高三同步测控优化训练数学A:导数的应用B卷(附答案)
高中同步测控优化训练(八)
第二单元 导数的应用(B卷)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.设在[0,1]上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是
A.f(0)0
C.f(1)>f(0)
D.f(1)0,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f...
高中同步测控优化训练(八)
第二单元 导数的应用(B卷)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的
填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.设在[0,1]上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是
A.f(0)<0
B.f(1)>0
C.f(1)>f(0)
D.f(1)
0,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.
答案:C
2.函数y=xlnx在区间(0,1)上是
A. 单调增函数
B. 单调减函数
C.在(0,
)上是减函数,在(
,1)上是增函数
D.在(0,
)上是增函数,在(
,1)上是减函数
分析:本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.
解:y′=lnx+1,当y′>0时,解得x>
.
又x∈(0,1),∴
0
D.b<
分析:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.
解:对于可导函数而言,极值点是导数为零的点.因为函数在(0,1)内有极小值,所以极值点在(0,1)上.
令y′=3x2-3b=0,得x2=b,显然b>0, ∴x=±
.又∵x∈(0,1), ∴0<
<1.∴00,所以x=1.在(0, +∞)上,由于只有一个极小值,所以它也是最小值,从而函数在(0,+∞)上的最小值为y=f(1)=4.
答案:A
7.若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且x∈(a,b)时,f′(x)>0,又f(a)<0,则
A.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)>0
B.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)<0
C.f(x)在[a,b]上单调递减,且f(b)<0
D.f(x)在[a,b]上单调递增,但f(b)的符号无法判断
分析:本题主要考查函数的导数与单调性的关系.
解:若函数f(x)在(a,b)内可导,且x∈(a,b)时,f′(x)>0,则函数在[a,b]内为增函数.
∵f(a)<0, ∴f(b)可正可负,也可为零,即f(b)的符号无法判断.
答案:D
8.已知y=
sin2x+sinx+3,那么y′是
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.非奇非偶函数
分析:本题主要考查导函数的性质.
解:y′=(
sin2x)′+(sinx)′=
(cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.
不妨设f(x)=cos2x+cosx,∵f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x), ∴y′为偶函数.
又由于y′=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,
令t=cosx(-1≤t≤1),
∴y′=2t2+t-1=2(t+
)2-
. ∴y′max=2, y′min=-
.故选B.
答案:B
9.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则
A.a=
B.a=1
C.a=2
D.a<0
分析:本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.
解:由y′=3ax2-1,当a=
时,y′=x2-1,如果x>1,则y′>0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a<0时,y′=3ax2-1恒小于0,则原函数在(-∞,+∞)上是减函数.故选D.
答案:D
10.已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为
A.(0,0)
B.(
,p)
C.(
)
D.(
)
分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.
解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有
d2=(p-x)2+(p-y)2=(p-
)2+(p-y)2.
∴(d2)′=2(p-
)(-
)+2(p-y)(-1)=
-2p.
令(d2)′y=0,即
-2p=0,解得y=
p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得
.
所以点(
)为所求的点.
答案:D
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.
分析:本题考查导数在三角问题上的应用.
解法一:y′=2sinxcosx=sin2x. 令y′<0,即sin2x<0,
∴2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z. ∴kπ-
0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.
分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数
(x)=f(x)g(x),利用
(x)的性质解决问题.
解:设
(x)=f(x)g(x),则
′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.
∴
(x)在(-∞,0)上是增函数且
(-3)=0.
又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴
(x)=f(x)g(x)为奇函数.
∴
(x)在(0,+∞)上也是增函数且
(3)=0.
当x<-3时,
(x)<
(-3)=0,即f(x)g(x)<0;
当-3
(-3)=0,即f(x)g(x)>0.
同理,当03时,f(x)g(x)>0.
∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案:(-∞,-3)∪(0,3)
13.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.
分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.
解:设场地的长为x m,则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x2+8x,x∈(0,8).
令S′=-2x+8=0,得x=4.
∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.
此题也可用配方法、均值不等式法求最值.
答案:16
14.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y=
x+2,则点P的坐标是__________.
分析:本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.
解:因直线y=
x+2的斜率为k=
, 又因y=lnx,所以y′=
=
.所以x=2.
将x=2代入曲线y=lnx的方程,得y=ln2.
所以点P的坐标是(2,ln2).
答案:(2,ln2)
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省?
分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.
解:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示,设场地一边长为x m,则另一边长为
m,因此新墙总长度L=2x+
(x>0),
4分
L′=2-
.
令L′=2-
=0,得x=16或x=-16.
6分
∵x>0,∴x=16.
7分
∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.
∵x=16,∴
=32.
9分
故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省.
10分
注:本题也可利用均值不等式求解.
16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=-
在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
分析:本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=-
的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
解:∵函数y=ax与y=-
在区间(0,+∞)上是减函数,∴a<0,b<0.
3分
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
6分
令y′>0,即3ax2+2bx>0,∴-
0.
10分
因此当x∈(-∞,-
)时,函数为减函数;
x∈(0,+∞)时,函数也为减函数.
12分
17.(本小题10分)当x>0时,求证:ex>x+1.
分析:本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间,由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.
证明:不妨设f(x)=ex-x-1,
3分
则f′(x)=(ex)′-(x)′=ex-1.
6分
∵x>0,∴ex>1,ex-1>0.
∴f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
8分
∴f(x)>f(0),即ex-x-1>e0-1=0.
∴ex>x+1.
10分
18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(00,从而f(t)在区间(0,
)上是增函数;
8分
当
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