关于无功功率的讨论

第 34 卷 第 1 期 2012 年 2 月 电气电子教学学报 JOURNAL OF EEE Vol． 34 No． 1 Feb． 2012 修稿日期:2011-07-14;修回日期:2011-08-25 基金项目:上海交通大学基本电路理论国家级精品课程建设项目 第一作者:田社平(1967-) ，男，博士，副教授，主要从事电路理论和动态检测技术的教学和科研工作，E-mail:sptian@ sjtu． edu． cn 关于无功功率的讨论 田社平，陈洪亮 (上海交通大学 电子信息与电气学院，上海 200240) 摘要:本文针对电路教学实践，对无功功率的物理意义、无功功率的大小和符号以及无功功率与正弦稳态瞬时功率之间的关系进行了讨论，指 出平均功率是由同相电压、电流分量产生的，而正交电压、电流分量则产生无功功率，并据此导出了无功功率与正弦稳态瞬时功率之间的两种 表达式。本文廓清了关于无功功率的一些模糊认识，可供讲授电路课程的教师参考。 关键词:无功功率;瞬时功率;电路 中图分类号:TM13 文献标识码:A 文章编号:1008-0686(2012)01-0023-04 Discussion on Reactive Power TIAN She-ping，CHEN Hong-liang (School of Electrical and Electronic Eng．，Shanghai Jiao Tong Univ．，Shanghai 200240，China) Abstract:This paper has discussed physical meaning of reactive power from the point view of circuit teaching prac- tice． The meaning of value and plus-or-minus sign of reactive power has been explained． Two expressions between reactive power and instantaneous power have been deduced based on the fact that sinusoidal steady voltage and cur- rent produce real power when they are in phase and produce reactive power when they are orthogonal． Some vague statements on reactive power have been clarified． It is helpful for the teaching of circuit course． Keywords:reactive power;instantaneous power;circuit analysis 在正弦稳态电路中，与功率有关的概念包括瞬 时功率、平均(有功)功率和无功功率、表观功率、复 功率等，其中平均功率是指电路实际消耗的功率， 其对应的电能将转换为电、磁能量之外的能量如热 能等消耗掉，具有十分明显的物理含义;而无功功 率作为一种功率的概念，虽然具有功率的量纲，但 它终究不是实际作功的功率，其物理含义却不那么 明显。在教学过程中，常有学生提出“什么是无功 功率?”和“无功功率与瞬时功率有何关系?”等问 题。本文结合教学实践，试对上述问题作一讨论。 在电工技术中，无功功率的定义首先源自对储 能元件无功功率的定义。对电感元件，无功功率定 义为电感两端正弦稳态电压、电流有效值的乘积; 对电容元件，无功功率定义为电容两端正弦稳态电 压、电流有效值的乘积的负值［1-5］。这说明无功功 率不仅有大小之分，而且还有正负之分。 1 无功功率的实质 1． 1 无功功率之正负号的含义 无功功率的正负号反映了电容存储的电能和 电感存储的磁能之间可以互相转化。利用图 1 对无 功功率的正负号可作进一步说明。图 1(a)是 LC两 个元件的串联。对照电容和电感的瞬时功率曲线， 可以看出:电路中的电容在吸收功率的同时，电感 恰好在释放功率;而电感在吸收功率的同时，电容 恰好在释放功率。在图 1(b)所示的并联电路中还 包含电阻元件。