2009 年全国硕士研究生入学统一考试模拟试题 水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心
清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 水木艾迪考研辅导班
数学(三)试卷(模拟考试) 2009-1-6
身份证号 姓名 电话 成绩
数学三答题号及分值:(4+2+2,4+1+1,5+2+2)
1-8 题
共 32 分
9-14
共 24分
15
10 分
16
10 分
17
10 分
18
10 分
19
10 分
20
11 分
21
11 分
22
11 分
23
11 分
成绩
一、选择题(本题共 8小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1.函数 ∫ ++= x dtttxf 0 2 )1ln()( 为( )。
(A) 偶函数,且在 上为单调减 (B)偶函数,且在),0( +∞ ),0( +∞ 上为单调增
(C) 奇函数,且在 上为单调减 (D)奇函数,且在),0( +∞ ),0( +∞ 上为单调增
【解】
:(B)。(函数奇偶性,定积分的换元积分公式)
因为对任意的 ),( +∞−∞∈x , ∫ ++= x dtttxf 0 2 )1ln()( 都存在,且
∫∫ −−++−=++=− − xx duuudtttxf 0 20 2 ))()(1ln()1ln()(
)()1ln(
1
1ln
0
2
0 2
xfduuudu
uu
xx =++=
++−
= ∫∫ 。
所以 ∫ ++= x dtttxf 0 2 )1ln()( 是偶函数,且在 ),0( +∞ 上 0)1ln()( 2 >++=′ xxxf 。
2.设 在 的某邻域内有二阶导数,且满足)( xf 0=x 1
)1ln(
)(lim 30 =+→ x
xf
x
, 则( )。
(A) , , 在0)0( =′f 0)0( ≠′′f )( xf 0=x 处有极值
(B) , 在 处有极值 0)0()0( =′′=′ ff )( xf 0=x
(C) , 在 处取得拐点 0)0()0( =′′=′ ff 0=x
(D) , 在 处取得拐点 0)0(,0)0( =′′≠′ ff 0=x
【解】 1
3
)(lim)(lim
)1ln(
)(lim 203030 =
′==+ →→→ x
xf
x
xf
x
xf
xxx
, 0)0( =′f , )(xf ′ 在 0=x 的两侧不变号,
因此 不为极值点。另有0=x 1
6
)(lim
0
=′′→ x
xf
x
, 0)0( =′′f ,并且 )(xf ′′ 在 0=x 的两侧变号,在
0=x 处取得拐点。答案(C)。
3.设 满足)(xf 1
2
)(
2
0
−+−=− −∫ xx extdxtf , 则 ( )。 )(xf
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(A) 有极大值 及渐近线10 −=)(f xy = 。 (B) 有极小值 10 −=)(f 及渐近线 xy = 。
(C) 有极大值 及渐近线10 −=)(f xy −= 。 (D) 有极小值 10 −=)(f 及渐近线 xy −= 。
【解】对已知等式右端积分令 uxt =− ,则 dtdu = ,于是得到
1
2
)(
2
0
+−= −−∫ xx exduuf ,两边求导得到
, 即 xexxf −−−=− )( xexxf −=)(
xexf −=′ 1)( , 为驻点, ,0=x 0)( <−=′′ xexf 10 −=)(f 为极大值,
xy = 为 单边渐近线( −∞→x )。
4.级数∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−
1
)1(1ln1cos1
n
n
nn
λ ( )。
(A) 条件收敛 (B)绝对收敛
(C) 发散 (D)收敛性与参数λ有关
【解】答案:(A)。∑∞
=
−
1
)1cos1(
n n
绝对收敛, ∑∞
= ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
1
)1(1ln
n
n
n
λ 条件收敛,且与参数λ 无关,
由运算法则得到该级数条件收敛。
5.设 ( )4321 ,,,α α α α=A i,其中α 是 4 维列向量 )4,3,2,1( =i .已知齐次线性方程组 的
基础解系为: ,
0=Ax
( )T0,1,0,21 −=ξ ( )T1,0,,0,12 =ξ ,η是 A的属于特征值 2 的特征向量,则以
下命题中不正确的是( )。
(A) 21,αα 线性无关;(B) ηαα ,, 21 线性无关;
(C) 32 ,αα 线性无关;(D) ηξξ ,, 21 线性无关.
