波在左手介质调制的一维无序系统中传播的反常特性

波在左手介质调制的一维无序系统中传播的反常特性 北京师范大学物理系 2001 级 董云霞 指导老师：张向东 摘要 本文通过传递矩阵的方法研究了电磁波在左手介质调制的一维无序系统中的传播特性。 在研究中发现当系统中左手介质的有效介电常数和磁导率均等于 0.5 时，不受无序的影响， 系统的透射率恒为 1。在该系统的能隙处找到了较小的局域化长度，这将有利于获得较强的 安德森局域化现象。通过数值计算得到了 Lyapunov 指数及其方差，发现它们不满足单参数 标度理论。 关键词：无序系统，局域化现象，左手介质 ABSTRACT Propagation properties of electromagnetic waves in a one-dimension random systems containing both left-handed-material and right-handed-material is studied by the transfer matrix method. It is found that when the effective permittivity and permeability both equal to 0.5, the transmission is 1 and it is insensitive to disorder. The localization length in the gap of the system is found to be small and this would facilitate the observation of many phenomena related to Anderson localization. The Lyapunov exponent（LE）and its variance are computed numerically and the linear dependence between the LE and its variance as expected by single-parameter scaling law is not observed. Keywords: random system, localization phenomena, left-handed-material 一、 引言 在过去的几十年里人们对波在有序和无序系统中的传播特性作了充分的研究。电磁波在 有序系统如光子晶体中传播时，由于多重散射相互作用，会形成光子能带和光子能隙，频率 在光子能隙中的电磁波是不能传播的。由于光子能隙的存在，光子晶体有重要的应用前景， 如可以用来制作反射镜，光开关，也可以应用于无阈值激光、光通讯等方面，与传统的光器 件相比有很大的优越性。如果在光子晶体中引入无序或缺陷，可能带来光波的局域化，光波 会局域在某些空间，形成很强的局域光场，由此可能带来一系列新的物理现象和效应。 以上所研究的系统主要是由传统的右手介质（ε>0，μ>0）组成的，最近左手介质（ε<0， μ<0）引起了人们极大的兴趣，人们从理论和实验两方面都证实了左手介质存在的可能性， 并进一步研究了光波在左手介质传播的一些新奇特性。由左手介质和右手介质周期排列而成 的新型的光子晶体也有一些不同于传统光子晶体（由两种不同折射率的右手介质周期排列而 第 1 页 共 16 页 成）的特点，在左手介质和右手介质的一维准周期系统人们也做了研究。然而波在左手介质 调制的无序系统中的传播特性还没有人研究过，本文将对这个问作详细的说明。 二、波在无序系统传播的 Anderson 局域化现象 在研究波在左手介质调制的无序系统中的传播特性前，我们先来对局域化现象做一个简 单的说明。 人们对局域化现象的认识最早是电子在无序系统中的局域化［1］。早在 1958 年，美国物 理学家安得森（P. W. Anderson）首先预测，如果在导体内加入杂质，电子在传导时会被这 些杂质散射，多重散射波互相干扰，结果能导致电子停止运动，金属的导电性消失，呈现出 绝缘体的性质。这一预测被实验所证实。现在人们称由于掺杂而导致的导电到绝缘的现象为 电子波的安得森局域化（Anderson Localization）。 