考研一元函数的积分学---不定积分

第 4 章 一元积分学 本章主要包括不定积分和定积分两部分，其重点是积分中值定理及其应用，难点是定积 分可积性理论. §1 不定积分 I 基本概念与主要结果 一 不定积分的概念与性质 1 定义 设函数 ( )f x 在区间 I 上有定义，如果存在 I 上的函数 ，使得 )(xF ' ( ) ( )F x f x= ， x I∈ ， 则称 是( )F x ( )f x 在 I 上的一个原函数. ( )f x 在区间 I 上的全体原函数称为 ( )f x 的不定积 分，记作 ( )f x dx∫ ， 即 ( ) ( )f x dx F x C= +∫ ，其中 为任意的实常数，通常称之为积分常数. C 注 1 原函数的存在性：若函数 在区间 I上连续，则必存在原函数. )(xf 注 2 原函数若存在，则必有无穷多个，且彼此仅相差一个常数. 注 3 并不是没一个函数都存在原函数，如具有第一类间断点的函数. 注 4 初等函数在其定义域内一定有原函数，但初等函数的原函数未必是初等函数， 如 ∫ ∫∫ .sin,ln1,2 dxx xdxxdxe x 因此，不定积分给出了一种新的函数示法. 2 性质 （1） ' ( ) ( )f x dx f x c= +∫ ； （2） ( ) ( )d f x dx f x dx =∫ ； （3） ； dxxfdxxfd )()( =∫ 130 （4） ；（ 为实常数）. 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) (k f x k g x dx k f x k g x± = ±∫ ∫ ) 21,kk∫ 二 不定积分基本公式 1 ， adx ax c= +∫ 11 1 x dx x cα αα += ++∫ ， ( 1)α ≠ − ， 1 ln | |dx x c x =∫ + ； 2 ， x xe dx e c= +∫ 1 , ln x xa dx a c a = +∫ ( 0 ； 1a a> ≠且 ) 3 sin cos ,xdx x c= − +∫ cos sinxdx x c= +∫ ； 2sec tanxdx x c= +∫ ， 2csc cotxdx x c= − +∫ ； tan ln | cos |xdx x c= −∫ + ， cot ln | sin |xdx x c= +∫ ； sec ln | sec tan |xdx x x c= +∫ + ， csc ln | csc cot |xdx x x c= − +∫ ； 4 shxdx chx c= +∫ ， . ( )2 x xe echxdx shx c shx −−= + =∫ ； 5 2 2 ( sin cos )sin x x e x xe xdx α α α β β ββ α β − c= ++∫ ， 2 2 ( sin cos )cos x x e x xe xdx α α β β α ββ α β + c= ++∫ ； 6 2 2 arcsindx x c aa x = +−∫ ， 特别地 2 arcsin1 dx x c x = +−∫ ； 2 2 1 arctandx x c a x a a = ++∫ ， 特别地 2 arctan1 dx x cx = ++∫ ； 7 2 2 1 ln | | 2 dx a x c a x a a x += +− −∫ ， 2 2 2 2 ln | |dx x x a c x a = + ± +±∫ ， 131 2 2 2 2 2 arcsin ( 0) 2 2 x a xa x dx a x c a a − = − + + >∫ ， 2 2 2 2 2 2 2ln | | 2 2 x ax a dx x a x x a c± = − ± + ± +∫ . 三 不定积分法则 1 分部积分法 设 和 都是可导函数，且不定积分( )u x ( )v x dxvu∫ ′ 存在，则 ∫ ′dxvu 存在，且 ' ',udv uv vdu uv dx uv u vdx= − = −∫ ∫ ∫ ∫ . 2 换元积分法 '( ( )) ( ) ( ) ( ( ))f x x dx f u du u xϕ ϕ ϕ= =∫ ∫ . （1） 第一换元积分法：已知右端不定积分，求左端（凑微分法） 设 ( )xϕ 可导，且 ( ) ( )f u du F u c= +∫ ，则 '( ( )) ( ) ( ( ))f x x dx F xϕ ϕ ϕ c= +∫ . 