第二章 二维随机变量

null第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布第一节 一维随机变量及分布 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第四节 随机变量函数的分布第一节 一维随机变量及其分布（一）随机变量（二）随机变量分布函数第一节 一维随机变量及其分布（一） 随机变量（一） 随机变量 1、随机变量实例例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色} 非数量将Ω数量化 可采用下列 红色白色null即有 X (红色)=1, X (白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色,白色}数量化了.null例 抛掷骰子, 观察出现的点数.Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}样本点本身就是数量且有则有X(1)=1, X(2)=2, X(3)=3, X(4)=4, X(5)=5, X(6)=6null从上例可看出 （1） 样本空间可定义一实变量，每一样本点对应此变量的一个取值。 （2）由于样本点随机出现，则这样的变量亦是随机取值，样本点出现的概率即为变量取一定值的概率。null2、随机变量定义定义1.1 设E为随机试验, 其样本空间为Ω, 对Ω中每一个样本点ω, 有且只有一个实数X(ω)与之对应, 则称此定义在Ω上的实值函数X=X(ω)为随机变量。null此映射具有如下特点null 随机变量与普通函数的异同点：(1)值域均为实数区域R=(，) ；(2)随机变量的定义域为样本空间, 不一定为实数区域, 而普通函数的定义域为实数区域。(3)普通函数的取值是一定的, 而随机变量的取值是有一定的概率的。null例 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击, 直到击中目标为止, 则是一个随机变量.且 X(ω) 的所有可能取值为:X(ω)=所需射击的次数1, 2, 3, …null例 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则是一个随机变量.且 X(ω) 的所有可 能取值为:X(ω)=此人的等车时间[0,5]null = {儿童的发育情况  }X() — 身高,Y() — 体重,Z() — 头围.各随机变量之间可能有一定的关系, 也可 能没有关系—— 即 相互独立用随机变量取值的集合示随机事件用随机变量取值的集合表示随机事件实际上,随机事件为部分样本点的集合,而在样本空间上定义一随机变量之后,每一样本点对应随机变量的一个取值.而部分样本点的集合即为随机变量部分取值的集合,即随机变量的部分取值的集合为随机事件。 null例1中， 例2中，事件{点数不小于3}可表示为特别地：（1）若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 {X=1.5} 是不可能事件.null（2）若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X  b} 、…… 均为随机事件.即 {a < X  b} ={：a < X() b } (3) 一些表达式： {X = k}= {X  k}{X < k}； { X > b} =  {X  b}； {a < X  b} = {X  b}{X  a}。 null3.随机变量的分类离散型(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数.随机变量 X 的可能值是 :随机变量连续型实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型其它null实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”, 则 X 的所有可能取值为:null实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.则 X 的取值范围为 (a, b) .实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.则 X 的取值范围为4、小结4、小结　　2. 随机变量的分类: 离散型、连续型.　　1. 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数． (二） 随机变量的分布函数1、分布函数的概念2、分布函数的性质(二） 随机变量的分布函数1、分布函数的概念分布 函数 1、分布函数的概念例如（1）概念的引入null2.分布函数的定义说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.nullnullnull例 2 设袋中有标号为–1,1,1,2,2,2的6个球，从中任取一球，求所取得球的标号数的分布函数。nullnull练习 设10件产品中恰好有两件次品，现在接连进行不放回抽样，直到取得正品为止，试求抽样次数X的分布函数。2、分布函数的性质2、分布函数的性质即任一分布函数处处右连续null重要公式null例 如下四个函数中，哪些可作为随机变量X的分布函数？第二节 离散型随机变量 及其分布律第二节 离散型随机变量 及其分布律一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律说明 定义null注：离散型随机变量分布律有三种表示方式null(3)图形表示法null3、离散型随机变量的分布律的求法(1)利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk}, k=1, 2,…求法步骤为: 第一步：先确定X的全部可能取值xk, k=1, 2,…; 第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。null因此分布律为解则例1null求分布函数nullnullnullnull由随机变量X的概率分布可以得到其分布函数，以X有n个可能取值为例：null(2) 离散型随机变量X的分布函数F(x)的图形为一阶梯形曲线；注(1)离散型随机变量X的分布函数F(x)在X=xk处有跳跃，其跳跃值为pk=P{X=xk}，k=1,2,…；null一般地，对离散型随机变量 X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为 null(2)利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为： 第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值； 第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。