【解】答案:(B)。
6.设 A 为 阶矩阵,则矩阵 的秩( ),其中n AI r ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
00
0
nr <<1 。
(A) r= 或 (B) )(Ar= ( )rAr ),(max=
(C) (D) 以上都不对 ( rAr ),(min< )
【解】答案:(D)。
7 . 设 随 机 变 量 X,Y 均 服 从 正 态 分 布 , 若 概 率),0( 2σN
3
1)0,0( =>≤ YXP , 则
为 ( )。 )0,0( <> YXP
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(A)
2
1
(B)
3
1
(C)
4
1
(D)
8
1
【解】答案:(B)。令 }0{},0{ >=≤= YBXA ,由于 X,Y 均服从正态分布 ,故 ),0( 2σN
2
1)()( == BPAP ,从而
3
1]
3
1
2
1
2
1[1
)]()()([1
)(1)()0,0()0,0(
=−+−=
−+−=
−==≤>=<>
ABPBPAP
BAPBAPYXPYXP U
故选(B)。
8.设随机变量 X 的概率密度为 ,又 X 的期望
⎩⎨
⎧ <<+= 其他0
10
)(
xbxa
xf
5
3=EX ,则 X 的标准
差为( )。
(A)
150
11
(B)
150
121
(C)
15
11
(D)
30
13
【解】答案:(A)
由于 2
1
0
)()(1 badxbxadxxf +=+== ∫∫∞
∞−
;且
== EX
5
3
32
1
0
)()( badxbxaxdxxxf +=+= ∫∫∞
∞−
故
5
6;
5
2 == ba .因此 =2EX
150
65)()(
1
0
22 =+= ∫∫∞
∞−
dxbxaxdxxfx
于是
150
11)( 22 =−= EXEXDX ,
150
11=DX ,故选(A)。
二、填空题(本题含 6小题,每小题 4 分,满分 24 分,把答案填在题中横线上)
9.二重积分 dxyxdydxyxdyI
yy
)sin()sin(
1
2
2
1
0
222
2
0 0
22
2∫ ∫∫ ∫ − +++= 在极坐标系下的表达式
为 ∫ ∫2
4
1
0
2sin
π
π θ drrrd ;其值 I 等于 )1cos1(8 −
π 。
10. 已 知 函 数 具 有 二 阶 连 续 导 数 , , 则f )( xyeyfz = =∂
∂
x
z )(2 xyxy efey ′ ;
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=∂
∂
2
2
x
z )]()([3 xyxyxyxy efeefey ′′+′ .
11. 定解问题 的解为 ⎩⎨
⎧
=′=
=+′+′′
000
244
)()(
cos
yy
xyyy 。
【解】 齐次方程的通解: xexCCy 221 )( −+= 。
设非齐次方程的一个特解: 。 xbxay 2sin2cos +=∗
求导并代入原方程 xxaxb 2cos2sin82cos8 =−
比较系数 0,
8
1 == ab , 所以 xy 2sin
8
1=∗ 。
非齐次方程的通解 ∗+= yyY xexCC 221 )( −+= + x2sin8
1
把初始条件 代入Y 中,得0)0( =y 01 =C ,
把初始条件 代入Y 中,得0)0( =′y ′
4
1
2 −=C ,
于是 xexY x 2sin
8
1
4
2 +−= −
12.极限 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t2
1
lim 。
【解】 答案为(B)。由初等函数( xe x , )性质, 0>∃X ,使当 , 0>> Xx
且 时,有]2,[ xxt∈ te
t
+< 10 xe
x
+< 1
2 ,由积分保序性及比较性质得到
x
x
xx
x
x t e
xxdt
e
xdt
e
t
+=+<+< ∫∫ 1 21 210
22 ,
应用夹逼定理,得到 0
1
lim
2 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t 。
13.设 3 元实二次型 ,当 的取值范围是 323121232221 xaxxaxxaxxxxf +++++= a 时,
是正定二次型. f
【解】答案: 。 21 <<− a
14.设总体 X ~ , 是一简单随机样本, )1,0(N nXXX ,,, 21 L +++= 2321 )( XXXY
,则2654 )( XXX ++ =EY .
