线面垂直

【本讲教育信息】 一. 教学内容：     空间中的垂直关系     第一章章节复习       教学目的：   1. 掌握线线、线面和面面垂直的定义、判定定理和性质定理，以及判定线线、线面、面面垂直的方法。   2. 全面梳理第一章整章知识，系统掌握全章知识，形成知识网。掌握几个经典问的处理方法。   二. 重点、难点     重点是空间线线、线面和面面垂直的定义、判定定理和性质定理的理解及推导。全章知识梳理及典型例题剖析。     难点是空间线线、线面和面面垂直的定义、判定定理和性质定理的掌握及应用。       知识： （一）空间中的垂直关系   1. 两条直线互相垂直     线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。     2. 直线与平面垂直     （1）定义：直线与平面垂直是指直线和平面相交且和这个平面过交点的任何直线都垂直。     这里的“任何直线”能代表平面内的所有直线．需要注意的是：无数条直线不能代表所有直线，即一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，直线不一定与平面垂直，因为这无数条直线可以是互相平行的。     （2）直线与平面垂直的判定方法     ①定义：     ②判定定理：     ③推论：     （3）直线与平面垂直的性质     ①定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，即：         ②定义：若线面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任一条直线，即：         ③垂直于同一条直线的两个平面平行。     ④过一点和已知平面垂直的直线只有一条。     ⑤过一点和已知直线垂直的平面只有一个。     ⑥若于A，，则。     （4）学习中应注意的问题     直线与平面垂直的一般定义是根据线段的所有垂直平分线构成的集合来给出的。需要注意，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直。用直线和平面垂直的判定定理来证明时，需特别注意平面内的两条相交直线，否则会产生错误。     3. 平面与平面互相垂直     （1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。     平面α、β互相垂直，记作α⊥β。     画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图1，2所示。     （2）两个平面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。     实质：线面垂直，则面面垂直。表示式为：。     （3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。     符号表示：     说明：要特别注意定理中这一条件，这一条件易被我们忽略，而少了这一条件，定理的结论是不成立的。     （4）证明面面垂直的常用思路：     ①利用两平面垂直的定义。     ②利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。     （5）涉及到的方法     转化法是本节中重要的数学方法，证面面垂直，则需转化为线面垂直；而证线面垂直，则需转化为线线垂直。通过这一转化能够为解决某些有关空间垂直关系的问题巧妙地创造条件。     线线、线面、面面垂直关系：线线垂直线面垂直面面垂直。   （二）全章知识梳理   1. 知识网络     2. 方法总结     （1）多面体的结构特征：对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。     多面体间的关系如下：                 （2）旋转体的结构特征：旋转体是一个平面封闭图形同二个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。     （3）表面积与体积的计算：有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。     （4）三视图和直观图的画法：三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质。由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。     （5）直线和平面平行的判定方法     定义：；     判定定理：；     线面垂直的性质：；     面面平行的性质：。     （6）线线平行的判定方法     定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；     公理4：；     平面几何中判定两直线平行的方法；     线面平行的性质：；     线面垂直的性质：；     面面平行的性质：。     （7）判定两个平面平行的方法     依定义采用反证法；     利用判定定理：；     垂直于同一条直线的两个平面平行：；     平行于同一平面的两个平面平行：。     （8）证明线面垂直的方法     线面垂直的定义：a与内任何直线垂直；     判定定理1：；     判定定理2：；     面面平行的性质：；     面面垂直的性质：。     （9）证明线线垂直的方法     定义：两条直线所成的角为；     平面几何中证明线线垂直的方法；     线面垂直的性质：；     线面垂直的性质：。     （10）判定两个平面垂直的方法     利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。     判定定理：。     （11）线面关系的相互转化   【典型例题】   例1. 如图1所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点。     （1）求证：SD⊥平面ABC；     （2）若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC。 图1     解析：（1）∵SA＝SC，D为AC的中点     ∴SD⊥AC     连结BD     在Rt△ABC中     则AD＝DC＝BD             又         （2）∵BA＝BC，D为AC中点     ∴BD⊥AC     又由（1）知SD⊥面ABC     ∴SD⊥BD     于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线     ∴BD⊥平面SAC     点评：     （1）线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用的思路。在论证中利用题设的已知条件，来寻找判定定理的条件是证明过程中的基本思路。    （2）线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线。     同时这两个条件的互用把线面垂直转化为线线垂直，这种转化是空间问题向平面问题的转化。     例2. 如图2所示，在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证：AC⊥BD。 图2     解析：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD                     同理     则O为的垂心，                 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解（证）题中的作用。     例3. 如图3所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在的平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G。求证：AE⊥SB，AG⊥SD。 图3     解析：                         同理：AG⊥SD     点评：注意线线垂直与线面垂直间的相互转化。     例4. 如图4所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：     （1）DE＝DA；     （2）平面BDM⊥平面ECA；     （3）平面DEA⊥平面ECA。 