null解: (1) F(x)的间断点为–1,1,3, 即为X的可能取值(2) p1=P(X= –1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2(3) 利用分布律的基本性质求分布律null例 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。解: 设抽取产品的检验等级数为X, 则X =1,2,3, 依意知null二、常见离散型随机变量的概率分布 二、常见离散型随机变量的概率分布 　　设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.1.两点分布 null实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布.null实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定则随机变量 X 服从(0 —1)分布.null 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.说明null2.等可能分布如果随机变量 X 的分布律为实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,null　　将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.(1) 重复独立试验3.二项分布null(2) n 重伯努利试验 null实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 　　　币抛 n 次,就是n重伯努利试验.实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 　　　是 n重伯努利试验.(3) 二项概率公式null且两两互不相容.null称这样的分布为二项分布.记为null可见,一般二项分布的解题步骤为:(1) 确定此试验类型是否为贝努利概型，即检查是否在同样条件下，将试验E重复进行多次，且各次试验的结果是否互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，每次试验只有两个结果 :A 或 Ā;（2）检查事件 发生的概率：并确定这一串重复的独立试验次数 n ；null（3）令X为n重贝努利概型中某事件A发生的次数，写出二项概率公式:（4）根据所求确定相关的概率：1) P{n次贝努利试验中A恰出现k次}=null2) P（A至少发生i次）=P { X≥i }null 3) P（A至多发生i次）=P { X≤ i } null 4) P（A至少发生i次且不超过j次） =P { i ≤ X ≤ j } null例如: 在同样条件下，抛掷一均匀硬币20次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为 20 次重复且相互独立试验，且每次投掷时，“正面”或“反面”出现的概率均为1/2，此为20重贝努利概型。 因此 20次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X服从二项分布B(n,p),有二项概率公式可得 :（1）P{ X=k } P{20次投掷硬币试验中“正面”恰出现k次}=null（2）P{ X ≥ 6 }=P（“正面”至少出现6次）= null（3）P{ X≤ 6 }=P（“正面”至多出现6次）（4）P{ 3≤X≤ 7 }=P（“正面”至少出现3次且不超过7次）=0.131387null注1null例1 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.null例2null解null图示概率分布null注 2null注 3null例 设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；nullnullnull补充 校乒乓球队与 系乒乓球队举行对抗赛。校队的实力比系队的实力强，假定当一个校队队员与一个系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6。现校系两队商量比赛方式，提出三种进行比赛：(1)双方各出3人；(2)双方各出5人；(3)双方各出7人。三种方案均以得胜人数多的一方胜利。试问对系队来说，哪种方案最有利？此为 随机对擂问题 !null解： 因为不管各队出多少人，每场比赛只有两个结果，或是校队队员取胜，或是系队队员取胜。且设各场比赛结果相互影响不大，因此可视为相互独立，从而问题就可视为多重贝努利概型。设A={校队队员胜系队队员},则P(A)=0.6,从而有设X为3场比赛中系对所输场数,则X=0,1,2,3 即 X ~ B ( 3, 0.6)其概率分布为:nullnull设Y 为5场比赛中系对所输场数,则 Y =0,1, … ,5 即 Y ~ B ( 5, 0.6)其概率分布为:null设Z 为7场比赛中系对所输场数,则 Z =0,1, … ,7 即 Z ~ B ( 7, 0.6)其概率分布为:null最有利情形:单挑 !null解因此例3null 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?例4null4. 泊松分布 null 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.null电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水null注 1(见下页)nullnull 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则可利用泊松定理计算所求概率为解回到前面的例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?null例 设每分钟通过某路口的汽车流量X服从泊松分布, 且已知在一分钟内无车通过与恰有一辆车通过的概率相同, 求一分钟内至少两辆车通过的概率。得 =1null例2.14 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台，试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。null nullnullnullnullnull可以看出泊松概率公式常在两种情况下使用：（1）X服从参数为泊松分布，直接泊松概率公式：（2）X服从参数为n,p的二项分布，间接使用泊松概率公式：null 例2.15 （寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。