第二换元积分法：已知左端不定积分，求右端 设函数 ( )x tϕ= 在[ , ]α β 可导， ( )a t bϕ≤ ≤ ，且 ' ( ) 0tϕ ≠ ，函数 ( )f x 在[ , 有定义，]a b [ , ]t α β∀ ∈ ，有 ，则' ( ) [ ( )] ( )G t f t tϕ ϕ= ' ( )f x 在[ , 存在原函数，且 ]a b ' 1( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ( ))f x dx f t t dt G t c G x cϕ ϕ ϕ−= = + = +∫ ∫ 基本步骤： (1) 令 ( )x tϕ= ， (2)求 '[ ( )] ( ) ( )f t t dt g tϕ ϕ c= +∫ ， (3) 代入得1( )t ϕ−= x 1( ) ( ( ))f x dx g x cϕ−= +∫ . 基本方法： 第一换元积分法：常用于以下几类函数 （1） 关于自变量线性函数 1( ) ( ) ( ), (f ax b dx f ax b d ax b a a 0)+ = + +∫ ∫ ≠ （2） 二次函数，如： 132 2( )(2 )f ax bx c ax b dx+ + +∫ （3） 被积函数可写成 ' ( ) ( ) g x g x ，如 ln ln ln dx d x x x x =∫ ∫ （4） 被积函数可写成 1( )n nf x x − 形式，如 1 1( ) ( )n n n nf x x dx f x dx n − =∫ ∫ （5） 被积函数可写成 2 1( ) ,n ng x x − " （6） 被积函数可写成形式 (sin )cos (cos )sinf x x f x或 x， 1 1(ln ) , ( )f x f x x x ， 2 2 1(tan )sec , (arcsin ) 1 f x x f x x− ， 2 1(arctan ) 1 f x x+ 等形式； （7） 被积函数可写成 2 1 1( )f x x 形式； （8） 被积函数含有指数函数 ，令kxe kxt e= ； （9） 倒代换 1t x = ； （10） 被积函数含有 ln x的正整数次幂； （11） 被积函数含有反三角函数等. 第一换元积分法的关键： ：从 中分出一部分与 凑成( )G x dx∫ ( )G x dx ( )d xϕ ，余下可以 表示为 ( )xϕ 的函数，即把 表示成 ( )G x '( ) ( ( )) ( )G x dx f x x dxϕ ϕ= 第二换元积分法（常用去根号） （1）被积函数含有： 1） 2a x− 2 ，令 sinx a t= ， 2） 2a x+ 2 ，令 tanx a t= ， 3） 2 2x a− ，令 secx a t= ， 根据所作的假设，可画图求其余的各三角函数表达式. （2） ( , )mR x ax b dx+∫ ，令 m ax b t+ = ； 133 （3） ( , )ax bR x dx cx d + +∫ ，令 ax b tcx d+ = ； + （4） (sin , cos )R x x d∫ x，令 tan 2x t= （万能替换）. 分部积分法常用于： （1） 对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等与多项式函数之积； （2） 三角函数与指数函数之积. 四 几类函数的不定积分求法 1 有理函数的不定积分 )( )( )( xQ xPxR n m= ，其中 分别为 次与 次多项式， 可转化为以下形式 的不定积分之和. )(),( xQxP nm m n )(xR （1） ( )n A dx x a−∫ ； （2） 2 ,( )m Mx N dx x px q + + +∫ ； 2, 4m N p q∈ − < 0 显然 （1） ( )n A dx x a−∫ 1 ln | | , 1 , 1 (1 )( )n A x a c n A n n x a − − + =⎧⎪= ⎨ >⎪ − −⎩ （2） 2( )m Mx N dx x px q + + +∫ = 2 2 2 2( )( ) 2 (m mt MpM dt Nt a t a+ −+ +∫ ∫ )dt ， 其中 2 pxt += ， 2 2 4 pa q= − .当 时，有 1m = 2 2 2 2 1 ln( ) ( ) 2m t dt t a c t a = + ++∫ ， 当 时，则有 1m > 2 2( )m m dtJ t a = +∫ 12 2 2 1 21 2 32( 1) ( ) 2 ( 1) mm m Jm a t a a m −− −= +− + − . 2 简单无理函数 大多数无理函数的不定积分不能用初等函数来表示.如 3 1x dx±∫ . 134 基本原则：化无理函数为有理函数 （1） ( , )n ax bR x cx d + + 型函数， 是常数， 且, , ,a b c d 2,n ≥ 0ad bc− ≠ . 令 ,n ax b t cx d + =+ n n dt bx a ct −= =− ( )tϕ ， ； ' ( )dx t dtϕ= （2） 2( , ),R x ax bx c+ + 其中 是常数，, , ,a b c d 20, 4 0a b ac≠ − ≠ . 