图4     解析：如图4所示，取EC的中点F，连结DF     ∵EC⊥BC，易知DF//BC     ∴DF⊥EC     在Rt△EFD和Rt△DBA中             故ED＝DA     （2）取CA的中点N，连结MN、BN，则     ∴MN//BD，∴N点在平面BDMN内     ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN     又CA⊥BN     ∴BN⊥平面ECA     ∵BN在平面MNBD内     ∴平面MNBD⊥平面ECA     （3）     ∴MNBD为平行四边形     ∴DM//BN     ∵BN⊥平面ECA     ∴DM⊥平面ECA     又DM平面DEA     ∴平面DEA⊥平面ECA     点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键。     例5. 已知正方体ABCD-A’B’C’D’中，面对角线AB’、BC’上分别有两点E、F，且。求证：EF//平面AC。 图5     解析：（法一）过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连结MN（如图5）     ∵BB’⊥平面AC，∴BB’⊥AB，BB’⊥BC     ∵EM//BB’，FN//BB’，∴EM//FN     ∵AB’＝BC’，B’E＝C’F，∴AE＝BF     又∠B’AB＝∠C’BC＝45°         ∴四边形MNFE是平行四边形     ∴EF//MN     又平面AC     ∴EF//平面AC     法二：过E作EG//AB交BB’于G，连FG                     又     ∴平面EFG//平面AC     又EF平面EFG，∴EF//平面AC     点评：要熟悉证明线面平行的各种方法。     例6. 如图6所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点。     （1）求证：MN//平面PAD；     （2）求证：MN⊥CD；     （3）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD。 图6     解析：（1）取PD之中点E，连结AE、EN     则     故四边形AMNE为平行四边形，∴MN//AE     又平面PAD，平面PAD     ∴MN//平面PAD     （2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB     又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD     ∴AB⊥AE，即AB⊥MN     又CD//AB，∴MN⊥CD     （3）∵PA⊥平面ABCD     ∴PA⊥AD     又∠PDA＝45°，E为PD之中点     ∴AE⊥PD，即MN⊥PD     又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD     点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行的直线。     处理有关线面垂直和线线垂直的问题，要注意转化思想的应用，即将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直又可转化为线线垂直。   【模拟试题】 一. 选择题   1. 如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（    ）     A.                     B.                C.               D.   2. 已知直线a、b和平面，下列推论错误的是（    ）     A.                                  B.     C.                     D.   3. 下列命题     ①若直线a//平面M，直线，则；     ②若直线平面M，直线，且，则a//M；     ③若直线a平行于平面M内的两条直线，则a//M；     ④若直线a垂直于平面M内的两条直线，则。     其中正确命题的个数是（    ）     A. 0               B. 1               C. 2               D. 3   4. 直线a和平面都垂直于同一个平面，那么直线a和平面的位置关系是（    ）     A. 相交         B. 平行         C. 线在面内                D. 线在面内或平行   5. 有下面几个命题：     （1）垂直于同一个平面的两个平面平行；     （2）垂直于同一条直线的两个平面平行；     （3）垂直于同一个平面的两条直线平行；     （4）垂直于同一条直线的两条直线平行；     其中正确命题的个数是（    ）     A. 1               B. 2               C. 3               D. 4   6. 如果直线l、m与平面满足：，那么必有（    ）     A.                           B.     C.                        D.   二. 填空题   7. 如图，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________。   8. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A、B的任意一点，则∠BCP＝___________。   9. 直线l是平面的一条斜线，则过l和平面垂直的平面有__________个。   10. ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，在平面PAB、PBC、PCD、PDA和ABCD中，请写出互相垂直的平面一共有_____________对。   三. 解答题   11. O是△ABC的外心，P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，求证：PO⊥平面ABC。   12. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点。     （1）求证：平面EDB⊥平面ABCD     （2）求点E到平面PBC的距离   13. 如图，已知平面平面，在与的交线上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长。   14. 是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④；以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。   章节达标测试 一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）   1. 给出4个命题：     ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；     ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；     ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；     ④长方体一定是正四棱柱。     其中正确命题的个数是（    ）     A. 0                      B. 1                      C. 2                      D.3   2. 一个三棱锥的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（    ）     A. 都不是直角三角形     B. 至多有一个直角三角形     C. 至多有两个直角三角形     D. 可能都是直角三角形   3. 一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（    ）     A.                                 B. 1：4     C.                         D.   4. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ）     A. 正三棱柱                              B. 直三棱柱     C. 正三棱台                              D. 正三棱锥   5. 