理想晶体中原子排列高度有序，具有严格的周期性，具有严格周期性的有序晶体是平移 不变的，电子的状态用布洛赫函数来描述： rik kk erur ⋅= )()(ψ 。所有的电子作 公有化运动，布洛赫态又称为扩展态。具有扩展态是有序晶格的特点。当有序晶格中掺入少 量杂质后，周期性被局域破坏，成为无序系统，将有电子被束缚在杂质附近，这些电子的波 函数是指数衰减型定域函数： lrer −∝)(ψ ，其中 l 称为定域化长度。这时电子在 杂质附近作定域化的运动，有别于扩展在整个晶体的公有化运动，称为电子的定域态或局域 态。 下面采用安德森等人基于兰多尔（Landauer）的简单物理来说明一维无序系统中电 子的定域化特征。 在零温和不计电子相互作用时，在长度为 L 的无序系统中，当 L 比电子的非弹性散射 平均距离小得多时，电子只受无规杂质的势散射作用。一维无序系统可以看作是一组高度和 间距为无规的势垒链，并且在两个杂质的势垒之间电子以平面波形式自由传播，仅当碰到势 垒时才发生透射和反射。当计算一块样品的透射系数 T 和反射系数 R 时，必须对间距不等 的诸多两势垒散射作统计平均，这是求解一维无序系统的关键点。 兰多尔的主要贡献是假定 T 和 R 都已经求得，它既可以代一个杂质势垒的 T 和 R， 也可以推广用于一段长度为 L 的无序样品。这样只需将整个无序样品看成是一个模拟的势 垒。 第 2 页 共 16 页 图 2-1 1 2 r 1 t Bexp(i Φ) Cexp(-i Φ) 求电子波在双势垒间经多次透射和反射后的透射系数 T12与两个势垒的透射系数 T1、T2 的关系。通过对间距不同的双势垒系统的系综平均，找到了一维无序系统的一个重要特征： 2112 lnlnln TTT += （2.1） 相应的方程可以用反射和透射系数比 S=R/T 表示为： [ ] [ ] [ ])(1ln)(1ln)(1ln 2121 LSLSLLS +++=++ （2.2） 这是描述一维无序系统 S 的对数函数 f(S)=Ln[1+S(L)]之平均值随样品尺寸改变（即标 度变化）的一个重要方程。显然这个方程的解必然是： LLSf γ=+= )](1ln[ （2.3） 这个公式的物理意义是一段长度为 L 的一维无序样品的 f=ln[1+S(L)]函数的平均值是 L 的线性增长函数。安德森等人仔细研究发现 f 函数相对于平均值的均方偏差 2222 )(L ffff −=−=Δ ）（ （2.4），在 L 很大时也具有随 L 线性 增长的特征。 作为初级近似，可以认为就是实际 ln[1+S(L)]的函数，可得： 12 )( )(1)( −∂=−= Le LT LTLS （2.5） 其中设 α=γ/2。 由此可得一维无序系统的实际透射率为： LeLT ∂−= 2)( （2.6） 这说明在一维无序系统中，经 L 距离透射后，电子波的几率幅指数衰减。l=1/α代表局 域化长度，可见一维无序系统的电子处于局域化状态。 1979 年亚伯拉罕（E.Abrahams）和安德森等四人首先指出无序系统的标度理论，他们 采用长度为 L 的 d 维块体的量纲为 1 的电导 g(L)作为描述局域化特征的唯一标度参量，并 仿照重整化群的标度理论，对不同维度无序体系的局域化特征作出了一系列新的预言，从而 人们对安德森局域化有了更深层次的认识，也为无序系统的研究打开了新的窗口。标度理论 证明了：在一维无序系统中，任何小的无序都会导致局域化，在二维情况下也不存在扩展态， 第 3 页 共 16 页 所有的态都是定域态。至于三维情况可能既有定域态又有扩展态。 波在无序系统中的局域化情况可以用Lyapunov指数（Lyapunov exponent）γ及其方差 （variance）var(γ)来表征［2］。 Lyapunov 指数定义为： NN γγ ∞→= lim （2.7） 其中 )1ln( 2 1 N TN = N γ var(γ)定义为 )(lim)var( 22 NNN γγγ −= ∞→ （2.8） 局域化长度 l 与 Lyapunov 指数互为倒数，也可以通过式（2.5）求得： 21 12 lnln )(2 TT LLl − −= （2.9） 三、关于左手介质的一些简单介绍 在讨论左手介质调制的无序系统前，还要来介绍一些关于左手介质的基本知识。最早在 1968 年，苏联物理学家 V.G.Veselago［3］ 断言，平面电磁波可以在一个同时具有负介电常数 ε和负磁导率 µ 的介质中传播。