空间距离问题巡视（高二、高三）

《数理天地》高中版 高考数学高分之路 2004年第6期 孟庆勇 代夫珍 (山东省费县第一中学 273400) 空间距离是现行教材中的重点、难点，也 是高考的热点，现就空间距离的求解思路从几 何与向量两个方向作了总结，供参考． 1．两点间的距离 例 1 如图l所示，正方形ABCD、ABEF 的边长都是 l，而且平面ABCD、ABEF互相垂 直．点M在AC上移动，点 N在BF上移动，若 CM — BN — a(O< n< )． (1)求MN 的长度； (2)当 “为何值时，MN 的 长度最小． (02年高考) 分析 1 几何策略 图1 ①计算两点间的距离常转 化到一个三角形中，解三角形． ②转化为求与之相等的线段长，利用常见 的结论解之．如： 长方体对角线 z一~／a 4-b。4-c ． 异面直线上两点间的距离 I EF l一√m 4-1"1。4-d。±2mncosO等． 解法1 (1)作MP／／AB交BC于点P， ／／AB交BE于点Q，连结PQ，依题意，得 MP／／NQ，且MP—NQ， 即 MNQP为平行四边形． 所以 MN — PQ． 由已知 CM —BN—a，CB—AB—BE一1， 得 AC—BF一 ，cP—BQ一 ＆， 厶 所以l MN —l PQ l一~／(1一cP) +(BQ)。 √( 一 ) +(乎) 一 弼 c⋯< (2)由(1)，知 l MN 所以 · l6 ： 再 ， ，即M、N分别移动到Ac、BF 的中点时，MN的长度最小，最小值为 ． 分析2 向量策略 通过选择基底或建立适当的空间直角坐标 系，把两点间的距离问题转化为求向量模问题． 一 般为：①选基底或建立 坐标系；②表示出所求两点为 起点和终点的对应向量；③利 用模长公式求模． 解法2 (1)以B为坐标 原点，建立如图 2所示的空间 直角坐标系．由题设，得 图 2 因为 CM —BN —a， 所以M I~ ,o,1-一yn 隽 a。)． 所以 l l 一√(隽隽)。+( ) +(1~／ 2 ) _√(n一 )‘+专c。a)，求AB与面a的距离． 分析 平行线与平行面的距离。两平行平 面间的距离往往转化为直线上(或平面上)一点到 平面的距离。求解策略见上述2．解题过程略． 总之。空间中的距离以两点间的距离、点到 直线的距离、点到平面的距离以及异面直线的 距离为基础，一方面采用几何策略，通过“一作 二证三计算”或通过转化使问题解决；另一方 面采用向量策略把几何推理过程转化为代数计 算，从而达到事半功倍的效果．读者应多加注意 向量在解决距离问题中的特殊功效． (接 15页) yZ p· ． 化简，得 可 一 十p(x>o)， 平方整理，得 点 N的轨迹方程为 ( 。～ 1) 。十 p 。一2 一P。一 0(T>0)． I CD 1一~／T I 一 1一 (Ⅲ一 。)， ( )一I I AB 1—1 CD 1 I一 1 十 I． f —十_1， 由 十 得 (2m — 1) 。十 2rncc～m。十 2m 一 0． 3．范围问题 因为 2≤ ≤5， 例4过椭圆 十 ≤m 的 所以 ”)= l 左焦点 F且倾斜角为45。的直线 与椭圆及其 准线的交点从左至右依次为 A、B、( 、D。记 f(m)一 I I AB I—I CD I I，求 ( )的取值范 围． 解 由条件，知 直线 ： 一 +l， 椭圆准线： 一± 。 A(一 m．～ m+ 1)， D(m， + 1)． 图3 设 B( 1． 1)，C(x2， 2)， 其中一m< 1< 2 >o)的右 顶点为A，P是双曲线上的一个 动点(异于顶点)．从 A引双曲线 的两条渐近线的平行线与直线 OP分别交于 Q和．R两点． ) L 、、 ／O／ 图 4 (1)证明无论 P点在什么位置，总有 OP l 2一I∞ I·I OR l(0为坐标原点)； (2)求 T= 的取值范围． (答案：T> 且 T≠ 1) · 19 · 维普资讯 http://www.cqvip.com