若b a 则2 4 0,c− > 2 ( )( )ax bx c a x x+ α β+ = − − ，令 )(2 axtcbxax −=++ ， 即 2 2 a tx a t β α−= − ；若 令 ,04 2 <− acb 2ax bx c tx c+ + = ± ， 则得 2 2b cx t a = t− ∓ ； 或令 2ax bx c tx ax+ + = ± ，则得 2 2 t cx b a −= ∓ t . (sin ,cos )R x x dx∫ 的不定积分 3 三角函数 （1）万能代换 设 ( ) 2 xtg t xπ π= − < < ，有 2arctan ,x gt= 221dx dtt= + ， 2 2sin , 1 tx t = + 2 2 1cos 1 tx t −= + ， 从而 2 2 2 2 2 1 2(sin ,cos ) ( , ) 1 1 1 t tR x x R t t t −= + + +∫ ∫ ， 即可化为有理函数的不定积分. 135 （2） (sin ,cos )R x x 是 cos x 的奇函数，即 (sin , cos )R x x− = (sin ,cos )R x x− ，令 . sint x= （3） (sin ,cos )R x x 是 sin x 的奇函数，即 ( sin , cos )R x x− = (sin ,cos )R x x− ，令 . cost x= （4）若 ( sin , cos )R x x− − (sin ,cos )R x x= ，则令 tant x= . （5）若被积函数是 sin cosn mx x情形则有 1） 中至少有一个是奇数，比如,n m 2 1m k ,= + 则令 sin x t= ，得 2 2sin cos sin cos sin (1 )n m n k n kx x x xd x t t= = dt−∫ ∫ ∫ 2）若 中均为偶数，则由 ,n m 2 1sin (1 cos 2 ), 2 x x= − 2 1cos (1 cos 2 ) 2 x x= − ， 1sin cos sin 2 2 x x x= 将其化简直至某一幂次为奇数为止. （6）被积函数是三角函数乘积形式，可用积化和差公式： 1sin sin [cos( ) cos( ) ] 2 mx nx m n x m n x= − − + ， 1sin cos [sin( ) sin( ) ] 2 mx nx m n x m n x= + − − ， 1cos cos [cos( ) cos( ) ] 2 mx nx m n x m n x= + + − . II 典型例 不定积分不是考研的重点，但许多问题涉及到不定积分的计算，因此，要做一定量的不 定积分的计算题。 例 1 计算 1ln(1 ) (1) ( 1) x dx x x + +∫ ； （2） 4 2 1dxx x+ +∫ . 解 1 1ln(1 ) ln(1 ) 1(1) (1 )1( 1) (1 ) x xdx d x x x x + + = − ++ +∫ ∫ 1 1ln(1 ) (1 )d x x = − + +∫ 136 = 2 1 1ln (1 ) 2 c x − + + . （2） 4 2 1 dx x x+ +∫ 2 2( 1)(dxx x x x= 1)− + + +∫ 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x xdx dx 1x x x x + −= −+ + − +∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1( ) ( )1 1 1 12 2ln 1 3 1 34 1 4 4( ) ( ) 2 4 2 4 1 1 1 2 1 2 1ln (arctan arctan ) 4 1 2 3 3 3 x dxdx dx x x x x x x x x d x d xx x x x x x x x x x c x x )dx+= + − −+ + + + − + − + −+ += + −− + + + − + + + + −= + − +− + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + 解法二 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 11 11 ( 1) ( 1) 1 1 1 12 1 2 21 1 x x x xdx dx dx x x x x x x + −+ − −= = −+ + + + + +∫ ∫ ∫原式 2 2 1 1( ) ( )1 1 1 12 2( ) 3 ( ) 1 1 1 11 1 1 1arctan ln 12 2 23 3 1 d x d x x x x x x x x x x x c x x − + = − − + − − − + − = − ⋅ + + ∫ ∫ + 例 2 计算： （1） 1n dx x x ++∫ ； （2） 3 21 x dx x+∫ . 