Veselago最初称此类负折射率介质为“左手介质” （left-handed material）。1996 年，英国皇家学院John Pendry 指出可以用细金属导线阵列构 造等效介电常数为负的人工媒质。1999 年又指出可以用谐振环阵列构造等效磁导率为负的 人工媒质。2001 年，美国加州大学圣地亚哥分校的斯密斯（DavidSmith）等人构造出了ε 与µ同时为负的人工媒质，并通过实验观察到了“负折射”现象。从此这类人工媒质研究成 为一个引人注目的前沿领域。 根据Maxwell方程： t BE ∂ ∂−=×∇ ； t DH ∂ ∂=×∇ ； （3.1） 物质的本构关系： B=µ H ； D= ε E； （3.2） 对于平面单色波，有 及 ; （3.3） rjko eErE ⋅−=)( rjkoeHrH ⋅−=)( 将 （3.2），（3.3）式代入（3.1）中，得到 第 4 页 共 16 页 ; 1 0EkH o ×= ωμ ; 1 0HkEo ×−= ωε （3.4） 由（3.4）可以看出，在一般介质中 (ε> 0 且 μ> 0)，电场（E）、磁场(H) 与波矢 (k) 符合右手系的向量关系（图 3-1（a）），这种介质称为右手介质；然而当ε和μ同时为负值时， 电场、磁场以及波矢三者构成左手系的向量关系（图 3-1（b）），Veselago 称这种ε和μ同时 为负值的物质为左手介质。 另外已知表征电磁波功率流动的坡印廷矢量定义为： HES ×= 在上述讨论的基础上，我们将电磁波在左右手介质中电场（E）、磁场（H）、波矢（K） 与能量流密度方向（S）之间的向量关系用下图形象表示： 图 3-1 左手介质和右手介质的向量关系（E,H,k,S） 下面从理论和实验两个方面说明左手介质的可行性。 1、理论分析［4］ 在某种意义上，任何材料都是复合物质，甚至是由单一原子或者分子组成的物质也是 这种意义上的复合材料。在研究电磁场在介质中的性质的时候，只考虑材料的本构参数—— 介电常数ε ，磁导率μ 和电导率σ 。在考虑损耗的时候，才研究σ 的影响，一般只考虑材 料的ε 和 μ 。可以说物质的本构关系是组成物质的分子或者原子对电磁波的影响的宏观反 映。现在只需把思维向外发散，只要是尺寸比波长小得多的空间重复单元，其对电磁波的性 质也可用类似的特征参数来描述，只不过此时的“本构关系”应该是一种等效的本构关系， 使最小重复单元对电磁波性质的描述，用 effε 和 effμ 来表示。 effε 、 effμ 的定义为： 0ave eff ave D Eε ε= (3.5) 0ave eff ave B Hμ μ= (3.6) 可以看出，定义是一种平均值的等效，是整个独立单元的平均磁感应强度 aveB 和平均磁场强 第 5 页 共 16 页 度 以及平均电通量 和平均电场强度 的关系。要求得aveH aveD aveE effε 和 effμ 的值，首先要想 办法求得单元的 、 、aveD aveE aveB 和 。 aveH 从 Maxwell 方程出发： c s H dl D dS t ∂⋅ = + ⋅∂∫ ∫∫� (3.7) c s E dl B dS t ∂⋅ = − ⋅∂∫ ∫∫� (3.8) 这是完整的准确的解，实际情况由于积分曲线和积分曲面极为复杂，往往不能得到这种 精确的解，只能采用数值计算的方法求得近似解。但是它提供了一种求场量的平均值的方法。 一般采用有限时域差分模型（FDTD）算法，进行有限元运算，对于一个单元，考虑平均磁 场强度 时，可以认为是矢量 沿最小单元三个不同的方向的平均： aveH aveH ( ,0,0) (0,0,0) 1( ) r a ave x r H a = = H dr= ⋅∫ (3.9) (0, ,0) (0,0,0) 1( ) r a ave y r H a = = H dr= ⋅∫ (3.10) (0,0, ) (0,0,0) 1( ) r a ave z r H a = = H dr= ⋅∫ (3.11) 而对于单元的平均磁感应强度 aveB ，可认为是在三个不同的面上的平均，如果定义 xS 是矢 量 和y z 构成， 是矢量yS x 和 z 构成， 是矢量zS x 和 构成，则： y 2( ) x ave x S B a B d− S= ⋅∫ (3.12) 2( ) y ave y S B a B d− S= ⋅∫ (3.13) 2( ) z ave z S B a B d− S= ⋅∫ (3.14) aveB 和 相对应的分量比值就是该分量上的aveH effμ 值： 0( ) ( ) ( )eff x ave x ave xB Hμ μ= (3.15) 0( ) ( ) ( )eff y ave y ave yB Hμ μ= (3.16) 0( ) ( ) ( )eff z ave z ave zB Hμ μ= (3.17) 2、实验验证 等效磁导率和介电常数是由整个介质的规格以及入射波的模式决定的，要想在同一个介 质中实现μ<0,ε<0 是非常困难的。