 = 2 \* GB3 ②。 联立① = 2 \* GB3 ②，解得 。∴椭圆方程为 。故选D。 例4. （2012年湖南省理5分）已知双曲线C ： 的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为【 】 A． B. C. D. #ww.zz&st^ep.com@] 【答案】A。 【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。 【解析】设双曲线C ： 的半焦距为 ，则 。 ∵C 的渐近线为 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，∴ ，即 。 又∵ ，∴ ，∴C的方程为 。故选A。 例5. （2012年福建省理5分）已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】 A. B．4 C．3 D．5 【答案】A。 【考点】双曲线和抛物线的性质。 【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0)， ∵双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合， ∴双曲线的焦点为F(c,0)，且 。 ∵双曲线的渐近线方程为：y＝±x， ∴双曲线焦点到渐近线的距离d＝＝b 。故选A。 例6. （2012年浙江省理4分）定义：曲线 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 到直线 的距离．已知曲线 ： 到直线 ： 的距离等于曲线 ： 到直线 ： 的距离，则实数 ▲ ． 【答案】 。 【考点】新定义，点到直线的距离。 【解析】由C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2得圆心(0，—4)，则圆心到直线l：y＝x的距离为： 。 ∴由定义，曲线C2到直线l：y＝x的距离为 。 又由曲线C1：y＝x 2＋a，令 ，得： ，则曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为( ， )。 ∴ 。 例7. （2012年重庆市理5分）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则 = ▲ . 【答案】 。 【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。 【分析】设直线的方程为 （由题意知直线的斜率存在且不为0）， 代入抛物线方程，整理得 。 设 ，则 。 又∵ ，∴ 。∴ ，解得 。 代入 得 。 ∵ ，∴ 。∴ 。 例8. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 ▲ 米. 【答案】 。 【考点】抛物线的应用。 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为 ， 　　　　∴∵当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米， ∴抛物线过点（2，－2，）. 代入 得， ，即 。 ∴抛物线方程为 。 ∴当 时， ，∴水位下降1米后，水面宽 米。 例9. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值是 ▲ ． 【答案】 。 【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。 【解析】∵圆C的方程可化为： ，∴圆C的圆心为 ，半径为1。 ∵由题意，直线 上至少存在一点 ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有 公共点； ∴存在 ，使得 成立，即 。 ∵ 即为点 到直线 的距离 ，∴ ，解得 。 ∴ 的最大值是 。 例10. （2012年全国大纲卷理12分）已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。 （1）求； （2）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。 【答案】解：（1）设，对求导得。 ∴直线的斜率，当时，不合题意，∴。 ∵圆心为，的斜率， 由知，即，解得。∴。 ∴。 （2）设为上一点， 则在该点处的切线方程为即。 若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得，解得。 ∴抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 ① ② ③。 ②－③得，将代入②得，故。 ∴到直线的距离为。 【考点】抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。 【解析】（1）两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为－1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。 （2）求出三条切线方程，可由（1）求出。、的切线方程含有待定系数，求出它即可求得交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出到的距离。 例11. （2012年上海市理16分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 . （1）过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线 交 于P、Q两点，若 与圆 相切，求证：OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆 . 若M、N分别是 、 上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） 【答案】解：（1）∵双曲线 的左顶点 ，渐近线方程： . ∴过点A与渐近线 平行的直线方程为 ，即 。 解方程组 ，得 。 ∴所求三角形的面积为 。 （2）证明：设直线PQ的方程是 ∵直线与已知圆相切， 故 ，即 。 由 ，得 。 设 ，则 . 又 ， ∴ EMBED Equation.3 。 ∴OP⊥OQ。 （3）当直线ON垂直于 轴时， |ON|=1，|O |= ，则O到直线MN的距离为 。 （此时，N在 轴上， 在 轴上） 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为 （显然 ）， 则由OM⊥ON，得直线OM的方程为 。 由 ，得 。∴ 。 同理 。 设O到直线MN的距离为 ， ∵ ， ∴ ，即 。 综上所述，O到直线MN的距离是定值。 