解（1） 11 1( ) ln | | ln |1 (1 ) 1 n n n n dx x dx x x c x x x x n − = = − = − ++ +∫ ∫ | + ； （2） 2 2 2 2 2 1 1 1( 1) ( 1 ) ( 1 2 21 1 x d x x d x x x = + = + −+ +∫ ∫ 2 )+ 137 3 1 2 22 21 ( 1) (1 ) 3 x x c= + − + + . 例 3 计算： sin(2 ) , sin nxI dx n Z x += ∈∫ . 解 由于 1 1 sin 2 [sin(2 ) sin(2 2) ] 2sin cos(2 1) n n k k nx kx k x x k x = = = − − =∑ ∑ − ， 所以， 原式 1 1 sin(2 1)2 cos(2 1) 2 2 1 n n k k k xk xdx k= = −= − = −∑ ∑∫ c+ . 例 4 计算： （1） 2[tan sec ] xI x x e= +∫ dx （2） 1 sin1 cos xx e dxx++∫ .（华中科技大学） 解（1）原式 ' '[tan tan ] (tan ) tanx x xx x e dx x e dx x e c= + = = +∫ ∫ . 或 2 2tan sec tan sec sec tan x x x x x 2 xxe dx xe dx e x xe dx xe dx e x c + = − + = + ∫ ∫ ∫ ∫ （2）原式 2 2 2sin cos 1 12 2 [tan ] 22cos 2cos 2 2 x x x x xe dx e dxx x + = = +∫ ∫ '[tan (tan ) ] tan 2 2 2 x xx x xe dx e c= + =∫ + . 或 原式 ∫ +−= dxex xx x2sin )sin1)(cos1( ∫ −+−= dxexxxxx x)cotcsccotcsc(csc2 dxxedxxe xx∫ ∫ ′+′−= )csc()cot( .)cot(csc cexx x +−= 注 不定积分有时表现形式有较大区别，如本例（2），其正确性的验证：求导是否等于被 积函数。 138 例 5 计算 3 3 sin sin cos x dx x x+∫ . 解 ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x− − = x ，令 tgx t= ，则 21 dtdx t = + ，于是 原式 2 2 3 3 2 sec (1 ) 1 1 1 1 tgx x t t dt tdt dt tg x t t t += = =+ + +∫ ∫ ∫ 3+ ； 用待定系数法可得： 3 2 1 1 1 1 1 3 1 3 t t t t t 1t += − ++ + − + ，于是原式可变为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1( )1 1 1 ( 1) 3 2ln |1 | ( )1 33 3 2 1 2 ( ) 2 4 1 1 1 1 2 2ln |1 | ln | 1| arctan 3 6 2 3 3 2 1 1 sin cos 1 2sin cosln arctan 6 (sin cos ) 3 3 sin dt t dt t t t d td t tt t t t t t t t x x x x c x x x c += − ++ − + −− += − + + +− + − + − = − + + − + + ⋅ + − −= ++ ∫ ∫ ∫ ∫ 原式 + 例 6 计算： 2 2 1 dxI x x = −∫ 。 解 令 sec (0 ) 2 x t t π= < < 或 2 tπ π< < ，当0 2 t π< < 时，则 2 1 tan , sec tanx t dx t td− = = t， 于是 2 2 1 1sec tan sin sec tan sec 1 ( 1) I t tdt dt t c t t t x c x x = ⋅ = = −= + > ∫ ∫ + 若 2 tπ π< < ，则 2 1 tanx t− = − ，所以 139 2 2 sec tan 1 sin sec ( tan ) sec 1 ( 1) t tdtI dt t c t t t x c x x = = − = − +− −= − + < − ∫ ∫ 例 7 计算 2 1 4 xI dx x x += − −∫ 。 