数量值函数的积分学

nullnull 第九章 数量值函数的积分学 9.1 二重积分的概念及性质 9.2 二重积分的计算 9.3 三重积分及其计算 9.4 第一型（对弧长）曲线积分 9.5 第一型（对面积）曲面积分 9.6 数量值函数积分学的应用 9.1 二重积分的概念及性质9.1 二重积分的概念及性质曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1. 曲顶柱体的体积问题的提出一. 二重积分的定义曲顶柱体 .特点：平顶.null求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null返回求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null(3) 曲顶柱体的体积:曲顶柱体的体积为:null2. 求平面薄板的质量(3) 薄板的总质量：null定义null积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素积分号null故二重积分可写为null二重积分的几何意义：物理意义： 平面薄板的质量二 . 二重积分的性质二 . 二重积分的性质性质1性质 2性质 3（积分区域的可加性）null性质 4性质 5（不等式性质）null性质 6（估值定理）证证毕null性质 7（中值定理）中值公式 .null证证毕null性质8(对称性)nullnull解由性质 6 得null解由性质 6 得null解null解null解（1）积分区域如图所示null解null积分区域如图所示，解9.2 二重积分的计算9.2 二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算一. 化二重积分为二次积分null是平行于 y 轴的直线部分除外） nullnull同理null二重积分在直角坐标下的计算公式nullnull若区域如图，在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 :则必须分割.null解null解nullnull解null注:化二重积分为二次积分, 既要根据积分区域的形状,又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序.画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择.null要改变积分次序！解null解null解例6null解曲面围成的立体如图：null例 证 二.二重积分的变量代换二.二重积分的变量代换1.极坐标变换nullnull在极坐标下二重积分化为二次积分的公式: nullnullnull极坐标系下区域的面积null解nullnull注:null解null解null解 nullnull解 设例4求概率积分nullnull解null2.二重积分的一般变量代换null（证明略）null解null证null 证毕null解（第一卦 限部分）9.3 三重积分及其计算9.3 三重积分及其计算问题的提出求空间非均匀物体的质量.null定义null三重积分的物理意义：空间物体的质量 三重积分的计算 三重积分的计算1. 在直角坐标系下计算三重积分化三重积分为三次积分nullnull根据三重积分的物理意义,用微元法：null先一后二法nullnull解null解null则先 x 后 y z 的积分次序null则先 y 后 xz 的积分次序null解null先二后一法（坐标轴投影法、截面法）的一般步骤：用微元法：null先二后一法用这种方法计算比较简便 .null先二后一法先一后二法解2解1计算很繁！null解先二后一法null2. 在柱面坐标系下三重积分的计算2. 在柱面坐标系下三重积分的计算规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为null如图，三个坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面．如图，柱面坐标系中的体积元素为nullnull 一般地, 当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形域, 被积函数含有式子 x2 +y2 时, 用柱面坐标变换计算三重积分比较简单.解知交线为nullnull解null解3. 在球面坐标系下三重积分的计算3. 在球面坐标系下三重积分的计算如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面．nullnull球面坐标系中的体积元素:nullnull解nullnullnull解nullnull注:解作变换：null称为广义 球面坐标 变换 .4.利用对称性化简三重积分的计算4.利用对称性化简三重积分的计算使用对称性时应注意：１. 积分区域关于坐标面的对称性；２. 被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性．nullnull解积分域关于三个坐标面都对称，null解由对称性知nullnull例15 解null（北京大学2001年考研题）null9.4 第一型（对弧长） 曲线积分9.4 第一型（对弧长） 曲线积分实例:求非均匀曲线形物体的质量均匀曲线形物体的质量分割求和取极限近似值精确值问题的提出近似代替null定义null推广：注意：null第一型曲线积分的物理意义： 几何意义：null第一型曲线积分的性质： null即：第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关.null定理 注意:把第一型曲线积分化为定积分计算时，证明略null特殊情形:null推广:null例1解null解 null例3解null解null例5解由坐标的轮换对称性, 知9.5 第一型（对面积）曲面积分9.5 第一型（对面积）曲面积分实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.问题的提出nullnull定义 null 当积分曲面是封闭曲面时,常记 第一型曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一型曲面积分有如定积分类似的性质 , 从略 .第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算nullnullnull定理 证明略null类似地：null解null解null解其中nullnullnull解nullnull解null解在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数定义在积分曲面上，数的奇偶性等特点简化积分计算 . 积分曲面的对称性及被积函例6 9.6 数量值函数积分学的应用 9.6 数量值函数积分学的应用一. 几何应用nullnullnull解null解 nullnull解 先二后一法nullnull二. 质量 二. 质量 null三. 质量重心 三. 质量重心 nullnullnullnullnullnullnullnullnull 解null 解null四. 转动惯量四. 转动惯量nullnullnullnull解null解五 . 引力五 . 引力nullnullnull先二后一法null