分段函数在分界点处的极限、连续性与可导性的例子

第巧卷第9期 2001年9月 成都教育学院学报 JOURNAL OF CHENGDU COLLEGE OF EDUCATION W巧- No 9 SeP-2田1 文章编号::1008一9144(2001)09一0071一02 ·职业技术教育教学· 分段函数在分界点处的 极限、连续性与可导性的例子 李秋敏 (四川省商业学校 四川成都 610091) 中国图书分类号:G718.5 文献标识码:C 在一元微积分的教学中，学习函数的极限与连续时，常 遇到讨论当x--No时，分段函数f( X)在分界点Xo处的极限是 否存在;在点NO处分段函数是否连续;以及分段函数在点XO 处是否可导。学生对这一类利用定义进行讨论的题型感到 无从下手，不知如何讨论，现就几个作详细的讨论。 一、分段函数f(x)在x--xo时的极限 对于分段函数常用以下定理来讨论极限是否存在: 如果函数f(x)当x}xa时的极限存在且等于A，当且仅 当x}xo时，f( X)的左、右极限都存在且等于A, 即limf(x)=Ap lim f(x)=lim f(x)二A. 广、 r--、一 x-' ,n+ 数在点、处间断。 件依 性。 讨论分段函数在分界点处的连续性时应按上述三个条 次讨论。 例3 解 讨论函数f(x)二Ixl在点x二0处的连续性。 定义域(一-,0)U(0,-)， 函数在点x二0处无定义，⋯在点x二0处不连续。 例4 讨论函数f(x) x一1,x<0 0 ,x=0在点x二0处的连续 x+1,x>0 ? ? ??????? 例‘讨论函数《X)={一‘,x<0，当X, X之 V X-0时极限是否 解 函数f(x)在点X=o处及其附近有定义，lim f(x)二lim (x一1)二一1，lim f(x)二lim ( x+1)二1， 存在。 解 lim f(x)二lim (x一1)二一1，lim f(x)=limx=0, 万，习 limf( ，曰心 rro. s.0. r-0 _-a 】，。+ ，，。+ x)不存在，函数f(x)在点x=0处不连续。 '; In f(x) o lim f( x)， .，刃一 1冲。十 :.limf( x)不存在。 .-;a 例5讨论函数f(x)={sImcX 0` ,x960在点x=0处的连续 ,x二0 例2 讨论函数f( x) ，X< ,x> ，当X-一1时极限 性。 解 函数f(x)在点x=o处及其附近有定义， ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ?????? ?? ? ? ? ?? ?????? 是否存在。 解 lim f(x) limf( x)二lim 二，们 】户U sinx=1,f(0)二0, = lim 万~ 一l 函数f(x)在点x二0处不连续。 1一X二合 例6 :lim f(x)=lim f(x)， 讨论函数“x)二{ X+1,x> 2x+1,x<276E2点一，处的连续 r-0一 盆，。十 性。 ??? ?? ??lim f(x)二 --t+ lim喜2x .---1 ‘??? ?? ?? lim f(x) 二、分段函数f(x)在分界点Xo处的连续性 由连续的函数Ax)在点Xo处连续必须满足三个条件: (1)函数f(x)在点Xo处及其附近有定义;(2) limf(x)存 r-、 解 函数f(x)在点x=2处及其附近有定义， lim f(x)=lim (2x+ 1)二5, lim f(x)二lim (2x+1)二5, ‘书2 limf( r卡2 f(2) }-2+ x+Z+ 在;(3)limf(x)=f(x.).以上条件中只要有一条不满足，则函 ⋯ 函数f(x)在点x=2处连续。(下转第73页) 收稿日期 作者简介 2000一02一26 李秋敏(1976-)女，四川省商业学校教师 71 万方数据 第9期 2001年9月 谭洪坤:中专数学教学中的认知迁移 No.9 柳 .2001 A一B 属前不属后 B一A 属前不属后 卜Ix-<一3或x>引=B, {x1一1_0 lim}w f(x)一f(0) x一0 一2，故函数f(x)在点x二1处可导。 ?? ? ? 函数f(x)在点x=0处及其附近有定义 lim Ox)二lim(一x)=0, lim f(x)二lim x=0,⋯limf(x) 「印 =0, 尸o + 二0，又f(0) 故f(x)在点x=0处连续。 R lim f(x) - f(0)F-o` x-0 织f(x) - f(0)iy}+ X-0二 (一x)一0 um — 二 闭 一 x x一0 ， 11— = 1，。.ul 十 X .， 万，旧+ 一1， 综上，讨论分段函数f(x)在1<-->、时的极限是否存在时， 只需讨论x}xo时的左极限与右极限是否相等;讨论点、处 的连续性时，只需讨论:(1)、点处及其附近是否有定义;(2) limf(x)是否存在;(3) limf(x)与ON,)是否相等。 户、 户、 的可导性时，需讨论:(1)、点处是否连续;(2) lim X171.0 讨论点X0处 f(x)一Ax.) X一 x0 lim0f(x)一f(0) x一0 不存在。 是否存在。以上问题的讨论，有助于学生理解定义，再也不觉得定义难理解、难记忆了。 故函数f( x)在点x=0处不可导。 例8讨论函数f(x)二{ ,x<1在点2x一1,x> 1 x=1处的可 ·73 万方数据