一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为2cm，则球的表面积为（    ）     A.                                  B.     C.                                D.   6. 正方体的体积是V，则它的表面积是（    ）     A.             B.             C.                      D.   7. 已知圆锥的母线长是20，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的体积是（    ）     A.                                           B.     C.                                        D.   8. 设α、β表示平面，l为直线，且，有下列3个事实：①；②；③。以其中任两个为条件，另一个为结论可构造3个命题，其中正确的命题个数是（    ）     A. 1个                  B. 2个                  C. 3个                  D. 0个   9. 长方体的表面积是22cm2，所有棱长之和为24cm，则对角线的长为（    ）     A.            B.            C.            D.   10. 已知直线a、b和平面α，下面推论错误的是（    ）     A.                           B.     C.              D.   11. 直径是10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球（    ）     A. 5个                  B. 15个                C. 25个         D. 125个   12. 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（    ）     A.                  B.                  C.           D.   二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把填在题中横线上）   13. 给出下列命题：     ①四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一平面内；     ②过空间一点作三条直线，则这三条直线可以确定三个平面；     ③若平面α∩平面β＝直线l，直线a和b分别在α和β内，且a∩b＝P，则P∈l；     ④若A、B、C、D四点在平面α内，且A、B、C、D四点在平面β内，则平面α与平面β重合；     ⑤两个平面把空间分成四部分。     其中正确命题的序号是_____________   14. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别为四边的中点，对角线AC、BD所成角为60°，AC＝6cm，BD＝8cm。则四边形MNPQ的面积为____________。   15. P为棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的C1D1边上一点，且D1P：PC1＝1：2，则过AC和点P所作截面面积为_____________。   16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，P为棱AA1的中点，Q为棱BB1上任意一点，则PQ＋QC的最小值是______________。   三. 解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）   17. （本小题满分12分）     一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积。   18. （本小题满分12分）     已知正四棱锥S-ABCD的棱长均为13，E、F分别是SA，BD上的点，且SE：EA＝BF：FD＝5：8，     （1）求证：直线EF//平面SBC；     （2）求四棱锥S-ABCD的体积。   19. （本小题满分12分）     如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD。求证：CE⊥平面ADE。   20. （本小题满分12分）     圆锥的轴截面SAB为等边三角形，C是底面圆周上一点（不同于A、B），D是CB的中点，OE⊥SD于E。     （1）求证：OE⊥平面SBC；     （2）如果∠AOC＝60°，，求圆锥的体积。   21. （本小题满分12分）     如图所示，设三棱锥S-ABC的三条侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC＝60°，且SA⊥BC。     （1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥；     （2）已知：SA＝a，求三棱锥S-ABC的全面积和体积。   22. （本小题满分14分）     如图所示，已知正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面相互垂直，M为AC上的一点，N为BF上的一点，且有AM＝FN＝x，设AB＝a。     （1）求证：MN//平面CBE；     （2）求证：MN⊥AB；     （3）当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值。 【试题答案】   1. D           2. D               3. A               4. D               5. B               6. A   7. 4个        8.           9. 1                10. 5   11. 提示：作出平面ABC，再证O与O’重合（同一法）   12. （1）提示：设菱形对角线交点为O，连EO     （2）提示：过O作      13. 13cm   14. ①③④②或②③④①     章节达标测试答案： 一. 1. B          2. D               3. D               4. A               5. B               6. A               7. D   8. C            9. D               10. D             11. D             12. C 二. 13. ①③   14.   15.   16. 三. 17. 解：由三视图知正三棱柱的高为2mm     由左视图知三棱柱的底面三角形的高为。设底面边长为a，则         ∴正三棱柱的表面积       18. 证明：（1）如下图所示     连结AF并延长交BC于G，再连结SG，可得SE：EA＝BF：FD＝GF：FA     故EF//SG，得EF//面SBC     （2）由题意知，SA＝13，         在中           19. 证明：∵E是以DC为直径的半圆周上一点     ∴CE⊥DE     又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC             又       20. （1）证明：如下图所示：     ∵D是CB的中点，∴BC⊥OD     又SO⊥面ABC，∴SO⊥BC     又                 又             （2）解：               21. 解：（1）作SO⊥底面ABC于O，连结AO并延长交BC于D。因为三条侧棱与底面ABC所成的角都是60°，则OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心。又SA⊥BC，，故AD是BC的垂直平分线，从而AB＝AC，又，所以△ABC是正三角形，且O为△ABC的中心。故三棱锥S-ABC为正三棱锥。     （2）在中，，     ，     于是                   22. （1）证明：如下图所示：     分别过M、N作AB的平行线，交BC、BE于P、Q，连结PQ     则                 又MP//NQ，∴四边形MNQP是平行四边形     ，但平面CBE，平面CBE         （2）证明：，         （3）解：平面ABCD⊥平面ABEF，是二面角C－AB－E的平面角         在中，             故当时，MN有最小值。