【考点】双曲线的概念、方程、几何性，直线与双曲线的关系，椭圆的标准方程和圆的有关性质。 【解析】（1）求出过点A与一条渐近线平行的直线方程，再求出它与另一条渐近线即可求得三角形的面积。 （2）由两直线垂直的判定，只要证明表示这两条直线的向量积为0即可，从而求出直线方程，进一步求出表示这两条直线的向量，求出它们的积即可。 （3）分直线ON垂直于 轴和直线ON不垂直于x轴两种情况证明即可。 例12. （2012年北京市理14分）已知曲线C： （1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围； （2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线 与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G。求证：A，G，N三点共线。 【答案】（1）原曲线方程可化为： 。 ∵曲线C是焦点在x轴点上的椭圆， ∴ ，是 。 ∴若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，则m的取值范围为 。 （2）证明：∵m=4，∴曲线c的方程为 。 将已知直线代入椭圆方程化简得： 。 由 得， 。 由韦达定理得： 。 设 。 则MB的方程为 ，∴ 。 AN的方程为 。 欲证A，G，N三点共线，只需证点G在直线AN上。 将 代入 ，得 ， 即 ，即 ， 即 ，等式恒成立。 由于以上各步是可逆的，从而点 在直线AN上。 ∴A，G，N三点共线。 【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。 【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。 （2）欲证A，G，N三点共线，只需证点G在直线AN上。故需求出含待定系数的直线MB和AN的方程，点G的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线MB和AN在 时横坐标相等来证A，G，N三点共线或直线AN和AG斜率相等。还可用向量求解。 例13. （2012年天津市理14分）设椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆上且异于 ， 两点， 为坐标原点. 【版权归锦元数学工作室，不得转载】 （Ⅰ）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若 ，证明直线 的斜率 满足 . 【答案】解：（Ⅰ）设 ，∴ ①； ∵椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的左、右顶点分别为 ， ,∴ 。 ∴ 。 ∵直线 与 的斜率之积为 ，∴ 。 代入①并整理得 。 ∵ ≠0，∴ 。∴ 。∴ 。 ∴椭圆的离心率为 。 （Ⅱ）证明：依题意，直线 的方程为 ，设 ，∴ ， ∵ ，∴ 。∴ ②。 ∵ |， ，∴ 。∴ 。 ∴ 。 代入②得 ，∴ ＞3。 ∴直线 的斜率 满足 。 【考点】圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质。 【分析】（Ⅰ）设 ，则 ，利用直线 与 的斜率之积为 ，即可求得椭圆的离心率。 （Ⅱ）依题意，直线 的方程为 ，设 ，则 ，代入可得 ，利用 ， ，可求得 ，从而可求直线 的斜率的范围。 例14. （2012年山东省理13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 。 （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若点M的横坐标为 ，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 时， 的最小值。 【答案】解：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F ，设M ， 。 由题意可知 ， 则点Q到抛物线C的准线的距离为 ，解得 。 ∴抛物线C的方程为 。 （Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M， 而 ， ， ， ∴ ，即 。 由 可得 ， ，则 ， 即 ，解得 ，点M的坐标为 。 （Ⅲ）∵点M的横坐标为 ，∴点M ， 。 由 可得 。 设 ，则 。 ∴ EMBED Equation.KSEE3 。 ∵圆 ，圆心到直线l 的距离 。 ∴ 。 ∴ 。 ∵ ，∴令 。 ∴ 。 设 ，则 。 当 时， ， 即当 时， 。 ∴当 时， 。 【考点】抛物线和圆的性质，切线斜率的应用和意义，韦达定理的应用，导数的应用。函数的单调性质。 【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据抛物线和圆的性质列式求解。 （Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，则由条件 列式，并由切线斜率的应用和意义求出点M的坐标。 （Ⅲ）应用韦达定理、勾股定理，用 表示出 和 ，根据函数的单调性质可求解。 例15. （2012年湖南省理13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在 外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程； （Ⅱ）设 为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 【答案】解：（Ⅰ）设M的坐标为 ，由已知得 ， 易知圆 上的点位于直线 的右侧，于是 ， 所以 ，化简得曲线 的方程为 。 （Ⅱ）当点P在直线 上运动时，P的坐标为 ，又 ， 则过P且与圆 相切得直线的斜率 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 。 于是 ， 整理得 ① 设过P所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根， ∴ ② 由 得 ③ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为 ， 则 是方程③的两个实根，所以 ④ 同理可得 ⑤ ∴由②，④，⑤三式得 EMBED Equation.DSMT4 。 ∴当P在直线 上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400。 【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 【解析】（Ⅰ）根据M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值用直接法求出曲线的方程。