试问： （1）“一年内保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？ （2）“一年内保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记为B1 , B2）的概率是多少？null解：（1）每年保险公司收入为2500*12=30000元，设X为2500人在一年中死亡的人数，则保险公司应赔付2000X元，若A发生，则有2500X >30000 得 X>15（人）即若一年中死亡人数超过15人，则公司亏本（此处不计3万元所得利息）。因为nullnullnullnullnull5. 几何分布 若随机变量 X 的可能取值为1,2,3… ，其分布律为则称 X 服从几何分布.记为X~Ge(p).null实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数.null所以 X 服从几何分布.解null6. 负二项分布（帕斯卡分布） null记为X ~ Nb(r, p), p+q=1. X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.若随机变量X的可能取值为r, r+1, r+2,…，且其分布律为则称X服从负二项分布或帕斯卡分布，null如果随机变量X的概率分布为:8 超几何分布则称服从参数为n，N，M 的超几何分布。记作 X ~ h(n,N,M)null应用模型: 超几何分布实际上是第一章介绍的不放回抽样模型的数学描述: 设一袋中共有N个产品，其中有M个次品，现从中任取n 个产品,令X为这n 个产品中次品的个数，则X为随机变量, 服从参数为n，N，M的超几何分布。 对于超几何分布而言，当M，N较大时，不易计算，实际上，可以借助二项分布作近似计算.null例2.18 ： 在一批20件的产品中，有3件次品，现从中任取5件，以X表示所取5件产品中次品的件数，试求的概率分布与分布函数。解： 设X为所取5件产品中次品的件数，由题意知，服从X参数为5，3，20的超几何分布 ，其概率分布为三、小结三、小结离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布负二项分布超几何分布null在伯努利试验中，所考察问题不同 负二项分布Nb(r,p) （事件A出现次数r固定,试验总次数是随机变量）null二项分布B(n,p)泊松分布null熟知的离散型分布如下表null第三节、 连续型随机变量第三节、 连续型随机变量1、概率密度的概念与性质1、概率密度的概念与性质1.1定义1null1.2 概率密度函数的性质(1) f(x)0, xR, 表明密度曲线在 x轴上方。1nullnull同时得以下计算公式null注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即由此可得连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关null练习 下列函数是否为某随机变量X的概率密度? 若是试求出X的分布函数。null解：nullnull解: 由性质2, 有nullnull二、常见连续型随机变量的分布1、均匀分布nullU(a,b)的分布函数为应用模型 在区间上“等可能投点”“随机投点”的试验的数学模型。null 若X~U(a,b), 则对任一小区间(c,c+l)(a,b), X落入其中的概率为X服从区间(a,b)上的均匀分布, 则X取值于(a,b)中任一小区间内的概率与小区间位置无关, 只与小区间长度有关, 此亦表明了X均匀取值的含义。null例 某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客随机到站候车。设X表示乘客的候车时间，问该乘客候车时间小于5分钟的概率。解: 乘客到站相当于在(0,10)内随机投点, 可见X~U(0,10), 即null例 设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少两次观测值大于3的概率。null解: 设A={X的观测值大于3}, 已知X~U(2,5), 则记Y={对X的三次独立观测中观测值大于3的次数}, 显然有Y~B(3,2/3), 则null2、指数分布null应用模型 一种重要的寿命分布，在可靠性理论及排队论中有重要应用。例如： (1)保险丝、宝石轴承、陶瓷制品的寿命分布； (2)电子元件及设备的寿命分布； (3)一些动物的寿命分布； (4)电话中的通话时间，随机服务系统中的服务时间分布。null例3.7nullnull例 设某类日光灯管的使用寿命X 服从参数为1/2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上, 求还能使用1000小时以上的概率. 解: X 的分布函数为null(1) P(X >1000)=1–P(X1000)=1–F(1000)(2) P(X >2000|X >1000)指数分布的重要性质 :“无记忆性”.null3. 正态分布(或高斯分布)null正态概率密度函数的几何特征nullnullnull正态分布的分布函数null 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景 null正态分布下的概率计算原函数不是 初等函数null正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为null标准正态分布的图形null性质证明null证明称Z是对随机变量X的标准化nullnull解例 null例 已知随机变量X服从正态分布N(10,22), 试求P(1013), P(|X–10|<2)。解: 已知X~N(10,22), 则=10,  =2null(1) 所求概率为解例9nullnull例 某产品的质量指标X~N(160,2), 若要求P(1200(或g`(x)<0), 则Y=g(X)的概率密度为nullnullnullnull 解例6nullnull例4.4 设随机变量X~Exp(3), 试求Y=e2X的概率密度。null例4.5 设X~N(,2), 试证X的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布。证明: X~N(,2), 则其概率密度为nullnull2、一般情形（ g‘ (x)不恒大于0, 且不恒小于0 情形） 已知X的概率密度fX(x)仅在x(a,b)时大于0, 但g`(x)在(a,b)上既不恒大于0, 又不恒小于0, 此时Y=g(X)的概率密度fY(y)可用下列步骤求出:null例4.7 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度。null故求导可得:null三、小结三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布null2. 连续型随机变量的函数的分布