CH2复变函数的积分

nullnull第二章 复变函数的积分2.2 柯西定理2.3 不定积分2.4 柯西公式§2.1 复变函数的积分null熟练掌握柯西积分定理；【教学目的与要求】 通过学习，使学生了解复变函数的积分的概念；熟练应用柯西积分公式；熟练掌握复函数积分的计算法【教学重点】     柯西定理；柯西积分公式；复变函数的积分方法。知道调和函数与解析函数之间的关系 null     柯西积分公式的应用； 柯西推广定理。【本章难点】null 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念， 如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称 该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线C是开口弧段，若规定它的端点P 为起点，Q为终点，则沿曲线 C 从 P 到Q 的方向为曲 线C的正方向（简称正向），把正向曲线记为C或C+. 而 由Q到P的方向称为C的负方向（简称负向），负向曲线记为 .null(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向． null作和记：§2.1 复变函数的积分null例：计算积分分别沿路径(1)和(2),如图(2)(1)解(2)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关(1)null例：计算积分分别沿路径(1)和(2),如图。(1)(2)解(1)null例：计算积分分别沿路径(1)和(2),如图。(1)(2)(2)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关解null（一）、单连通区域证明：2.2 柯西定理格林公式nullC.R.条件得：推论：单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路径无关证明：null（二）、复连通区域证明：函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形成的带空区域l 为区域外边界线， li为区域内边界线，积分沿边界线正向进行null内、外边界线逆时针积分相等null2.3 不定积分单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路径无关， 令z0固定，终点z 为变点，有单值函数ABl2l1且：F(z) 是f(z) 的原函数路径积分的值等于原函数的改变量，即：§2.3 作业：证明上述公式，可参考P27相关内容。null例：计算一类重要的积分（n 为整数）解：n  0 被积函数解析n < 0 , z= 为 （z- )n 奇点，作小圆C, 在C上 nullnull例：计算积分重要结论：l 是圆周(l不包围)(l包围)null解：有两个奇点利用柯西定理（2.2.4）式且有nullnullnull2.4 柯西公式若：f(z) 在闭单通区域上解析，l 是闭区域的边界线，为闭区域内的任一点，则有证明：由意，根据上节公式有将此公式与柯西公式比较后，可以看出，我们只需证明如下公式成立即可:柯西公式null取小圆 Cnullf(z) 在闭单通区域上连续，0， f(z)  f()得证。柯西公式可示为null物理意义：一个解析函数f(z)在区域B内任一点的值由它在该区域边界上的回路积分确定。（课本P29）柯西公式可表示为null推论：对于复通区域，类推有柯西公式f(z)在l区域上有奇点，挖去奇点形成复通区域，null例：计算：l为圆ixy解：奇点为 z=0, z=i, z=-i在l内只有 z=inull例：计算：l为圆解：n 0n =1n >1