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【解】答案:应填 6.
由于 )1,0(~
3
)3,0(~ 321321 N
XXXNXXX ++⇒++ ,故 )1(~)
3
( 22321 χXXX ++ ,同理
)1(~)
3
( 22654 χXXX ++ ,因此 +++ 2321 )
3
( XXX )2(~)
3
( 22654 χXXX ++ ,于是
+++ 2321 )
3
[( XXXE 2])
3
( 2654 =++ XXX ,故 =EY 6.
三、 解答题
15.已知幂级数∑∞
=
−+0 )()2ln(
1
n
nax
n
在点 21 −=x 条件收敛,
(1)求常数a的值,并求出此幂级数相应a取值的收敛域;
(2)试判断幂级数 ∑ −+
∞
=0 2
)(
)2(
1
n
nax
n
在点
2
1
1 =x 的收敛情况,说明理由。
【解】(1) 首先 1=R , 12 =+a , 1−=a 或 3−=a 。
1−=a 时,收敛区间为 ,收敛域为)0,2(− )0,2[− ,
3−=a 时,收敛区间为 ,收敛域为),2,4( −− )0,4[− 。
(2) ∑ −+
∞
=0 2
)(
)2(
1
n
nax
n
与∑∞
=
−+0 )()2ln(
1
n
nax
n
有同样的收敛半径及相同的a值。
而
2
1
1 =x 位于收敛区间外部,由阿贝尔定理, ∑ −+
∞
=0 2
)(
)2(
1
n
nax
n
在点
2
1
1 =x 发散。
16.计算二重积分 ∫∫ −+=
D
dxyxyI σ)( 32 ,其中
}11,11),{( ≤≤−≤≤−= yxyxD 。
【解】 ∫∫ −+=
D
dxyI σ30
∫ ∫∫ ∫
− −−
−−−=
1
1 1
3
1
1
1
3
3
3
)()(
x
x
dyxydxdyxydx
.
7
16)]1()1(
2
1[)1()1(
2
1[
1
1
336
1
1
336 =+−−−−−−= ∫∫
−−
dxxxxdxxxx
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17.确定 的值,使当 时,ba, 0→x xxbaxxf sin)cos()( +−= 与 为同阶无穷小。 5x
【解】(方法 1)Taylor 展开
xbxaxxf 2sin
2
1sin)( −−=
)]()2(
120
1)2(
6
12[
2
1)](
120
1
6
1[ 553553 xoxxxbxoxxxax ++−−++−−=
)()16(
120
1)4(
6
1)1( 553 xoxbaxbaxba ++−++−−= ,
当 04,01 =+=−− baba
即 ,便有3/1,3/4 −== ba )(
15
2)( 55 xoxxf += ,亦即 xxbaxxf sin)cos()( +−= 与 为 5x
同阶无穷小。
(方法 1)罗必达法则
4050 5
2coscos1limsin)cos(lim
x
xbxa
x
xxbax
xx
−−=+− →→
0
60
2cos4coslim
20
2sin2sinlim 2030 ≠=
+=+= →→ Ax
xbxa
x
xbxa
xx
得到 ,04,01 =+=−− baba 3/1,3/4 −== ba 。
18.设抛物线 过原点,且当cbxaxy ++= 2 10 ≤≤ x 时, 。设 是该抛物线与直线
及
0≥y D 1=x
x轴所围成的平面图形,
(1)求 的面积; D
(2)求 绕D x轴旋转一周所成的旋转体的体积V ;
(3)当 的面积等于D
3
1 时,求 的值使得体积V 取到最小值。 cba ,,
【解】(1)首先 , 的面积为0=c D
23
)(
1
0
2 badxbxaxS +=+= ∫ 。
(2)所求体积为 )
325
()(
221
0
22 babadxbxaxV ++=+= ∫ ππ 。
(3)根据条件可知
3
1
23
=+ ba ,所以 ba
2
31−= ,这时
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−=++= 22
22
3
1)
2
31(
2
1)
2
31(
5
1)
325
( bbbbbabaV ππ ,
由 0
10
1
15
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= b
db
dV π 得
2
3=b 。
由于 0
152
2
>= π
db
Vd ,所以这时的体积V 最小,故当 0,
2
3,
4
5 ==−= cba 时体积V 最小。
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19.已知函数 在 上导数存在,且当)(xf ]1,0[ )1,0(∈x 时, 1)(0 <′< xf , ,
