三十六技之三：准确快速判断分段函数特性（连续、可导与导数连续等）

2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 ____________________________________________________________________________________________ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: www.tsinghuatutor.com 三十六技之三：准确快速判断分段函数特性（连续、可导与导数连续 等） 分段函数很重要，极限需用到，针对分段界点处，验证连续与可导。 分段函数特性必须运用函数性质分段处理 例 3-1 若使得函数 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <+ >+ ++ = 0 )31ln( sin 0,)]1ln([sin )( x x x x ae xbx xf x 在 0=x 处连续，则（ ）。 (A) 3 1,1 −== ba ，补 3 1)0( −=f 。 (B) 3 1,1 =−= ba ，补 3 1)0( =f 。 (C) 3 1,1 == ba ，补 3 1)0( =f 。 (D) 3 1,1 =−= ba ，补 3 1)0( −=f 。 【解】答案为(B)。 例 3-2 设函数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+− <= − 1, 1,)( 24 1 1 2 xcbxax xexf x 在 1±=x 可导，则（ ）。 (A) . (B) . (C) acab == ,2 cba == cba −== (D) bcba 2 1,2 == . 【解】 答案：（A）。 例3-3 已知 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ ≠= 00 0 xg x x xg xf )( )( )( ，其中 在)(xg 0=x 的某邻域内具有二阶导数，且 ，则 （ ）。 0)0( =g )(xf (A) 在 处不可导。 (B) 在0=x 0=x 处可导且 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′′ ≠−′ =′ 0 2 )0( 0)()( )( 2 xg x x xxgxg xf 。 (C) 在 处可导，且0=x ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′′ ≠′−=′ 0)0( 0)()()( 2 xg x x xgxxg xf 。 (D) 在 处可导，且0=x ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ ≠−′ =′ 0 2 )0( 0)()( )( 2 xg x x xxgxg xf 。 【解】答案：（B）。 例 3-4 设 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤− > = 01 2 01 xe x x x xf x ),( ,arctan )( sinπ ,讨论 的可微性，若可微，求 并讨论)(xf )(xf ′ 清华大学东门外创业大厦 1006 1 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 ____________________________________________________________________________________________ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: www.tsinghuatutor.com 其连续性。 【解】 在 上处处可微;)(xf ),( +∞−∞ )(xf ′ 处处连续。 例 3-5 设 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > = <− = ∫ x xdttx x xx x xf 0 2 2 0,cos1 ,0,1 ,0),cos1(2 ( ） 试讨论 在)(xf 0=x 处的连续性和可导性。 【】本题考查的分段函数在分段点的连续性和可导性。 【解】（1）函数 在 处连续;（2） 在)(xf 0=x )(xf 0=x 处可导，且 0)0( =′f 。 例 3-6 设函数 n n n xxf 31lim)( += ∞→ ，则 在)(xf ),( +∞−∞ 内( )。 (A)处处可导。 (B)恰有一个不可导点。 (C)恰有两个不可导点。 (D)至少有三个不可导点。 【解析与点评】 函数的达式可以是极限，导数，积分，或是级数。本题 n n n xxf 31lim)( += ∞→ 是函数的定义式，实质是一个含参极限问题，处理的方法是对参数 x分段讨论。相关方法与 雷同例题，可参见水木艾迪考研辅导系列《高等数学典型题题典》（，刘坤林等编著， 东北大学出版社，2004 年 7 月出版）中的例 1.20 与例 1.8, 以及水木艾迪考研辅导 2004 暑 期班第 1 讲例 6 等。 本题考点：含参极限问题，极限运算，初等函数性质与连续函数概念，导数定义与可导条件。 答案为（C）。 清华大学东门外创业大厦 1006 2