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2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 考研数学三十六技 微积分上 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 三十六技之二：正确运用极限性质 分式极限是重点，性质运用是保证，谨慎处理广义用，穿过险滩是成功。 巧用极限的保序性、有界性与唯一性，正确快速运用极限运算法则。 极限的保序性是极限的重要性质之一，由极限的保序性可以得到许多相关重要性质，例 如：由导数的正负号决定的函数局部比较性质，连续函数的保号性质，积分的保序性、积 分估值定理与比较性质等等，而这些知识点通通为重要考点。掌握了极限的保序性概念， 会一通百通，否则，对许多问题的处理，都会有困惑。 例 2-1 设 ， 存在,当 时 ，0)0( =f )0(f ′ 0>x 0)( >xf e x xf x x =++→ 12 0 ] sin ))(1ln(1[lim , 则 （ ）。 =′ )0(f (A) 。 (B) 0 2 2− 。 (C) 2 2 。 (D) e 。 【解】 ：(C)。 由 e x xf x x =++→ 12 0 ] sin ))(1ln(1[lim 得到(复合极限定理)， x xf xx sin ))(1ln(1lim 2 0 +⋅→ 2 1)(lim 2 2 0 == → x xf x ,(不可用洛必达法则！) 因为 存在, 所以又有 )0(f ′ 2 1)(lim)(lim)]0([ 00 2 =⋅=′ →→ x xf x xff xx ， 当 时 ，由极限的保序性，0>x 0)( >xf 0)0()(lim 0 ≥′=→ fx xf x ，因此 2 2)0( =′f 。 例 2-2 设 在)(xf ′′ ax = 处连续,且 1)(lim )cos( −=− ′ −→ ee xf axax , 则 （ C ）。 (A) , 是 的极大值。 0)( =′′ af )(af f x( ) (B) , 是 的极小值。 0)( ≠′′ af )(af f x( ) (C) , 是曲线0)( =′′ af ))(,( afa )(xfy = 的拐点。 (D) ax = 不是 的极值点, 也不是曲线f x( ) ))(,( afa )(xfy = 的拐点。 【解】 答案（C）。 ee xf axax − ′ −→ )cos( )(lim 1 )(lim 1)cos( 1 − ′= −−→ − axax e xfe 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 1)cos( )(lim1 −− ′= → − ax xfe ax 1 )( )(lim2 2 1 −=− ′−= → − ax xfe ax ， 由极限的保序性， 必存在 ax = 的去心邻域 ),,(* δaN 使在该邻域内 .因此(A)与(B)不对。再由 0)( >′ xf =− ′ → 2)( )(lim ax xf ax 0 2)(2 )(lim ≠−=− ′′ → e ax xf ax ， 因此必有 0)(lim =′′ → xf ax 。由 在)(xf ′′ ax = 处连续,于是 0)( =′′ af ，同时, ( )f x′′ 在 ax = 两侧变号，所以 是曲线( , ( ) )0 0f )(xfy = 的拐点。 或： 0 2 )( 2 1 )(2 )(lim ≠=′′′=− ′′ → eaf ax xf ax ，所以 是曲线 的拐点。 ( , ( ) )0 0f )(xfy = 例 2-3 设 在 上一阶可导，在 内上二阶可导， ， ，则下述选项中错误的为（ ）。 )(xf ],[ ba ),( ba 0)()( == bfaf 0)()( >′′ −+ bfaf (A) 在 内有零点. )(xf ),( ba (B) 在 内恰有一个零点. )(xf ),( ba (C) 在 内有零点. (D) )(xf ′ ),( ba )(xf ′′ 在 内有零点. ),( ba 【证】 答案：(B)。不妨设 0)(,0)( >′>′ ++ bfaf ，即 0)()(lim >− − +→ ax afxf ax ，且 0)()(lim >− − −→ bx bfxf bx 由极限的保序性，存在 0>δ 使得有： ),( δ+∈∀ aax ，满足 0)()( => afxf ，即有 ),(1 δ+∈ aax ，满足 ； 0)()( 1 => afxf 同理可有 ),(2 bbx δ−∈ ，满足 0)()( 2 =< bfxf ，因此，由连续函数的零点定理， ),(),( 21 baxx ⊂∈∃ξ ，使得 0)( =ξf ，(A)正确。 