向量法求空间角例析

专题突破 向量法 求 空间角 例析 四川 邹丽琼 高 中立 体 几何 中 的空 间 角 ，主要 有 3种 ：两 异 面 直 线 所 成 的角 ，斜线 与 平 面 所 成 角 ，以及 两 相交 平 面 所 成 角 ． 求 这些 角 ，常 规方 法 是“一 作 二 证 三计 算 ”，其 中作 图 求 角 有时比较 困难 ，若采 用向量法 ，则 可有 效解决这一 困难． 下面就向量法求空 间角 ，逐一分析 ，供读者商榷． 王固 辫 冀 慧 ， ∞例 1 在 正 方 体 ABCfTA1B1C D1中 ，M 是 AB 的 中点 ，求 对 角 线 B D 与 CM 所 成 角 大 小 ． 如 图 1，以 DA，Dc， ／}薛析 DD。所 在 直 线分 别 为 z轴 ， 轴 ，z轴 ，建 立空 问直 角 坐 标 系 D~xyz，设 正 方 体 棱 长 为 1，贝U D (0，0，0)，B (1，1， 1)，M(1，去 ，0)，C(0，1，0)，故 厶 和 一(一1，一1，一1)， 一 (1，一 1 ，0)，cOS<百 ， >一 图 1 设 正 方 体 棱 长 为 2，建 析 立 如 图 2所 示 的 空 问 直 角 坐 标 系 D-xyz，则 B (2，2， O)，B1(2，2，2)，E (0，2，1)，故 商 一(一2，一2，o)， 一(o，0， 2)，蘸 一 (～2，0，1)，设 平 面 ， ，- ，二． 例 3 如 图 3，在 a—l-卢的棱 上 有 2个 点 A、B，AC、BD 分 别 是 在 这 个 二 面 角 的 2个 面 内 ，且 垂 直 于 AB 的 线 段 ，又 知 AB 一 4 cm ，A C==：6 CITI。BD 一 8 cm 。CD 一 ： ：： 车 一 直线 丽阿 一 再一。_ ～ J ^／1十 — 与 CM 所成角 的余 弦值 为 ，故 2直线 所 成角 大 小 为 ．arc c。s 15 ． 毒 线意 ： 历成角为：arc c。s ； (2)2异 面 直 线 所 成 角 与 对 应 2向 量 的 夹 角 ，可 能相等 或互补 ．但 2异面 直线夹 角 为(。， ]． 矿 1—’ 8例 2 正 方 体 ABCD-A B C D 中 ，E 是 CC 的 中 点 ，求 BE 与 平 面 B BDD 所 成 角 的 大 小 ． 搽 代 - i 2~／17cm，求 二面角 a—z 的大小· 图 3 》 已知CA上AB，AB上 一 ， 解 析 BD，所 以c---D=== + +百 ，(c--~)。一 ( + 十商 )z，所 以 l CD l z— l l z-t-l l z+ 1商 l z-t-2 ．商 ，即 (2 )z一6 2-t-4。-t-8。-t- 2 l l· 1商 l·COS< ，蔚 >，所 以 一 48— 96cos< ，商 >，所 以 cos< ，商 >一 一 1， < ，商 >一120。，所求二面角大小为 60。． 毒 、 垂 总之 ，利用 向量 求解 空 间 角 的基 本 思 路 是 ；建空 间直 角坐标 系 设 坐标 ，写 出 向量 坐 标 进 行 向量 运 算 ， 其实 就是 以算 代证 ，将 几何 问题 代 数 化．但 是 也有 它 不利 的一 面 ，可 能计算 较繁 ，注 意计算 上 不要 失误 ．另 外要 注意所 求 角与所 求空 问角范 围 的一 致性 ． (作者 单位 ：四 川省苍 溪县 高级 职 业 中学) 言不过行 ，行不过道． ——《淮南子 ·主术训》 维普资讯 http://www.cqvip.com