《数理化解题研究)zoo8年第3期 数字篇
求空间
广西浦北县二职校 (535300) 宁明镜 ●
确定空间角的大小是立体几何中的一类重要题型,
也是历年高考数学试题考查的重点 .本文通过一些典型
范例,介绍用空间向量确定空间角大小的基本方法.
一
、确定异面直线所成的角
方法要点:设异面直线 Z 、Z:所成的角为 ,a、西
分别是 Zl、Z2的方向向量,则 cosO=I COS(a,西)I=
I I.
例 1 如 图 1,在 Rt
AAOB中, OAB= 71",斜
U
边A =4.RtAAOC可以通
过 Rt AAOB以直线 AO为
轴旋转得到,且二面角 —
AO—C是直二面角,D是 图1
AB的中点 .求异面直线AO与CD所成角的大小 .
解 以 0为原点,OC、OB、OA分别为 轴、Y轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系 0一xyz,则 0(0,
0,0),A(O,0,2 ),C(2,0,0),D(O,1, ),
.
‘
. OA=(O,0,2√3),CD=(一2,1, ).
设异面直线AO与CD所成的角为0,则
cos C08( , ) I= 6 =
‘
.
·
. 异面直线AO与 CD所成角的大小为 arccos .
二、确定直线与平面所成的角
方法要点:如图2,直线 Z
与平面 成角 0,a是直线 Z
的方向向量,西是平面 的一
个法向量,则
图2
sin cos( )I=I I.
例2 如图3,四棱
锥 S—ABCD 中,底 面
ABCD为平行四边形,侧
面 SBC上底面A CD.已
知 ABC=45。。AB=2.
BC=24Y,SA=SB= . 图3
求直线SD与平面SAB所成角的大小 .
解 作SO.LBC,垂足为 0,连结AO,由侧面SBC
上底面ABCD,得.sD上底面ABCD.所以.sD上 ,SD
上OB.又因为SA=SB,所以AO=BO,即AAOB为等
腰三角形 .又LABC=45。,从而AO上OB.
以0为坐标原点, 为 轴正方向,OB为Y轴
正方向, 为 轴正方向,建立直角坐标系O—xyz,
则
A( ,0,0),B(O, ,0),D( ,一2A-,0),s(o,
0,1),
: (一 ,2 ,1),萌:( ,0,一1), :
(一√2,√2,0).
设,l=( ,Y,=)与平面SAB垂直,则
f,l·AB’=0, f fx
,y. )·(一 , ,0)=0, i
,1 .萌:0 l(x,y,z).( ,0,一1):0
{ 二 取 =1,得平面SAB的一个法向量为,l= I
=42 .
(1,1, ).
设直线5D与平面SAB所成的角为 ,则
sin cos )I_- 簧-=鲁,
所以,直线 SD与平面 SAB所成的角的大小为
. ,/22
c甜 n ‘
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2 数学篇 《数理化解题研~}2008年第3翔
为坐标原点,AB、AD、 P分别为 轴、Y轴、z轴的正
方向,建立直角坐标系A—xyz.
-~F'A:。,~lJa(o,o,o), (。,o,o),c( 1。
, ,
0),O(O, 。,0),P(O,0,。).
.
·
.
一PB:(。,0,一。), :(一 1。
,
√3T-口,0),一CD:
(一÷口, 0),一PD=(0,2了4g
设向量 聆=( ,Y。, )与平面 PBC垂直,向量 J,l
= ( 2,Y2,2J2)与平面PCD垂直,则
rn.一PB:0
,
,),∥1)。(。,0,一。)=0,
1 ·赢=0 y1. .(_ 1, g 0
说明 确定斜线的方向向量和平面的法向量时,
无需考虑向量的方向 .
例 3 在图4所示的几何
体中,EA上平面ABC,DB上平
面 ABC,AC上BC,且 AC=BC
= BD=2AE。M是AB的中点 .
求 DE与平面 EMC所成的角
的正切值 . 图4
解 以点 c为原点,cA,
CB分别为 轴和Y轴的正方向,过点 C作与平面
ABC垂直的直线为2J轴,建立直角坐标系 C一 .设
EA=0,则 C(0,0,0), (2a,0,0),D(0,2a,2a),M
(0,0,0),
.
。
。 EM=(一0,0,一0),CM=(0,0,0),DE(20,
一 2a.一0).
设向量聆=( ,y,Z)与平面EMC垂直,则
f聆‘EM=0, f( ,),,z)·(一0,0,一0)=0,
i聆. :0 j i( ,z).(。 0):0 j
{y 一 ’取 :1,得平面 的一个法向量为聆: L孑=
一 二 ’
(1,一1,一2).设DE与平面EMC所成的角为0,则
sin cos(聆, ) I一3.
所以 tan0:_ = : .
,/l—sin 0
三、确定平面与平面所成的角
方法要点:如图5,向量
a,b分别是二面角0c— —jB
的两个半平面的法向量,其
中一个向量的方向指向内
侧,另一个向量的方向指向 图5
外侧,则向量a,b的夹角就是二面角0c—Z—jB的平面
角 0.
再由公式c。s口=c。s(口,6)= 青 可确定 .
例4 如图 6,在 四棱
锥P—ABCD中,PA上底面
ABCD,AB 上 D,AC 上 CD,
仰 C=60。.PA=AB =BC .
求二面角B—PC—D的大
小 . 图6
解 由题意可知 PA,AB,AD两两垂直 .以点
一P1)-0, .(0筝, -o’ i
J,l。 =。 争i( ,y2,: ).(一Tl a' T8,。):。 争
f),2=43 2,
【 =2x2.
令Y =1, 2=一1,得平面PBC与平面PCD的一
个法向量分别为
聆l=(√3,1,√3),J,ll=(一1,一√ ,一2).
设二面角B—PC—D的平面角为 ,则
cos0~-COS( 肌1)=备 一孚.
所以二面角 一Pc— 的大/J 71"--flreeo$ 竽.
说明 确定平面 PBC与平面PCD的法向量时,
必须注意向量的方向,否则,求出的角度有可能是平
面角的补角 .
= =
l
1
Z
,●●●J、 L
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