高数中需要掌握证明过程的定理(一)

高数中的重要定理与及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，了高数中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 ， ， ， ， 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限 与 的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： ：由极限 两边同时取对数即得 。 ：在等式 中，令 ，则 。由于极限过程是 ，此时也有 ，因此有 。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的 换成 ，再取倒数即得 。 ：利用对数恒等式得 ，再利用第二个极限可得 。因此有 。 ：利用对数恒等式得 上式中同时用到了第一个和第二个极限。 ：利用倍角公式得 。 2）导数与微分的四则运算法则 【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则 设 ，如果 在 处可导，且 在对应的 处可导，则复合函数 在 处可导可导，且有： 【点评】：同上。 4）反函数求导法则 设函数 在点 的某领域内连续，在点 处可导且 ，并令其反函数为 ，且 所对应的 的值为 ，则有： 【点评】：同上。 5）常见函数的导数 ， ， ， ， ， ， 【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明： ：导数的定义是 ，代入该公式得 。最后一步用到了极限 。注意，这里的推导过程仅适用于 的情形。 的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。 ：利用导数定义 ，由和差化积公式得 。 的证明类似。 ：利用导数定义 。 的证明类似（利用换底公式 ）。 ：利用导数定义 。 的证明类似（利用对数恒等式 ）。 6）定积分比较定理 如果在区间 上恒有 ，则有 推论：ⅰ如果在区间 上恒有 ，则有 ； ⅱ设 是函数 在区间 上的最大值与最小值，则有： 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7）定积分中值定理 设函数 在区间 上连续，则在积分区间 上至少存在一点 使得下式成立： 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。 8）变上限积分求导定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在 上可导，并且它的导数是 设函数 ，则有 。 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。 9）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数 在区间 上连续，则有 ，其中 是 的原函数。 【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。 10）费马引理： 设函数 在点 的某领域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 ，那么 【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11）罗尔定理： 如果函数 满足 （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 上可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在 内至少存在一点 ，使得 。 【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。 12）拉格朗日中值定理： 如果函数 满足 （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 上可导 那么在 内至少存在一点 ，使得 。 【点评】：同上。 13）柯西中值定理： 如果函数 和 满足 （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 上可导 那么在 内至少存在一点 ，使得 。 【点评】：同上。 14）单调性定理： 设函数 在 上连续，在 上可导。 如果在 上有 ，那么函数 在 上单调递增。 如果在 上有 ，那么函数 在 上单调递减。 【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。 证明： 仅证明 的情形， 的情形类似。 ，假定 则利用拉个朗日中值定理可得， 使得 。 由于 ，因此 。 由 的任意性，可知函数 在 上单调递增。 14）(极值第一充分条件) 设函数 在 处连续，并在 的某去心邻域 内可导。 ⅰ）若 时， 而 时， 则 在 处取得极大值 ⅱ）若 时， 而 时， 则 在 处取得极小值； ⅲ）若 时， 符号保持不变，则 在 处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。 15）(极值第二充分条件) 设函数 在 处存在二阶导数且 ，那么 ⅰ）若 则 在 处取得极小值； ⅱ）若 则 在 处取得极大值。 【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明： 仅证明 的情形， 的情形类似。 由于 在 处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在 的某领域内成立 由于 ，因此 由高阶无穷小的定义可知，当 时，有 ，又由于 ，因此在 的某领域内成立 。 进一步，我们有 。 也即，在 的某领域内成立 。 由极值点的定义可知 在 处取得极小值。 16）洛必达法则 设函数 在 的空心邻域内可导， ，且 则有 ，其中 可以是有限数，也可以是 。 【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。 _1298699364.unknown _1298703371.unknown _1299666102.unknown _1312641835.unknown _1329982436.unknown _1329984683.unknown _1329987555.unknown _1329987705.unknown _1329988180.unknown _1329988266.unknown 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