。
0)0( =f
∫∫ > 10 3210 )]([])([ dxxfdxxf
【证】(方法 1) 移项造辅助函数,令 , ∫∫ −= xx dttfdttfxF 0 320 )]([])([)(
则 (初值),且 在 上可`导, 0)0( =F )(xF ]1,0[
)]()(2)[()]([)()(2)( 2
0
3
0
xfdttfxfxfdttfxfxF
xx −=−=′ ∫∫ 。
由 ,1)(0 <′< xf 0)0( =f ,得到 。 0)( >xf
记 ,则)()(2)( 2
0
xfdttfxg
x −= ∫ 0)0( =g (初值),
0)](1)[(2)()(2)(2)( >′−=′−=′ xfxfxfxfxfxg ,
又 ,所以 。 0)0( =g )0(0)( >> xxg
从而 , )0(0)]()(2)[()( 2
0
>>−=′ ∫ xxfdttfxfxF x
考虑到 ,便得 。 0)0( =F )0(0)( >> xxF
特别地有 ,即结论成立。 0)1( >F
(方法 2) 根据 Cauchy 中值定理,得
)(
)()(2
)]([)]([
])([])([
)]([
])([
3
0
0
0
31
0
3
20
0
21
0
1
0
3
21
0
ξ
ξ ξ
f
dxxff
dxxfdxxf
dxxfdxxf
dxxf
dxxf ∫
∫∫
∫∫
∫
∫ =
−
−=
,
)()(3
)(2)()(2
2
2
0
ηη
ηη η
ff
fdxxff
′
+′= ∫ (两次 Cauchy 中值定理)
其中 )1,0(∈ξ , ),0( ξη ∈ 。又 ,所以 )()()(2)(2 2
00
ηηη fdxxfxfdxxf =′> ∫∫
1
)()(3
)(2)()(
)()(3
)(2)()(2
)]([
])([
2
22
2
2
0
1
0
3
21
0 >′
+′>′
+′= ∫∫
∫
ηη
ηηη
ηη
ηη η
ff
fff
ff
fdxxff
dxxf
dxxf
,
故结论成立。
20.设四元齐次线性方程组(1)为 ,又已知四元齐次线性方程组(2)
⎩⎨
⎧
=−++
=−+
02
032
4321
321
xxxx
xxx
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的一个基础解系为 , , Ta )1,2,1,2(1 +−=ξ Ta )8,4,2,1(2 +−=ξ
(1) 求方程组(1)的通解;
(2) 当 为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?在有非零公共解时,求出所有非零
公共解.
a
【解】(1) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
1121
0132
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−
−→
2310
1121
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−→
2310
3501
基础解系为: , , T)0,13,5(1 −=η T)1,0,2,3(2 −=η
通解为: 2211 ηη kkx += , 为任意常数. 21,kk
(2) 22112211 ξξηη yyzz +=+
得方程组(3):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
++=
+−=+−
−=−
212
211
2121
2121
)8(
4)2(
223
235
yayz
yyaz
yyzz
yyzz
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
−+−
−−
−−
)8(110
4)2(01
2123
1235
a
a
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−−
−−
→
1000
0100
7110
4101
a
a
当 时,方程组(3)有非零解 1−=a
TT kkx )1,0,7,4()0,1,1,1( 21 +=
于是,方程组(1)和(2)有公共非零解,为
=+= 2211 ξξγ kk TT kk )7,4,2,1()1,1,1,2( 21 −+− , 为不全为零的任意常数. 21,kk
21.设 A是 3 阶实对称矩阵,秩为 1,满足 ,已知032 =− AA A的非零特征值的一个特征向量
为 。 ( )T1,1,1 −=α
(1)求 A的特征值;(2)求 A的属于特征值 0 的特征向量;(3)求矩阵 A.