由 0)()()( === ξfbfaf ，再由 Rolle 定理可得到(C)与(D)正确。 例 2-4 若 在)(xf ax = 连续，极限 k h hafhaf h 2)()(lim 0 =+−−→ ， 为常数，则 （ ）。 k )(af ′ （A）存在且等于 。 （B）存在且等于k k− 。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com （C）存在且等于 。 （D）不一定存在存在。 0 【解】 k h hafhaf h 2)()(lim 0 =+−−→ 的存在，并不意味着 h afhaf h )()(lim 0 −− → 与 h afhaf h )()(lim −+→0 存在，下述处理属于运算法则错误，值得警惕： h hafhaf h )()(lim +−−→0 h afhafafhaf h )]()([)]()([lim −+−−−= →0 −−−= → h afhaf h )()(lim 0 h afhaf h )()(lim −+→0 kaf 2)(2 −=′−= 。 补 2-1 设 为常数， 满足a )(xf 2 )( )()(lim 2 =− − → ax afxf ax ，则下命题中错误的是【 】。 (A) 在)(xf ax = 处可导，且 0)( =′ af (B) 在)(xf ax = 处可二阶导，且 4)( =′′ af (C) 在)(xf ax = 处连续，并且必有 0)( =af (D) 在)(xf ax = 取得局部极小值 )(af 【解】 02 )()( lim )( )()(lim 2 ≠=− − − =− − →→ ax ax afxf ax afxf axax ，因此 0)( =′ af 。 或 1 )(2 )()(lim 2 =− − → ax afxf ax ，则 ))(()(2)()( 22 axoaxafxf −+−=− 此为具有 Peano 余项的泰勒公式， 0)( =′ af ， 4)( =′′ af 。 答案(C)。反例：取 ，但02)(,1,42)( 2 ≠−=−=+= afaxxxf 2 )1( )()(lim 2 =+ − → x afxf ax 例 2-5 设 0>δ ， 在)(xf ],[ δδ− 上有定义， 10 =)(f ,且满足 0 1 )()1ln(lim 2 0 =− +− → xx e xxfx ,则 [ ]。答案：A. (A) 在 处可微，且)(xf 0=x 2 1)0( =′f 。 (B) 在)(xf 0=x 处连续，但不可微。 (C) 在 处可微，且)(xf 0=x 0)0( =′f 。 (D) 在)(xf 0=x 处不连续。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 3 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 【解】 答案为(A) 。（方法 1:泰勒公式） =− +− → 1 )()1ln(lim 20 xx e xxfx 20 )()1ln(lim x xxfx x +− → 2 22 0 )()( 2 1 lim x xxfxoxx x ++⋅−− = → 00 2 11)(lim 0 =+−−= → x xf x ， 因此极限 2 11)(lim 0 =−→ x xf x 存在， 于是函数 在 处可微，且)(xf 0=x 2 1)0( =′f 。 （方法 2：运算法则） =− +− → 1 )()1ln(lim 20 xx e xxfx 20 )()1ln(lim x xxfx x +− → 20 )()1ln(lim x xxxfxx x −++−= → ++−= → 20 )1ln(lim x xx x 20 )(lim x xxxf x − → x fxf x x xx )0()(lim 2 1 1 1 lim 00 −+ +− − = →→ 0)0()(lim )1(2 1lim 00 =−+− −= →→ x fxf x xx ， 因此极限 2 1)0()(lim 0 =−→ x fxf x 存在， 于是函数 在 处可微，且)(xf 0=x 2 1)0( =′f 。 注意错误做法： 20 )()1ln(lim x xxfx x +− → 20 )(lim x xxfx x +−= → )0(0 1)(lim 0 f x xf x ′==−= → 例 2-6 若 ， 在 内 可 微 ， 且)(xf )1,1(− Aff =′′=′ )0(,0)0( （ 常 数 ）， 求 极 限 30 ))1(ln()(lim x xfxf x +− → 。 【解】本题考点：微分中值定理，泰勒公式，导数定义，夹逼定理，极限运算准则及复合 函数极限准则 3030 ))1ln()((lim))1(ln()(lim x xxf x xfxf xx +−′=+− →→ ξ 2 22 0 ))( 2 1()(lim x xoxxx x f x +−− ⋅⋅′= → ξ ξ ξ . 