积分

积分 Integration   在谈积分之前，不得不复习所谓微量的概念。任何一个量都容许些微的变动，比方说，时间是一个量，在某时刻 t 的时候，可以让 t 再往前走一点点，或者，（假想）往后走一点点，这个「一点点」就是一个微量，通常记成 ， 可正可负，它的值不必确定，它可以是千分之一、万分之一、或是更小更小。一般而言，现象通常以一个或多个量来描述，例如在 t 时刻时，某物的位置在 x，或是当密度为 ρ 的时刻，某物所受的浮力为 F 等等。当我们观察两个相关的量的时候，其中一个量微微的变化，会影响另一个量也跟着起了微微的变化，也就是说，这两个微量（的变化）之间是相关的。由于生活中一些具体事物的启发，我们因此专注在理解两个微量之间的比值。比方说 ，又由于 的大小并不确定，我们因此发展了一个令 趋近于 0 的（求极限）处理方式，记成 称为 x 对 t 的微分。如果了解求微分的操作，就可以从已知的中，如 ，得到当 x=t2 时， 和 的比之极限是 2t。在更多的场合，我们常常喜欢使用另一种写法，即 d(t2)=2tdt，或 d(x2)=2xdx（参见〈条目：微分〉)。 如果两个量 y 与 x 之间有 y=x2 的关系，那么，从 d(x2)=2xdx 这个关系式中，y=x2 对 x 的微分就是 2x，经常，我们把上述的观念直接表成 。或者，如果 y=f(x)，dy=f'(x)dx。 式子 千万不可看成只是把「dy」除以「dx」再乘以「dx」，而应该读成「将 与 之比的极限表成 」或者「dy 与 dx 之比就是 y 对 x 的微分，记成 」。 积分，则是一个把许多微量重新求和的概念。例如，想求圆的面积 A，如果把圆割成许多小小的扇形，这每一个小小的扇形可以笼统的以 dA 表达。在分割的过程中，无论分成多么细的扇形，它们的总和总是原来的 A 这个量，记成 或 ， 是 的变形，它代表对无穷多个无穷小的微量求和的过程。 再说， 也不能简单的看成是一句废话，这个式子有两个要紧之处，其一就是刚才谈过的「A 是一个不变的总量」这件事，任何一个问题的处理，都要注意到所求的量是不会因为求法的不同而改变的。其二就是 的这个表示，必须要倚重另一个量才有真正的用处。例如弧长 s，我们知道一个小扇形可以看成是一个小小的等腰三角形，它的底边近似来看是 ds 而腰或高的近似就是半径 r，因此 这样一个表示同时也提醒我们 dA 和 ds 这两个微量之间的关系，这个关系是从本文一开始就一再强调的。 知道了 ，则 就是 的 倍，但是 的意义正是求所谓圆周的总长，因此得到圆面积的公式 我们注意到，如果不能把 dA 表达成另一个微量 ds 的一个系数，那么即便是写下 也是无法真正求出一个答案来。 可以这么说，若是想求一个量 Q，积分的意义就在于把 Q 表成 之后，再继续把 dQ 以某一个更方便的微量 dP 来表成 ，则 ，如果能了解 ，就可以掌握 Q，这样的想法和过程不仅帮我们求出答案，同时，也说明了求 Q 的方式不外是了解 再得到 Q，这个过程有人说成是求 的反微分，因为 是 Q 的微分，所以 Q 就是 的反微分了。至于求 Q 的时候要选谁当（参考量）P 呢？那当然要看哪一个 P 才能提供最清楚的 。一般来说，问题的本身可能会提供不只一个的参考量 P，但是若是不能方便的知道 ，如何求 Q 也就帮不上忙。 再以求 y=f(x) 的函数图形下所覆盖的面积 A 为例，如果以 x 为参考量的话，要如何理解 呢？注意到 是 的极限，也就是说要先了解当 x 变化到 时，A 究竟起了什么变化？当然 是一个近似的梯形，它的高是 ，下底和上底分别是 y 和 ，同时面积 近似等于 ，而 近似等于 ，当 趋近于 0，得到 ，所以求 A 等于是求 y=f(x) 的反微分，这正是牛顿与 Leibniz 发现的微积分基本定理。     （撰稿：张海潮∕台大数学系