【解】(1)设 A的特征值为λ,则 xAx λ= , 0≠x ,由 A满足 ,有 032 =− AA
0)3( 2 =− xλλ ,于是 ,032 =− λλ A 的特征值只能是 0 或 3.
又 A是实对称矩阵, A和对角矩阵相似,由相似矩阵的秩相等,对角矩阵的秩为 1,故 A的特
征值为 0,0,3.
(2)由题设 3 的特征向量为 ,由实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交,故 0( T1,1,1 −=α )
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的特征向量与α 正交,设 0 的特征向量为 ( )Txxx 321 ,, ,则满足
0321 =−+ xxx
解得 和 . T)1,1,0(=β T)1,1,2( −−=γ
(3)令 ,则
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
111
111
201
P
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=−
6
1
6
1
6
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
2
1P .
1
0
0
3
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= PPA
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=
111
111
111
.
法二:将 P 的每一列单位化得到正交矩阵
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
6
20
3
1
Q ,则 , TQQ =−1
且 . TQQA
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
3
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=
111
111
111
22.若 X 与 Y 的联合密度函数为
⎩⎨
⎧ ≤<≤<=
其它,0
10,0,8
),(,
yyxxy
yxf YX
(1)求 . (2)求)1( ≤+YXP
X
YZ = 的密度函数 . )(zfZ
【解】(1)
6
18),()1(
1
01
,
2
1
===≤+ ∫∫∫∫ −
≤+
x
xyx
YX xydydxdxdyyxfYXP 。
(2)
X
YZ = 的分布函数为
=≤=≤= )()()( z
X
YPzZPzFZ ∫∫
≤zxy
YX dxdyyxf , ),(
/
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试模拟试题 水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心
清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
水木艾迪:www.tsinghuatutor.com
⎩⎨
⎧
≤
>−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
>=
−∫ ∫
1,0
11
1,0
1,8 2
1
0 / z
zz
z
zxydxdy
y
zy
故 。 =′= )()( zFzf ZZ ⎩⎨
⎧
≤
>=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
>=
−∫ ∫
1,0
12
1,0
1,8 3
1
0 / z
zz
z
zxydxdy
y
zy
23.设 是总体 的一个样本,记2621 ,,, XXX L ),0(~ 2σNX ∑
=
=
26
1
26
1
i
iXX , ∑
=
=
26
1
2
26
1
i
iXQ
(1)求 ])([ 2XQE − .
(2)求概率 ))16(
8
5
(
26
11
2
10
1
αt
X
X
P
j
j
i
i
≤
∑
∑
=
= (这里 为自由度为 16 的 t 分布的上)16(αt α 分位数).
【解】(1) ∑
=
=
26
1
26
1
i
iXX )26
,0(~
2σN ,因此
26
)]([)()(
2
22 σ=+= XEXDXE ;
2
26
1
2
26
1
26
1
2
26
1 ])([ σ=+== ∑∑
== i
ii
i
i EXDXEXEQ ,故 22 26
25])([ σ=− XQE .
(2)由于 ,故)10,0(~ 2
10
1
σNX
i
i∑
=
)1,0(~
10
10
1 N
X
A i
i
σ
∑
== ,
而 )16(~)( 22
26
11
χσ∑== j j
X
B ,且 独立,故由 t 分布的定义知,BA, )16(~
8
5 26
11
2
10
1 t
X
X
j
j
i
i
∑
∑
=
=
从而,有 αα −=≤
∑
∑
=
= 1))16(
8
5
(
26
11
2
10
1 t
X
X
P
j
j
i
i
.
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