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 4 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 2 22 0 ))( 2 1( lim)0( x xoxxx x f x +−− ⋅′′= → ξ x f x ξ 0 lim)0( 2 1 → ′′= 其中ξ 在 之间, 即)1ln( xx +与 x x x )1ln(1 +<< ξ 或 1)1ln( <<+ xx x ξ ， 由夹逼准则得到 1lim 0 =→ xx ξ ，再由极限运算准则得到 Af x xfxf x 2 1)0( 2 1))1(ln()(lim 30 =′′= +− → 例 2-7 设 x x e exf 2 1 32 1 + +=)( ，则存在 0>δ ，使得（ ）。 (A) 是 的可去间断点， 在0=x )( xf )( xf ),0()0,( δδ ∪− 内有界。 (B) 是 的第一类间断点， 在0=x )( xf )( xf ),0()0,( δδ ∪− 内有界。 (C) 是 的第二间类断点， 在0=x )( xf )( xf ),0()0,( δδ ∪− 内有界。 (D) 在)( xf ),0()0,( δδ ∪− 内无界。 【解】 =)(lim 0 xf x +→ 3 1 23 1lim 2 1 0 = + + − − → + x x x e e ， 2 1)(lim 0 =−→ xfx ，由极限性质：有极限则有界，因 此答案为(B)。 例 2-8 设 在 上连续，在 内二阶可导，)(xf ],[ ba ),( ba 0)(),()( >′= + afbfaf且 ，证明 (1) 存在 ，使得),(0 bax ∈ 0)( 0 =′ xf 。 (2) 存在 ),( ba∈ξ ，使得 0)( <′′ ξf 。 【证】 （1）由导数定义得到， 0)()(lim)( >=− −=′ +→+ Aax afxfaf ax ， 再由极限的保序性，存在 0>δ ，对任意的 ( ) ),(, baaax ⊂+∈ δ 有 ( ) 0)()( >−=− axAafxf ，即存在 ),( bac∈ ，使得 )()()( bfafcf => 根据微分中值定理，存在 与),(1 cax ∈ ),(2 bcx ∈ ，使得 0)()()(,0)()()( 21 <− −=′>− −=′ cb cfbfxf ac afcfxf 因此存在 ，使得),(),( 210 baxxx ⊂∈ 0)( 0 =′ xf 。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 5 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com （2）由（1）的结论可得到 0)()( 12 <′−′ xfxf ，再次应用微分中值定理，存在 ),(),( 21 baxx ⊂∈ξ ，使得 0)()()( 12 12 <− ′−′=′′ xx xfxff ξ 。 例 2-9 设 在f x( ) x a= 的某邻域内连续, 且 为其极大值, 则存在f a( ) δ > 0 , 当 x a a∈ − +( , )δ δ 时, 必有（ ）。 (A) 。 (B) ( )0)]()()[( ≥−− afxfax [ ( ) ( )]x a f x f a− − ≤ 0。 (C) lim ( ) ( ) ( ) ( ) t a f t f x t x x a→ − − ≥ ≠2 0 。 (D) )( 0)( )()(lim 2 axxt xftf at ≠≤− − → 。 【解】 首先 为其极大值，当 f a( ) x a a∈ − +( , )δ δ 时， 0)]()([ ≤− afxf ， 在（A）与（B）中 在)( ax − ax = 两侧变号。因此不对。 另外 0 )( )()( )( )()(lim 22 ≥− −=− − → xa xfaf xt xftf at ，由极限的保序性，答案为（C）。 例 2-10 设 0>δ ， 在区间)(xf ),( δδ− 内恒有 0>′′ )(xf ，且 2xxf ≤)( ，记 ，则必有 dxxfI ∫−= δδ )( (A) ； (B) ； (C)0>I 0′′ )(xf )(xf ),( δδ− 内为下凸函数， 且最小值为 ，于是在区间0)0( =f ),( δδ− 内 ，再由积分的保号性（保序性）得 。 0)( >xf 0)( >= ∫− dxxfI δδ 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 6