解 2 2 1 2 ( 2) xI dx x += − +∫ ，令 2 2sin ( )2 2x t t π π+ = − < < ，则 22sin 1 22cos 2cos arcsin 4 2cos 2 t xI tdt t t c x x c t − += ⋅ = − = + = − − − − +∫ 。 例 8 计算（1） lnx xdxα∫ （西安交大）； （2） ( 1) arctanx xdx+∫ 。 解（1）当 1−=α 时， 21ln ln 2 x xdx x cα = +∫ ； 当 1−≠α 时， 11 1ln ln 1 1 x xdx x x x dxα α αα α += −+ +∫ ∫ 1 1(ln ) 1 1 x x c α α α + = − ++ + 。 （2） arctan arctanx xdx xdx= +∫ ∫原式 2 21 1arctan arctan arctan ln( 1) 2 2 2 2 x xx x x x x c= − + + − + + 。 例 9 计算： 2(3 1) cosI x x xd= + − x∫ 。 解 2 2 2 (3 1) sin (3 1)sin (6 1)sin (3 1)sin (6 1)cos 6sin x x d x x x x x xd x x x x x x c = + − = + − − + = = + − + + − + ∫ ∫ " 原式 x 例 10 计算： cos(ln ) , sin(ln )I x dx J x dx= =∫ ∫ 解法一 令 ln , tx t dx e dt= = ，则 cos cos sin cos sin sin cos sin t t t t t t t t I e tdt e t e tdt e t J e tdt e t e tdt e t I = = + = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ J+ − （此处可直接利用公式） 联立解之得 140 (sin cos ) [sin(ln ) cos(ln )] 2 2 [sin(ln ) cos(ln )] 2 te xI t t c x x xJ x x c c= + + = + + = − + 解法二 亦可直接积分，然后解方程组即可，事实上 cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) I x x x dx x x J x x x dx x x I J= + = + = − = ∫ ∫ − 解之便得 I 与 的值。 J 例 11 计算： ∫ + .1)2cos(cosln dxx x 解 2 ln cos 1 ln cos 1 ln cos tan cos(2 ) 1 2 cos 2 x xdx dx xd x x x = =+∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 sin 1 1ln cos tan tan ln cos tan 2 2 cos 2 2 x 1 2 x x dx x x x x = ⋅ + = + −∫ x c+ 。 例 12（分段函数）设 21 , ( ) 1 , x x f x x x ⎧ − ≤⎪= ⎨ − >⎪⎩ 1 1 ，求 ( )f x dx∫ 。 解 当 1 时， 2 2( ) (1 ) 2 xf x dx x dx x c= − = − +∫ ∫ ， 当 时， 1x < − 2 3( ) (1 ) 2 xf x dx x dx x c= + = + +∫ ∫ ， 由 ( )f x 连续知不定积分一定连续，从而由在点 1x = ± 处的左右极限相等，可得： 2 1 2 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2 3 6 c c c c c c c + = + ⇒ = + 1 1 6 c− + = − + ⇒ = − + 所以， 141 3 2 2 , 1 3 1( ) , 1 2 6 1 , 1 2 6 xx c x xf x dx x c x xx c x ⎧ − + ≤⎪⎪⎪= − + + >⎨⎪⎪ + − + < −⎪⎩ ∫ 注 对于分段函数，若其不连续，则其不定积分可能不存在；若间断点为第一类，则不定 积分必不存在。 