十字相乘法

第 9 页 共 11 页 更多资料请访问http://www.maths.name 因式分解 十字相乘法 【基础知识精讲】 (1)理解二次三项式的意义； (2)理解十字相乘法的根据； (3)能用十字相乘法分解二次三项式； (4)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式 ，称为字母x的二次三项式，其中 称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如， 和 都是关于x的二次三项式． 在多项式 中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式． 在多项式 中，把ab看作一个整体，即 ，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式 ，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1的二次三项式 ，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 (a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数 ，使 ， ，且 ，那么 EMBED Equation.3 它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： (1) ；(2) ． 点悟：(1)常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； (2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项 可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数． 解：(1) ； (2) ． 例2 把下列各式分解因式： (1) ；(2) ． 点悟：我们要把多项式 分解成形如 的形式，这里 ， 而 ． 解：(1) ； (2) ． 点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加，积累经验，才能提高速度和准确性． 例3 把下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 点悟：(1)把 看作一整体，从而转化为关于 的二次三项式； (2)提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； (3)以 为整体，转化为关于 的二次三项式． 解：(1) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)． (2) ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． (3) 点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 例4 分解因式： ． 点悟：把 看作一个变量，利用换元法解之． 解：设 ，则 原式＝(y－3)(y－24)＋90 ＝(y－18)(y－9) ． 点拨：本题中将 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外， 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式 ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式 ， 令 ，则 原式 ． 点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式 ． 点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式． 解法1： ． 解法2： ＝(x－y－6)(x－y＋1)． 例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b) ＝(a－b)(c－a)(c－b)． 点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解． 例8 已知 有一个因式是 ，求a值和这个多项式的其他因式． 点悟：因为 是四次多项式，有一个因式是 ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是 （a、b是待定常数），故有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ．根据此恒等关系式，可求出a，b的值． 解：设另一个多项式为 ，则 ， ∵ 与 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有 由①、③解得，a＝－1，b＝1， 代入②，等式成立． ∴ a＝－1，另一个因式为 ． 点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视． 【易错例题分析】 例错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23， ∴ 原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)． 警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23． ∴ 原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)． 【同步达纲练习】 一、选择题 1． 如果 ，那么p等于 (　) A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b) 2．如果 ，则b为 (　) A．5 B．－6 C．－5 D．6 3．多项式 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 (　) A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 (　) A． B． C． D． 5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 (　) A． B． C． D． 6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 (　) ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7． __________． 8． (m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 9． (x－3)(__________)． 10． ____ (x－y)(__________)． 11． ． 12．当k＝______时，多项式 有一个因式为(__________)． 13．若x－y＝6， ，则代数式 的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 15．把下列各式分解因式： (1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 16．把下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 17．已知 有因式2x－5，把它分解因式． 18．已知x＋y＝2，xy＝a＋4， ，求a的值． 参考答案 【同步达纲练习】 1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x＋5)(x－2) 8．1或－6，－6或1 9．2x＋1 10．xy，x＋2y 11． ，a, 12．－2，3x＋1或x＋2 13．17 14．(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 (4) 原式 (5) 原式 (6) 原式 15．(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 (4) 原式 (5) 原式 (6) 原式 16．(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 (4) 原式 (5) 原式 (6) 原式 17．提示： 18．∵ ， 又∵ ，xy＝a＋4， ，∴ ， 解之得，a＝－7． PAGE http://www.maths.name给全国数学老师提供一个交换教学资源的平台 _1137605138.unknown _1137652380.unknown _1137653367.unknown _1137667551.unknown _1137668433.unknown _1137668720.unknown _1137668888.unknown _1137669100.unknown _1137669294.unknown _1139649344.unknown _1139649454.unknown _1137841733.unknown _1137669315.unknown _1137669215.unknown _1137669254.unknown _1137669177.unknown _1137668969.unknown _1137669068.unknown _1137668925.unknown _1137668788.unknown _1137668848.unknown _1137668752.unknown _1137668558.unknown _1137668635.unknown _1137668684.unknown _1137668608.unknown _1137668503.unknown _1137668536.unknown _1137668460.unknown _1137668050.unknown _1137668262.unknown _1137668381.unknown _1137668408.unknown _1137668293.unknown _1137668124.unknown _1137668200.unknown _1137668077.unknown _1137667875.unknown _1137667953.unknown _1137668003.unknown _1137667906.unknown _1137667710.unknown _1137667751.unknown _1137667653.unknown _1137667584.unknown _1137667219.unknown _1137667374.unknown _1137667480.unknown _1137667512.unknown _1137667399.unknown _1137667292.unknown _1137667335.unknown _1137667248.unknown _1137666931.unknown _1137667149.unknown _1137667168.unknown _1137666957.unknown _1137666735.unknown _1137666758.unknown _1137653391.unknown _1137652905.unknown _1137653114.unknown _1137653236.unknown _1137653301.unknown _1137653340.unknown _1137653267.unknown _1137653177.unknown _1137653211.unknown _1137653138.unknown _1137653001.unknown _1137653047.unknown _1137653086.unknown _1137653024.unknown _1137652949.unknown _1137652980.unknown _1137652930.unknown _1137652658.unknown _1137652820.unknown _1137652860.unknown _1137652883.unknown _1137652841.unknown _1137652755.unknown _1137652799.unknown _1137652680.unknown _1137652471.unknown _1137652607.unknown _1137652634.unknown _1137652585.unknown _1137652422.unknown _1137652456.unknown _1137652393.unknown _1137650536.unknown _1137652192.unknown _1137652289.unknown _1137652339.unknown _1137652366.unknown _1137652313.unknown _1137652228.unknown _1137652258.unknown _1137652209.unknown _1137651021.unknown _1137652109.unknown _1137652162.unknown _1137652058.unknown _1137650612.unknown _1137650655.unknown _1137650576.unknown _1137650129.unknown _1137650385.unknown _1137650439.unknown _1137650496.unknown _1137650399.unknown _1137650228.unknown _1137650362.unknown _1137650146.unknown _1137649977.unknown _1137650050.unknown _1137650091.unknown _1137650011.unknown _1137605219.unknown _1137649811.unknown _1137605178.unknown _1137603848.unknown _1137604407.unknown _1137604788.unknown _1137604924.unknown _1137605054.unknown _1137605096.unknown _1137605014.unknown _1137604856.unknown _1137604884.unknown _1137604826.unknown _1137604616.unknown _1137604695.unknown _1137604748.unknown _1137604674.unknown _1137604513.unknown _1137604561.unknown _1137604449.unknown _1137604075.unknown _1137604236.unknown _1137604349.unknown _1137604305.unknown _1137604328.unknown _1137604178.unknown _1137604214.unknown _1137604127.unknown _1137603938.unknown _1137603971.unknown _1137604013.unknown _1137603962.unknown _1137603913.unknown _1137603929.unknown _1137603878.unknown _1137603353.unknown _1137603611.unknown _1137603707.unknown _1137603750.unknown _1137603781.unknown _1137603729.unknown _1137603657.unknown _1137603689.unknown _1137603626.unknown _1137603487.unknown _1137603558.unknown _1137603587.unknown _1137603527.unknown _1137603426.unknown _1137603465.unknown _1137603369.unknown _1137602962.unknown _1137603150.unknown _1137603250.unknown _1137603273.unknown _1137603214.unknown _1137603082.unknown _1137603121.unknown _1137603003.unknown _1137602841.unknown _1137602892.unknown _1137602929.unknown _1137602868.unknown _1137602802.unknown _1137602825.unknown _377283286.unknown _1137602787.unknown _377282013.unknown