2014最全的高等数学考研公式(数学系跨考专业学生精心总结)

2013-10-132:10:11 最最全全的的高高等等数学公式大大全全 ·平方关系： sin 2^(α)+cos 2^(α)=1 tan 2^(α)+1=sec 2^(α) cot 2^(α)+1=csc 2^(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形 ABC中, 角 A的正弦值就等于角 A的对边比斜边, 余弦等于角 A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 第 1 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ·三角恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan α) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A 2^+B 2^)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A 2^+B 2^) (^1/2) cost=A/(A 2^+B 2^) (^1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A 2^+B 2^)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos 2^(α)-sin 2^(α)=2cos 2^(α)-1=1-2sin 2^(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan 2^(α)] 第 2 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin 3^(α) cos(3α)=4cos 3^(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin 2^(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos 2^(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan 2^(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2^(α/2)] cosα=[1-tan 2^(α/2)]/[1+tan 2^(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2^(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 第 3 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos 2^α 1-cos2α=2sin 2^α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2) 2^ ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin 2^(α)+sin 2^(α-2π/3)+sin 2^(α+2π/3)=3/2 第 4 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 [编辑本段] 公式一： 设 α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设 α为任意角，π+α的三角函数值与 α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角 α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα 第 5 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α与 α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与 α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及 3π/2±α与 α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα 第 6 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上 k∈Z) 部分高等内容 [编辑本段] ·高等代数中三角函数的指数示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e (^-ix)]/(2i) cosx=[e (^ix)+e (^-ix)]/2 tanx=[e (^ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie (^-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e z^=exp(z)＝1＋z/1！＋z 2^/2！＋z 3^/3！＋z 4^/4！＋… ＋z n^/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 第 7 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有 很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 第 8 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1)(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 =′ =′ ⋅−=′ ⋅=′ −=′ =′ 2 2 2 2 1 1)( 1 1)( 1 1)(arccos 1 1)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x + −=′ + =′ − −=′ − =′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +±+= ± += += += +−=⋅ +=⋅ +−== +== Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a adxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a xarctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx += − + − + = − + + − = − += + +−= ++= += +−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 ∫ ∫ ∫ ∫∫ ++−=− +−+−−=− +++++=+ − === − C a xaxaxdxxa Caxxaaxxdxax Caxxaaxxdxax I n nxdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 ππ 第 9 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 22 2 2 1 2 21 1cos 1 2sin u dudxxtgu u ux u ux + == + − = + = ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函 数 角 A sin cos tg ctg x xarthx xxarchx xxarshx ee ee chx shxthx eechx eeshx xx xx xx xx − + = −+±= ++= + − == + = − = − − − − 1 1ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ...590457182818284.2)11(lim 1sinlim 0 ==+ = ∞→ → e x x x x x x 第 10 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin βαβαβα βαβαβα βαβαβα βαβαβα −+ =− −+ =+ −+ =− −+ =+ αβ βαβα βα βαβα βαβαβα βαβαβα ctgctg ctgctgctg tgtg tgtgtg ± ⋅ =± ⋅ ± =± =± ±=± 1)( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(    第 11 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ·倍角公式： ·半角公式： α α α α α αα α α α α α αα αααα cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin − = + = − + ±= + = − = + − ±= + ±= − ±= ctgtg 　　 　　　　　　　　　　　　 ·正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin === ·余弦定理： Cabbac cos2222 −+= ·反三角函数性质： arcctgxarctgxxx −=−= 2 arccos 2 arcsin ππ 　　　 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnnvunnvnuvu vuCuv ++ +−− ++′′ − +′+= = −−− = −∑    中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf = ′ ′ = − − −′=− )(F )( )( )()( )()( ))(()()( ξ ξ ξ 曲率： α ααα ααα ααα 2 3 3 3 31 33 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtgtg − − = −= −= α αα α αα ααααα ααα 2 2 2222 1 22 2 12 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tgtg ctg ctgctg − = − = −=−=−= = 第 12 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 .1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s = = ′+ ′′ == ∆ ∆ = ′∆′∆ ∆ ∆ = =′′+= →∆ 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： αα αα α 定积分的近似计算： ∫ ∫ ∫ −− − − +++++++++ − ≈ ++++ − ≈ +++ − ≈ b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n abxf yyyy n abxf yyy n abxf )](4)(2)[( 3 )( ])( 2 1[)( )()( 1312420 110 110    抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： ∫ ∫ − − = = ⋅= ⋅= b a b a dttf ab dxxf ab y k r mmkF ApF sFW )(1 )(1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 第 13 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 αα θ θ θ ϕϕ ,cos)(][ ..sin, cos ,,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u     ⋅×==⋅×= ×=⋅==×= ++⋅++ ++ = ++=⋅=⋅ +=+ ⋅= −+−+−== （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 ,, 22 2 11 };,,{, 13 02 ),,(},,,{0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 =+− =−+ =+ =++      += += += == − = − = − ++ +++ = =++ =+++ ==−+−+− c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA   第 14 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x zzyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dyyxF dy y vdx x vdvdy y udx x udu yxvvyxuu x v v z x u u z x zyxvyxufz t v v z t u u z dt dztvtufz yyxfxyxfdzz dz z udy y udx x ududy y zdx x zdz −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ⋅− ∂ ∂ − ∂ ∂ =−== ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = == ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ == ∆+∆=≈∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ，　　，　隐函数 ＋，　　，　　隐函数 隐函数的求导公式： 　　　　 时，，当 　　　　 　　　　 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 　　　全微分： 0),,( )()(0),( ),(),( )],(),,([ )](),([ ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GFJ vuyxG vuyxF vu vu ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =    = = 　　　　 　　　　 　　　隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： 第 15 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 )},,(),,,(),,,({1 ),,(0),,( },,{, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xxzyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy − = − = − =−+−+− = =     = = = =−′+−′+−′ ′ − = ′ − = ′ −      = = = 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线   ωψϕ ωψϕ ω ψ ϕ 方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y fi x fyxfyxpyxfz lx y f x f l flyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( ∂ ∂ ∴ ⋅+⋅=⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ =   ϕϕ ϕ ϕϕ 多元函数的极值及其求法：         =− <−    > < >− ===== 　　　　　　　不确定时 值时，　　　　　　无极 为极小值 为极大值 时， 则： 　　，令：设 ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用： 第 16 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ++ −= ++ = ++ = => == ====       ∂ ∂ +      ∂ ∂ +== = ′ D z D y D x zyx D y D x D Dy D x D DD ayx xdyxfaF ayx ydyxfF ayx xdyxfF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M Mx dxdy y z x zAyxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 2222 3 2222 3 222 22 D 22 )( ),( )( ),( )( ),( },,{)0(),,0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( σρσρσρ σρσρ σρ σρ σρ σρ θθθ ，　　，　　 ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量： 　　平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标： ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩ ΩΩΩΩ Ω Ω Ω Ω +=+=+= ===== == =⋅⋅⋅=      = = = = =      = = = dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r ρρρ ρρρρ ϕθϕϕθθϕϕθϕ θϕϕθϕϕ ϕ θϕ θϕ θθθ θθθ θ π π θϕ )()()( 1,1,1 sin),,(sin),,(),,( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),,( ,),,(),,(,sin cos 222222 2 0 0 ),( 0 22 2 ，　　，　　转动惯量： ，　　其中　　　　重心： ，　　球面坐标： 其中： 　　　柱面坐标： 曲线积分：    = = <′+′= ≤≤    = = ∫ ∫ )()()()()](),([),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L ϕ βαψϕψϕ βα ψ ϕ β α 　　特殊情况：　　 则：　　的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 第 17 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，＝在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( · )0,0(),(),(2 1 · 2 12, )()( )coscos( )}()](),([)()](),([{),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 ==+= + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −=== ∂ ∂ − ∂ ∂ =−= += ∂ ∂ − ∂ ∂ += ∂ ∂ − ∂ ∂ +=+ ′+′=+    = = ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x QGyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x QxQyP QdyPdxdxdy y P x QQdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx D L D LD L L L L βαβα ψψϕϕψϕ ψ ϕ β α 曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ++=++ ±= ±= ±= ++ ++= dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ]),,(,[),,( ],),,([),,( )],(,,[),,( ),,(),,(),,( ),(),(1)],(,,[),,( 22 γβα系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式： 第 18 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ ∑ ∑∑ ∑Ω ∑ = ++==⋅ < ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ++=++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n    div )coscoscos( ...,0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： —通量与散度：—高斯公式的物理意义 γβα νν γβα 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ Γ Γ ∑∑ ∑ Γ ⋅=++Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ++= ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Qdzdx x R z Pdydz z Q y R   的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( γβα 常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nnn q qqqq n n 1 3 1 2 11 2 )1(321 1 11 12 ++++ + =++++ − − =++++ −    级数审敛法： 第 19 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法 nnnn n n n n nn suuus U U u ∞→ + ∞→ ∞→ +++=      = > < =      = > < = lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1  ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 —莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数 11 1 3214321 ,0lim )0,( + ∞→ + ≤≤     = ≥ >+−+−+−+− nnn nn nn n urrusu uu uuuuuuuu  绝对收敛与条件收敛： ∑ ∑ ∑ ∑ > ≤ − +++++ ++++ 时收敛 １时发散ｐ 　　级数：　　 收敛；　　级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 )1(1 )1()1()2( )1()2( )2( )1( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn   幂级数： 第 20 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 0 0 10 )3(lim )3( 1 1 11 1 1 1 2 210 32 =+∞= +∞== =≠ = = > < +++++ ≥ − < ++++++ + + ∞→ R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，，其中求收敛半径的：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数 时，发散 时，收敛于 　　 ρ ρ ρ ρ ρ   函数展开成幂级数：   +++ ′′ +′+== =− + = +−++− ′′ +−= ∞→ + + n n nn n n n n n x n fxfxffxfx Rxfxx n fR xx n xfxxxfxxxfxf ! )0( !2 )0()0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )()( !2 )())(()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： ξ 一些函数展开成幂级数： )( )!12( )1( !5!3 sin )11( ! )1()1( !2 )1(1)1( 12 1 53 2 +∞<<−∞+ − −+−+−= <<−+ +−− ++ − ++=+ − − x n xxxxx xx n nmmmxmmmxx n n nm 　　　 　　　     欧拉公式：       − = + = += − − 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix eex eex xixe 　　　或 三角级数： 第 21 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 。上的积分＝ 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，，，其中， 0 ],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 ππ ωϕϕ ϕω − ==== ++=++= ∑∑ ∞ = ∞ =  nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxaatnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数： 是偶函数　　　，余弦级数： 是奇函数　　　，正弦级数： （相减） （相加） 　 　　　 　　　 其中 ，周期 ∑∫ ∑∫ ∫ ∫ ∑ +==== ==== =+−+− =++++ =+++ =+++        == == =++= − − ∞ = nxaaxfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxaaxf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2,1,0cos)(20 sin)(3,2,1nsin)(20 124 1 3 1 2 11 64 1 3 1 2 11 246 1 4 1 2 1 85 1 3 11 )3,2,1(sin)(1 )2,1,0(cos)(1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0         π π π π π π π π π π π π π π π 周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数： 第 22 页 共 24 页 2013-10-132:10:11        == == =++= ∫ ∫ ∑ − − ∞ = l l n l l n n nn ndx l xnxf l b ndx l xnxf l a l l xnb l xnaaxf )3,2,1(sin)(1 )2,1,0(cos)(1 2)sincos( 2 )( 1 0   　　　 　　　 其中 ，周期 π π ππ 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。　　得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 　或　一阶微分方程： u x y uu du x dxu dx duu dx duxu dx dy x yu x yyxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy − =∴=++== == +== = =+=′ ∫∫ )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( ϕ ϕ ϕ 一阶线性微分方程： )1,0()()(2 ))((0)( ,0)( )()(1 )()( )( ≠=+ ∫+∫=≠ ∫== =+ ∫ − − nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y uyxP x udyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP =∴ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =+= =+ ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()(2 2 ≠ ≡ =++ xf xf xfyxQ dx dyxP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 第 23 页 共 24 页 2013-10-132:10:11 21 22 ,)(2 ,,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 ∆ ′′′=++∆ =+′+′′ 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2 >− qp xrxr ececy 21 21 += 两个相等实根 )04( 2 =− qp xrexccy 1)( 21 += 一对共轭复根 )04( 2 <− qp 2 4 2 2 21 pqp irir − =−= −=+= βα βαβα ， ， )sincos( 21 xcxcey x ββα += 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， ]sin)(cos)([)( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x ωω λ λ λ += = =+′+′′ 第 24 页 共 24 页