例 13 计算： { } .,,1max 32 dxxx∫ 解 记被积函数为 ，则 )(xf ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −< ≤ > = ,1, ,1,1 ,1, )( 2 3 xx x xx xf 记 为其一个原函数，则 )(xF ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −<+ ≤+ >+ = ,1, 3 1 ,1, ,1, 4 1 )( 3 3 2 1 4 xcx xcx xcx xF 其中 为待定常数。由于 连续，所以 连续，由此可得 321 ,, ccc )(xf )(xF , 3 2, 4 3 2321 −=+= cccc 所以， { }∫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −<+− ≤+ >++ = .1, 3 2 3 1 ,1, ,1, 4 3 4 1 ,,1max 3 4 32 xcx xcx xcx dxxx 例 14 已知 ' 1, 0 1,(ln ) , 1, x f x x x < ≤⎧= ⎨ >⎩ 且 (0) 0f = ，求 ( )f x 。 解 令 ln x u= ，则 ux e= ，代入原方程得 142 ' 1, 0( ) , 0u u f u e u ≤⎧= ⎨ >⎩ 积分得： 1 2 , 0 ( ) , 0u u c u f u e c u + ≤⎧= ⎨ + >⎩ ， 由 得 ，故所求函数为 (0) 0f = 1 2 1 0c c= + = , 0 ( ) 1, 0u u u f u e u ≤⎧= ⎨ − >⎩ 思考题 1 （1）求函数 ' 2( ) max{1, }f x = x 满足条件 (0) 1F = 的原函数 ； ( )F x （2）设 ' 2 2 2(sin 2) 4cos 3tan (0 1)f x x x x+ = + ≤ ≤ ，求 ( )f x 。 提示：（1）化为分段函数； （2）令， 2 2sin 2 , ( ) 9 2 3ln(3 )x t f x x x x c+ = = − − − + 。 例 15 设 4 4 4 5 2(2 ) ln 1 xf x x ++ = − ，且 ( ( )) ln( 1)f x xϕ = + ，求 ( )x dxϕ∫ 。 解 4 4 4 2( 2) 1 2 1(2 ) ln ( ) ln ( 2) 3 3 x tf x f t x t + + ++ = ⇒ =+ − − 。又 2 ( ) 1 2 ( ) 1 3 1( ( )) ln ln( 1) 1 ( ) ( ) 3 ( ) 3 1 x x xf x x x x x x x ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ + + += = + ⇒ = + ⇒ =− − − . 所以， ( ) 3 4 ln | 1|x dx x x cϕ = + − +∫ 。 例 16 计算：（1） 2 2( 1) ( 1) xdxI x x x = + + +∫ ， （2） 8 2(1 )dxx x+∫ 。

分析

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：此是有理分式函数的不定积分，可用待定系数法解之，但较繁. 解（1） 2 2 1 1 2 2 1 1( ) arctan 1 ( 1) 13 3 xI dx c x x x x += − = ++ + + +∫ + ； （2）利用倒代数 2 1 1,x dx dt t t = = − ，于是 143 8 6 4 2 8 2 2 2 7 5 3 1( 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1arctan 7 5 3 dx t dt t t t dt x x t t c x x x x x = − = − − + − ++ + + = − + − + − + ∫ ∫ ∫ ) 例 17 计算： . ( 0, 0) tan dxI a a b x b= ≠ ≠+∫ 解法一 cos . cos sin xI dx a x b x = +∫ 将分子写成分母与分母导数的线性组合，即 'cos ( cos sin ) ( cos sin )x A a x b x B a x b x= + + + 2 2 2 2 1 , 0 Aa Bb a bA B Ab Ba a b a b = +⎧⇒ ⇒ = =⎨ = − + +⎩ ， 故 2 2 1 [ ln | cos sin |]I ax b a x b x c a b = + ++ + 。 解法二 令 tx =tan ，则 ∫∫ ++=+ dtbta tdxxba dx 21 tan ， 此乃有理分式函数，很容易求解，从略。 