金属丝（wire）结构可以在微波段或更低的频率段实现 等离子体频率ωp，从而类似于一个等离子体，具有负的介电常数。所以，将具有μ<0 的有 第 6 页 共 16 页 缝的环状谐振器(split ring resonator，简称SRR)和这种wire结构组合在一起时，就可以得到左 手介质了。这种物质是具有周期性结构的，它的一个典型单位晶格如下图所示： 图 3-2：左手介质单元结构 从左手介质单元结构的图中可以看出，这个结构是不对称的。在谐振频段内，等效的ε 和μ为负的前提是入射的 TEM 模的场量 H 必须与 X 轴平行，而 E 必须和 Y 轴平行，或者说 H 必须和 SRR 的轴向平行，E 必须和金属线平行。这样的话，左手介质的性质在 TEM 模沿 Z 方 向传播时才可以体现出来，所以这个单元结构实际上是一个等效的一维结构。 美国圣迭戈加州大学（UCSD）的实验［5］是在微波段进行的。他们所用的受试物并不是 一种材料，而是一个经仔细设计的独特的系统．具体讲，用一个二维线阵产生负介电常数（ε ＜0），用另一个SRR产生负磁导率( μ <0)。SRR两环之间的电容与自感形成谐振回路，可 发生谐振。多个SRR组成周期阵列并互相耦合，可以造成μ 由正变负的效果。现在二维左手 介质结构已经构造出来了，它是通过将两个SRR放在两个互相垂直的平面内，作为一个单元 结构得SRR部分 (见左图)．用微波波束进行照射，测量其散射角(θ )和有效折射率( ) 。 effn 图3-3：二维左手介质样品 当f = 1012~1018GHz 时,LHM 处在负折射率频区,且具有高度色散性。实验的直观的 负折射率的结果可以如下图所示： 第 7 页 共 16 页 图3-4：折射率与频率的关系，实线对应左手介质理论值，虚线对应左手介质实际值。点线 对应右手介质（Teflon---聚四氟乙烯）。 根据测量结果,可以看到折射率确实是“负”的。总之,人们通过实验构造出了左手介质 材料。 四、波在左手介质调制的一维光子晶体中的传播特性 由左手介质和右手介质周期排列而成的新型的光子晶体有一些不同于普通光子晶体的 特点［6］，这些已经有人研究过了，下面我们来简单了解一下。传统的光子晶体，由两种不 同折射率的右手介质周期排列而成，波在其中传播时，由于布里渊散射而形成能隙，无序结 构将破坏带结构。而由左手介质和右手介质组合而成的新型的光子晶体，具有不同的传播特 性，在平均折射率为零的频率区产生了一个新的能隙，这个能隙具有标度不变性，在改变晶 格常数时保持不变，而且受无序的影响很小，即使在无序系统中这个能隙也存在。 1、 首先我们从理论上证明平均折射率为零对应着能隙的产生。 考虑具有周期结构的一维光子晶体，其相对介电常数和磁导率满足关系： ε(x+a)= ε(x),μ(x+a)= μ(x)，其中 a 为晶格常数。 其色散关系由下式得到： )()(])( )()( 1[ )( )( 2 xE cdx xdE xnxzdx d xn xz ω=− (4.1) 其中 ( ) )(/)(,)()()( xxxzxxxn μεμε == 由周期性条件的限制得到：Tr[T(ω)]=2cosκa （4.2） 其中 T(ω)为传递矩阵。 对于周期排列的双层结构（ABAB------）有： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= 2)cos(2))(( 21 zzanTT 12 zzc r ωω ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛× cc dndn 2211 sinsin ωω (4.3) 第 8 页 共 16 页 其中 ni,Zi,di分别为第 i 层的折射率，阻抗和厚度。 (4.3)式右边第一项对应平均折射率 ( )dxxn a n a∫= 01 第二项在阻抗不同时产生能隙，即 Z1≠Z2 时，当 πωκ mcana == /0 （m 为整 数）时，(4.3)式为： 2)(sin22)]([ 112 1 2 2 1 ≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++= c dn Z Z Z ZTTr ωω （4.4） 这样由方程（4.2）可知 κ 没有实数解，对传统的光子晶体来说着对应着布里渊散射带来的 能隙。而对于由左手介质和右手介质组合而成的光子晶体， 0=n 能带来同样的结果， 导致一个新的能隙的产生。 对于由空气和左手介质周期排列而成的一维光子晶体，左手介质的有效介电常数和磁导 率分别由下式决定： 22 2 22 2 22 2 902.0 31)( 5.11 10 9.0 51)( f f ff f −+= −+−+= μ ε （4.4） 得到能带结构如图 4-1（b）所示。 图 4-1 （a）左手介质的有效介电常数和磁导率；（b）12mm 厚的空气和 6mm 厚的左手介质 构成的光子晶体的色散关系；(c)实线：带结构为（b）的 16 层结构的透射率，点线：晶格 常数为原来 2/3 的 16 层结构的透射率；(d)不同无序情况下的透射率。 第 9 页 共 16 页 2、 通过有限时域差分模型（FDTD）算法，设计一个具有 0=n 的能隙的光子晶体。 如图 4-2，两边的金属有缝矩形框具有负的磁导率，中间的金属叉具有负的介电常数，所用 金属线厚为 0.2mm，用 1.6mm 厚的介质（相对介电常数为 5.3）将矩形框和金属叉隔开，在 E-H 平面上这个结构的有效负折射率层厚为 3.5mm。 图 4-2 由左手介质调制的一维光子晶体单元结构 通过 FDTD 算法计算单一这种结构的透射谱和反射谱从而得到有效的介电常数 ε(ω)和 磁导率 μ(ω)。结果表明在 4.1-4.8GHz 处 ε(ω) ，μ(ω)均为负值，也就是说在这个频率区间有 负的折射率。 在 k 方向上重复这种结构，并包含 7mm 空气间隔作为右手介质。这样就形成了由左手 介质调制的一维光子晶体。通过计算发现这种光子晶体在 4.5GHz 附近 0=n ，在能带结 构图上正好对应着一个能隙。 总之， 0=n 对应着一个不同于传统光子晶体的光子能隙。这个能隙具有与布里渊散 射的能隙由不同的特点，在无序系统中也能够存在，具有标度不变性，不随晶格常数的改变 而改变。那么在这种左手介质和右手介质构成的无序系统，局域化现象与传统的单纯由右手 介质构成的无序系统的局域化现象又有什么不同呢？下面我就这个问题做一个探索性的研 究。 五、波在左手介质调制的一维无序系统中传播的反常特性 本文主要是通过传递矩阵的方法研究电磁波在左手介质调制的一维无序系统中的传播 特性。下面首先对传递矩阵的方法作一个严格的推导。 在没有电流和电荷分布的均匀介质中，由 Maxwell 方程导出电磁场的波动方程： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∂ ∂−∇ =∂ ∂−∇ 0 0 2 2 2 2 2 2 ),(),( ),(),( trH t trH trE t trE εμ εμ (5.1) 其中 ε，μ分别为介质的介电常数和磁导率。 对于定态： 第 10 页 共 16 页 ⎩⎨ ⎧ = = − − ti ti erHtrH erEtrE ω ω )(),( )(),( (5.2) 将（5.2）代入到（5.1）可以得到电磁场的一个 Helmholtz 方程： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ×∇−= =•∇ =+∇ EiH E EkE ωμ 0 022 (5.3) 其中 rrc k εμωμεω == rr με ,, 分别为介质的相对介电常数和相对磁导 率。c 是电磁波在真空中的传播速度。 当频率为ω的电磁波由一种介质 A传播到另一种介质 B 中，对于 TE 波即横电波，由边 界条件得在两种介质的交界面上有 xy HE , 连续， 由（5.3）得 z E i H x ∂ ∂= ωμ 1 因此有边界条件： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∂ ∂=∂ ∂ ByAy BBAA EE z E z E μμ 11 （5.4） 1、下面推导多层介质膜即一维光子晶体中电磁波的传播矩阵。 