也可用定义法求出曲线的方程： 由题设知，曲线 上任意一点M到圆心 EMBED Equation.DSMT4 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 。 （Ⅱ）设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标之积为定值。 例16. （2012年辽宁省理12分） 如图，椭圆 ： ，a，b为常数)，动圆 ， 。点 分别为 的左，右顶点， 与 相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线 与直线 交点M的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆 与 相交于 四点，其中 ， 。若矩形 与矩形 的面积相等，证明： 为定值。 【答案】解：（I）设 ， ∵ ， ∴直线A1A的方程为 ，直线A2B的方程为 。 由①×②可得： 。 ∵ 在椭圆 上，∴ 。∴ 。 代入③可得： ， ∴点M的轨迹方程为 。 （II）证明：设 ， ∵矩形 与矩形 的面积相等，∴ 。 ∴ 。 ∵A，A′均在椭圆上，∴ 。 ∴ 。∴ 。 ∵ ，∴ 。∴ 。 ∵ ，∴ 。 ∴ 为定值。 【考点】圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。 【解析】（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆 上，化简即可得到点M的轨迹方程。 （II）根据矩形 与矩形 的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均 在椭圆上，即可证得 为定值。 例17.（2012年陕西省理12分）已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率. 【版权归锦元数学工作室，不得转载】 （1）求椭圆 的方程； （2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程. 【答案】解：（1）∵椭圆 以 的长轴为短轴， ∴可设椭圆 的方程为 。 ∵椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 有相同的离心率， ∴ ，则 。 ∴椭圆 的方程为 。 （2） 两点的坐标分别记为 ， 由 及（1）知， 三点共线且点 ， 不在 轴上， ∴可以设直线 的方程为 。 将 代入 中，得 ，∴ 。 将 代入 中，则 ，∴ 。 由 ，得 ，即 ，解得 。 ∴直线 的方程为 或 。 【考点】椭圆的标准方程和性质，向量相等的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【解析】（1）根据椭圆 以 的长轴为短轴，可设椭圆 的方程为 ；由椭圆 与 有相同的离心率，可求得 ，从而得到椭圆 的方程。 （2）由 及（1）知， 三点共线且点 ， 不在 轴上，可以设直线 的方程为 。将 分别代入两椭圆方程，求出 和 。由 ，得 ，从而求出 ，得到直线 的方程。 例18. （2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点P． （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值． 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ，∴ 。 由点 在椭圆上，得 ∴椭圆的方程为 。 （2）由（1）得 ， ，又∵ ∥ ， ∴设 、 的方程分别为 ， 。 ∴ 。 ∴ 。① 同理， 。② （i）由① = 2 \* GB3 ②得， 。解 得 =2。 ∵注意到 ，∴ 。 ∴直线 的斜率为 。 （ii）证明：∵ ∥ ，∴ ，即 。 ∴ 。 由点 在椭圆上知， ，∴ 。 同理。 。 ∴ 由① = 2 \* GB3 ②得， ， ， ∴ 。 ∴ 是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。 三、待定系数法在三角函数问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年湖南省文12分）已知函数 的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）求函数 的单调递增区间. 【答案】解：（Ⅰ）由题设图像知，周期 ，∴ 。 ∵点 在函数图像上，∴ 。 又∵ ，∴ 。∴ ，即 。 又∵点 在函数图像上，∴ 。 ∴函数 的解析式为 。 （Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 。 由 得 ∴ 的单调递增区间是 。 【考点】三角函数的图像和性质。 【解析】（Ⅰ）结合图形求得周期 从而求得 .再利用特殊点在图像上求出 ，从而求出 的解析式。 （Ⅱ）用（Ⅰ）的结论和三角恒等变换及 的单调性求得。 例2. （2012年重庆市文12分）设函数 （其中 ）在 处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 。 （I）求 的解析式（5分）； （II）求函数 的值域（7分）。 【答案】解：（Ⅰ）∵函数 图象与轴的相邻两个交点的距离为 ， ∴ 的周期为 ，即 ，解得 。 ∵ 在 处取得最大值2，∴ =2。 ∴ ，即 。 ∴ 。 又∵ ，∴ 。 ∴ 的解析式为 。 （Ⅱ）∵函数 ， 又∵ ，且 ， ∴ 的值域为 。 【考点】三角函数中的恒等变换应用，由 的部分图象确定其解析式。 【分析】（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出 ，利用函数经过的特殊点求出 ，推出 的解析式。 （Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数 的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到 。通过 ，且 ，求出 的值域。 例3. （2012年陕西省文12分）函数 （ ）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ， （I）求函数 的解析式； （Ⅱ）设 ，则 ，求 的值. 【答案】解：（I）∵函数 的最大值为3，∴ 即 。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期为 。∴ 。 ∴函数 的解析式为 。 （Ⅱ）∵ ，∴即 。 ∵ ，∴ 。 ∴ ，即 。 【考点】三角函数的图像性质，三角函数的求值。 【解析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式。 （Ⅱ）通过 ，求出 ，通过α的范围，求出α的值。 四、待定系数法在数列问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年北京市理5分）已知 为等差数列， 为其前n项和。