解法三 令 cos sin, cos sin cos sin x xI dx J dx a x b x a x b x = =+ +∫ ∫ ，则 1 2 ( cos sin ) ln | cos sin | cos sin aI bJ x c d a x b xbI aJ a x b x c a x b x + = + +− = = ++∫ + 解方程得 2 2 1 [ ln | cos sin |]I ax b a x b x c a b = + ++ + 。 例 18（浙江大学 2002）求不定积分 ∫ + .1 2 dxx 解 由分部积分法得 ∫∫∫ + −+−+= + −+=+ dx x xxxdx x xxxdxx 2 2 2 2 2 22 1 111 1 11 144 ∫∫ +++−+= .1 111 2 22 dx x dxxxx 令 ) 2 , 2 (,tan ππ−∈= ttx ，则 ，于是 tdtdx 2sec= ∫ ∫ ∫ ∫ −===+ )(sinsin1 1 cos cossec 1 1 222 td t dt t ttdtdx x c t t ′+− += sin1 sin1ln 2 1 ,)1ln( 2 cxx ′+++= 将其代入上式可得 .)1ln( 2 11 2 1 222 cxxxxdxx +++++=+∫ 注 此乃无理根式的不定积分，可用去根号的方式解之，当过程较繁。 例 19（中国地质大学 2002）计算 ∫ + .cos41 1 dxx 解 令 2 tan xt = ，则 dt t dx t tx 22 2 1 2, 1 1cos +=+ −= ，于是 ∫ ∫∫ +−−−=−=+ dtttdttdxx )53 153 1(5135 2cos41 1 2 c t t +− += 53 53ln 15 1 . 5 2 tan3 5 2 tan3 ln 15 1 c x x + − + = 例 20（湖北大学 2001）求不定积分 ∫= dxxI nn )(ln 的递推公式（ 为正整数）。 n 解 .)(ln)(ln)(ln)(ln 11 −− −=−== ∫ ∫ nnnnnn nIxxdxxndxxxdxxI 例 21（浙江大学 2001）计算： ∫ +− .233 dxxx x 解 由于 ),2()1(23 23 +−=+− xxxx 145 故可设 , )1(1223 23 −+−++=+− x C x B x A xx x 则 ，分别令)2()1)(2()1( 2 ++−++−= xCxxBxAx 0,1,2−=x 可得 , 3 1, 9 2, 9 2 ==−= CBA 从而 ∫ +−−−++−=+− .)1(3 11ln922ln92233 cxxxdxxx x 例 22（四川大学 2000）求不定积分 .) ln 1ln(ln dx x x∫ + 解 令 ，则 ，于是 tx =ln dtedxex tt == , ∫ ∫ ∫ +=+=+ dttetdtedtettdxxx t tt ln)1(ln) ln 1ln(ln ∫ dtt edtt ete tt t ∫∫ −−= ln .lnln ln cxx ctet += += 例 23（四川大学 1999）计算不定积分 ∫ + . )1( 1 arctan3 2 3 2 dxe x x 解 令 xt arctan= ，则 ，于是 tdtdxtx 2sec,tan == cttetdtedxe x t tx ++== + ∫∫ 10 )cos3(sincos )1( 1 33arctan3 2 3 2 . 110 )3( 2 tan3 c x xe xrac + + += 例 24（复旦大学 1997）求不定积分 ∫ .sinsinln 2 dxxx 解 由分部积分法得 ∫ ∫ ∫+−=−= dxxxxxxxxddxxx sincoscotsinlncot)(cotsinlnsinsinln 2 146 .cotsinlncot )1(cscsinlncot 2 2 cxxxx dxxxx +−−−= −+−= ∫ 例 25（复旦大学 1999，合肥工业大学 2002）求不定积分 ∫ −+ .11ln dxxxx 解 由分部积分法得 dx x x x xxdx x xx∫ ∫ −⋅−−+=−+ 2 22 1 2 21 1ln 21 1ln dx x x x xx ∫ −+−+−+= 1 1111ln2 2 22 . 1 1ln 2 1 1 1ln 2 2 c x xx x xx ++ −++− += 例 26（华东师大 1998）计算 ∫ + .1 2 3 dx x x 解 )1( 1 11 2 1 1 2 2 2 2 3 + + −+= + ∫∫ xdx xdx x x .1)1( 3 1 22 3 2 cxx ++−+= 例 27（华东师大 2000）求不定积分 ∫ + .cos1 sincos 2 3 dx x xx 解 ∫ ∫ + −−=+ )(coscos1 )cos1(coscos1 sincos 2 2 2 3 xd x xxdx x xx 令 tx =cos ，则 原式 ∫ ∫ +−=+−−= dttttdtttt )1 2(1 22 3 .)cos1ln(cos 2 1 )1ln( 2 22 2 2 ctt ctt ++−= ++−= 例 28（华东师大 2001）求不定积分 .)1ln( 2 dxx x∫ + 解 ∫ ∫∫ +++−=−+=+ dxxxxxxdxdxxx )1( 1)1ln()1()1ln()1ln( 2 147 . 