第 11 页 共 16 页 Z 轴 X 轴 n-1 n Zn-1 Zn 。。。。。。 1 2 图 5-1 如图，入射波（TE 波）沿 Z 轴垂直入射到 N 层介质膜上，设膜厚度分别为 a(n)。 由（5.3）得频率为ω的横电波电磁波波动方程为： 0)()()(2 2 2 2 =+∂ ∂ zEzz cz E rr μεω (5.5) 因此我们可以写出在第 n 层介质中电磁波的形式解： )()( 11)( −− −−− += nnnn zziknzziknn eBeAzE (5.6) 利用边界条件（5.4） ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + n nn n n B AtB A )( 1 1 （5.7） ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = − + + + + − + + + + nnnn nnnn aik nn nnaik nn nn aik nn nnaik nn nn n e k ke k k e k ke k k t μ μ μ μ μ μ μ μ 1 1 1 1 1 1 1 1 )( 11 11 2 1 （5.8） 设 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=Π= 2221 1211)( 1 tt ttt n n i 取 A0=1,B0=r，第 n+1 层介质为半无限厚，则 An+1=t,Bn+1=0。 第 12 页 共 16 页 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ rtt ttt 1 0 2221 1211 （5.9） 由此可得透射系数和反射系数： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= 22 21 22 12212211 t tr t ttttt （5.10） 由 2rR = 和 2tT = 可以求得电磁波经过多层介质膜后的反射率和透射率。可以 验证，这种传递矩阵的方法不仅适用于普通介质（ε和μ均大于 0）同时也适用于左手介质 （ε和μ均为负值）。 2、构造无序系统［7］，可以取介电常数无序，使某些层的介电常数随机变化，也可以取厚度 无序，使某些层的厚度取一些随机数。例如取介电常数无序，可以令第i层介电常数为： 22 12112 εε δεε = += −−i ii （5.11） 其中 12 −iδ 是区间[-δ，δ] 内的随机数，δ≤ε1，标志着无序程度。 我们也可以取厚度无序，两种介质的相对介电常数和磁导率保持不变，第 i 层的厚度取： （5.12） xaal xaal i i −= +=− 2 12 其中 xa 是区间[-δ，δ] 内的随机数，δ≤a，标志着无序程度。 3、下面我们来对波在由左手介质调制的无序系统和一般的无序系统的传播情况做一个对比 性研究。对于传统的无序系统，不失一般性选取介电常数分别为 1，3.4 磁导率均为 1 的两 种右手介质(介质没有吸收和增益)排列而成的厚度无序的系统，每层介质厚度平均为 10mm， δ 取 10mm,此时无序系统的无序程度最大。研究波在该无序系统的透射率选取了 1000 个组 态做统计平均，可以得到光滑的曲线。对于由左手介质调制的无序系统，选取有效介电常数 和磁导率如式（4.4）所示的左手介质和空气(ε=1,μ=1)排列而成的无序系统。同样选取厚度 无序，每层介质厚度平均为 10mm，δ取 10mm,1000 个无序组态得到了光滑的曲线。 首先我们计算了无序系统的平均透射率 T，两种系统的透射率如下图所示。 第 13 页 共 16 页 图 5-2，图（a）为左手介质调制的无序系统的平均透射率。三条曲线（由上到下）分别对应 系统为 50 层，100 层，150 层。图（b）为只有右手介质（相对介电常数为 1，3.4 的两种介 质）的无序系统的平均透射率。同样三条曲线分别对应系统为 50 层，100 层，150 层。 （1）比较图（a）和图（b），可以看到在图（a）中有一个不动点，在这个点透射率恒 为 1，改变无序程度和系统厚度，T 保持不变。 这个共振透射点与图 4-1（a）图中的 C 点 对应，该点的有效介电常数和磁导率均等于 0.5。 也就是说当介质的有效介电常数和磁导率均等于 0.5 时，发生共振透射，波能够完全穿 透该介质。 （2）通过计算在新的无序系统找到了更小的局域化长度。 由式（2.9）： 21 12 lnln )(2 TT LLl − −= 可以计算无序系统的局域化长度。 人们发现无序系统在对应周期性光子晶体的能隙处的频率区间有较小的局域化长度，因 此我分别计算了 100 层和 150 层两种结构（系统厚度分别为 1m 和 1.5m）在对应能隙处的局 域化长度。 在左手介质调制的无序系统中，两个能隙处的局域化长度分别为 0.121m 和 0.124m。而 对于传统的右手介质的无序系统，得到两个能隙处的局域化长度分别为 0.256m 和 0.538m。 如下表所示，可以看到这种新的无序系统有更小的局域化长度，比传统的系统更容易获得局 域化现象。 l1 0.121m 左手介质调制的无序系统的两个 能隙处的局域化长度 l 2 0.124m l 1 0.256m 传统的无序系统的两个能隙处的 局域化长度 l 2 0.538m （3）我们还研究了无序系统的统计特征。两个无序系统的 Lyapunov 指数及其方差分别 第 14 页 共 16 页 如图 5-3、图 5-4 所示。 图 5-3 由左手介质调制的无序系统的 Lyapunov 指数及其方差的变化规律（对应上下两条曲 线），为了便于比较，图中方差是实际值的 50 倍。 图 5-4 传统的无序系统的 Lyapunov 指数及其方差的变化规律（分别对应实线和点线）。为 了便于比较，图中方差是实际值的 50 倍。 由图可以看到在由左手介质调制的无序系统的 Lyapunov 指数及其方差变化规律并不一 致，不能用单参量标度方程来描述。而对于只有右手介质的无序系统，结果如图 5-4，Lyapunov 指数及其方差变化规律一致，可以用单参量标度方程来描述。 在这种新的无序系统我们找到了不同于传统的无序系统的一些新特性，这些新的性质有 助于我们对局域化现象、波和介质的相互作用等问题的理解，而且将有利于新实验的进行， 进一步探索新型的材料。 第 15 页 共 16 页 六、小结 本文主要通过传递矩阵的方法研究了波在左手介质调制的一维无序系统的传播特性，并 与波在传统的无序系统即由两种不同折射率的右手介质构成的一维无序系统的传播特性进 行了比较。本文首先就无序系统，左手介质等概念作了一些简单的介绍，并且介绍了波在由 左手介质和右手介质组成的光子晶体的一些新奇的传播特性，接着严格推导了传递矩阵的方 法，通过 fortran 语言编程计算了波在两种无序系统的透射率。通过对比我们发现在含左手 介质的无序系统，有一个共振透射点，该点透射率恒为 1，不受无序的影响。改变无序程度 和系统厚度，其它个频率波的透射率改变，只是对应有效介电常数和磁导率等于 0.5 的频率 的透射率为 1 保持不变。在传统的无序系统就不存在这样的共振透射点。而且我们也计算了 新系统在两个能隙处的局域化长度，均小于相同厚度的传统的无序系统两个能隙处的局域化 长度，约为后者的 1/2 和 1/4。因此新系统容易获得较强的安德森局域化现象，有利于我们 在实验中观察局域化效应。研究新系统的统计特征，发现系统的 Lyapunov 指数及其方差变 化规律并不一致，不能用单参量标度方程来描述，而在传统的无序系统 Lyapunov 指数及其 方差有很好的线性关系。 左手介质相对于右手介质有一些新的特性，因此由左手介质调制的无序系统也存在一些 反常特性，通过传统的手段我对这个问题作了一个简单的探究，得到一些有意思的结果，希 望人们能从这些结果中得到一些启示，进而对这些问题作更深入的探索研究。 致谢 在本文的写作中，张向东老师提供了大量的资料和指导帮助，在此向张老师表示深深地 感谢。同时在这里感谢物理系所有老师的谆谆教诲，感谢物理系所有帮助过我、关心过的老 师和同学们。 参考文献 [1] 李正中，《固体理论》高等教育出版社 [2] Pi-Gang Luan,Zhen Ye, Phys.Rev.E63,066611(2001) 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