若 ， ，则 = ▲ ； ▲ 【答案】1； 。 【考点】等差数列 【解析】设等差数列的公差为 ，根据等差数列通项公式和已知 ， 得 。 ∴ 。 例2. （2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列 满足 ， ，则 　　▲　　。 【答案】 。 【考点】等差数列。 【解析】设递增的等差数列 的公差为 （ ），由 得 ， 　　　 解得 ，舍去负值， 。 ∴ 。 例3. （2012年浙江省理4分）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 ▲ ． 【答案】 。 【考点】等比数列的性质，待定系数法。 【解析】用待定系数法将 ， 两个式子全部转化成用 ，q表示的式子： ， 两式作差得： ，即： ，解之得： 或 (舍去)。 例4.（2012年辽宁省理5分）已知等比数列｛an｝为递增数列，且 ，则数列｛an｝的通项公式an = ▲ 。 【答案】 。 【考点】等比数列的通项公式。 【解析】设等比数列｛an｝的公比为 。 ∵ ，∴ 。∴ ， 。 又∵ ，∴ 。∴ 。 解得 或 。 又∵等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去 。 ∴ 。 例5. （2012年天津市理13分）已知{ }是等差数列，其前 项和为 ，{ }是等比数列,且 = ， ， . (Ⅰ)求数列{ }与{ }的通项公式； (Ⅱ)记 ， ，证明 EMBED Equation.DSMT4 . 【答案】解：（1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 由 = ，得 。 由条件 ， 得方程组 ，解得 。 ∴ 。 (Ⅱ)证明：由（1）得， ①； ∴ ②； 由②－①得， ∴ EMBED Equation.DSMT4 。 【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。 （Ⅱ）写出 的表达式，借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例6. （2012年湖北省理12分）已知等差数列 前三项的和为-3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列 的通项公式； （II）若 成等比数列，求数列 的前n项的和。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为，则，， 由题意得 解得或 ∴由等差数列通项公式可得，或。 ∴等差数列 的通项公式为，或。 （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列； 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件。 ∴ 记数列的前项和为， 当时，；当时，； 当时， 。 当时，满足此式。 综上， 【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。 【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为，根据等差数列 前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。 （II）对（Ⅰ）的结果验证符合 成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，，分别求解即可。 例7. （2012年陕西省理12分）设 的公比不为1的等比数列，其前 项和为 ，且 成等差数列. （1）求数列 的公比； （2）证明：对任意 ， 成等差数列. 【答案】解：（1）设数列 的公比为 （ ）， 由 成等差数列，得 ，即 。 由 得 ，解得 。 ∵ 的公比不为1，∴ 舍去。 ∴ 。 （2）证明：∵对任意 ， ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴对任意 ， 成等差数列。 【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。 【解析】（1）设数列 的公比为 （ ），利用 成等差数列结合通项公式，可得 ，由此即可求得数列 的公比。 （2）对任意 ，可证得 ，从而得证。 另解：对任意 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以，对任意 ， 成等差数列。 _1234568145.unknown _1234568401.unknown _1234568529.unknown _1234568657.unknown _1234568721.unknown _1234568785.unknown _1234568817.unknown _1234568833.unknown _1234568841.unknown _1234568845.unknown _1234568849.unknown _1234568851.unknown _1234568853.unknown _1234568855.unknown _1234568856.unknown _1234568854.unknown _1234568852.unknown _1234568850.unknown _1234568847.unknown _1234568848.unknown _1234568846.unknown _1234568843.unknown _1234568844.unknown _1234568842.unknown _1234568837.unknown _1234568839.unknown _1234568840.unknown _1234568838.unknown _1234568835.unknown _1234568836.unknown _1234568834.unknown _1234568825.unknown _1234568829.unknown _1234568831.unknown _1234568832.unknown _1234568830.unknown _1234568827.unknown _1234568828.unknown _1234568826.unknown _1234568821.unknown _1234568823.unknown _1234568824.unknown _1234568822.unknown _1234568819.unknown _1234568820.unknown _1234568818.unknown _1234568801.unknown _1234568809.unknown 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