1 ln)1ln( c x x x x +++ +−= 例 29（华东师大保送生考试题 2002）计算： ∫ .arctan xdxx 解 ∫ ∫ +−= dxxxxxxdxx )1(2arctan2arctan 2 22 .arctan 2 1 2 1tan 2 2 cxxxracx ++−= 例 30（华东师大 2003）计算 ∫ .ln 2 xdx 。 解 ∫ ∫ ++−=−= .2ln2lnln2lnln 222 cxxxxxxdxxxxdx 例 31（华东师大 2004）计算 ∫ − − . )1( 2 dx x xe x 解 ∫ ∫ ∫ ++−=−−=−=− − − − − − − . 11 ) 1 1( )1( 2 ce x xedxe x xe x dxedx x xe xxxxxx 例 32（东南大学 2002）计算 .)ln( 2 dxx x∫ 解 ∫ ∫ ∫+−=−= dxx xx xxxddxx x 2 2 2 2 2 ln2ln)1(lnln .2ln2ln 2ln2ln 2 2 c x xx cxx x x x +++−= +−−−= 例 33（重庆大学 2002）求不定积分 .)1ln( 3 2 dx x x∫ + 解 ∫∫∫ +++−=−+=+ − )1()1ln(21)()1ln(21)1ln( 222223 2 xx dxx x xdxdx x x .)1ln( 2 1ln)1ln( 2 1 22 2 cxxxx ++−++−= 例 34（重庆大学 2005）求不定积分 ∫ +++ .1123 dxxxx 解 ∫∫ ++=+++ dxxxdxxxx )1)(1( 111 223 148 ∫∫ +−++= dxxxdxx )1(2 1)1(2 1 2 .)1ln( 4 1arctan 2 11ln 2 1 2 cxxx ++−++= 例 35（华南理工 2002）求不定积分 ∫ + .)1( ln 22 dxx xx 解 ∫ ∫ +−=+ ))1(2 1(ln)1( ln 222 xxddxx xx .)1ln( 4 1ln 2 1 )1(2 ln )1( 1 2 1 )1(2 ln 2 2 22 cxx x x dx xxx x ++−++−= +++−= ∫ 例 36（华南理工 2003）求不定积分 ∫ −+ .)ln( 22 dxaxx 解 ∫∫ −+ −+⋅−−+=−+ dx axx ax xx axxxdxaxx 22 22 2222 )1( )ln()ln( dx ax xaxxx ∫ −−−+= 2222 )ln( .)ln( 2222 caxaxxx +−−−+= 练习题 求不定积分 1 ∫ .cossin5 dxxxx （合肥工业大学 2000） 2 ∫ − .1 1 23 dx xx （合肥工业大学 2001） 3 （合肥工业大学 2002） ∫ .tan 5 xdx 4 ∫ − .sin2cos cos 2 dx xx x （合肥工业大学 2003） 149 5 ∫ − .arcsin1 2 xdxx x （合肥工业大学 2004） 6 ∫ +− .)1( 1 22 2 dt t t （合肥工业大学 2004） 7 . 1 )1ln( dx e e x x∫ ++ − （上海师大 2002） 8 ∫ + .sin3 2 xdx （首都师大 2000） 9 ∫ − .1 arccos 2 dx x xx （华东理工大学 2001，湖南师大 2000） 10 ∫ − .1 dxe xe x x （南京大学 2002） 11 ∫ −+ .)1(1 dxxex x x （东南大学 2000） 12 （其中 为非零常数， ）（北京交通大学 2004） ∫ bxdxaxx cossin ba, .22 ba ≠ 13 ∫ xxdxln （曲阜师大 2001）； 14 （曲阜师大 2002）； ∫ + dxxx )tan5( 2 15 （湖南师范大学 1998）； ∫ xdxx arctan 16 ∫ − dxxx 22 1)(arcsin 1 （电子科技大学 2001）； 17 ∫ + dxxxx 4sin1 cossin （电子科技大学 2002）； 18 ∫ .cossin 4 5 dx x x （北京交通大学 2003） 19 ∫ + .)1( 2 dxexe x x （上海师大 2003） 20 ∫ + xx dx 22 cos2sin （扬州大学 2004）； 150 151