对照电容和电感的瞬时功率曲线， 可以看出:尽管并非在所有的时间段电容和电感在 吸收或释放功率正好相反，但在一部分时间段内电 路中的电容在吸收功率的同时，电感恰好在释放功 率;而电感在吸收功率的同时，电容恰好在释放功 率。我们由此可以得出:在存在两种储能元件的电 路中，电容和电感在吸收或释放功率的是可以相互 抵消的，无功功率之正负号的物理意义正在于此， 即电容存储的电能和电感存储的磁能之间可以互 相转化。 (a)LC串联电路 (b)RLC并联电路 图 1 无功功率的正负号说明 有的教材认为，存在两种储能元件 L 和 C 的任何电 路中，电容和电感在吸收或释放功率的时间上正好 相反［5］。由图 1(b)可知，上述说法是不准确的，即 电路中存在电阻元件时，电路中电容和电感在吸收 或释放功率的时间上并非正好相反。通过电路仿 真软件 Multisim进行仿真也验证了这一点。图 2 所 示的仿真是令图 1(b)中参数为 R = 5Ω、L = 0． 1H、C = 2mF，激励频率为 10Hz、有效值为 1V 时在 0． 7 ～ 1s内电感和电容的瞬时功率曲线。由图 2 可明显 看出两种储能元件功率的符号并非在所有时间内 正好相反。 图 2 图 1(b)的 Multisim仿真结果 1． 2 无功功率之大小的含义 在正弦稳态时，储能元件与外电路(电源)之间 存在着能量不断往返的现象。根据无功功率的定 义，电感或电容的无功功率的大小反映了电感或的 电容元件储能变化率(瞬时功率)的最大值。进一 步，无功功率与储能之间存在如下关系［1］: QL = UI = ωLI 2 = 2ωW QC = -UI = -ωCU 2 = -2ωW }C (1) 请注意理解上式中各变量的含义(与教材［1］ 表示同)。由式(1)可进一步理解无功功率的如下 物理意义。 (1)电感的无功功率等于其储能平均值 WL 的 2ω倍;电容的无功功率等于其储能平均值的 WC2ω 倍的负值。储能越多，若能量往返的频率越大则往 返的规模也越大。无功功率能够反映这一情况。 (2)由于平均储能和频率只能取正值，因此电 感的无功功率永远是正值，而电容的无功功率永远 是负值。 2 一般正弦稳态电路的无功功率 2． 1 无功功率的定义及物理意义 对于一般的正弦稳态一端口电路，其端口电压 与端口电流的相位差 φ = φu － φi。图 3 所示为感性 一端口电路的相量图。 图 3 正弦稳态一端口电路的相量图 该一端口电路吸收的平均功率为 P = UI cosφ = UpI (2) 式中，UP = U cosφ。由相量图可知，U · P 是与电流 I · 同相位的电压分量，两者有效值之积得到有功功 率。因此 U cosφ称为电压的有功分量或有功电压。 相量图中的 U · Q 是与电流 I · 正交的电压分量，两者 有效值之积得到无功功率，即 Q = UIsinφ = UQI (3) 式中，UQ = Usinφ，称为电压的无功分量或无功 电压。 由上可知，对正弦稳态电路，只要电压和电流 存在相位差就存在无功功率。无功功率还满足如 下关系: Q = 2ω(WL －WC) (4) 上式表明:无功功率正比于电路中两种平均储 能的差值。两种储能在电路内部可自行交换，而与 42 电气电子教学学报 第 34 卷 外电路往返的能量仅为两种储能平均值的差值。 当两种储能平均值正好相等，则电路与外电路(电 源)之间并不存在能量往返的现象。因此，对一般 正弦稳态电路，其无功功率的大小同样反映了外电 路(电源)参与能量往返的程度。 由上面的讨论可以看出:同相电压、电流分量 产生平均功率，而正交电压、电流分量则产生无功 功率。 由式(3)可知，一般正弦稳态电路的无功功率 是电感、电容元件无功功率定义的推广。 2． 2 无功功率与瞬时功率的关系 对于如图 4 所示正弦稳态一端口电路，设其端 口电压和端口电流分别为 u 槡= 2U cos(ωt + φu) ，i 槡= 2I cos(ωt + φi) (5) 则该一端口电路吸收的瞬时功率为 p = ui = 2UI cos(ωt + φu)cos(ωt + φi)= UI cos(φu － φi)+ UI cos(2ωt + φu + φi) (6) 图 4 正弦稳态一端口电路 该功率是一个随时间变化的量，为瞬时功率。 瞬时功率 p 包括两项，一项为常量，另一项为正弦 量，频率是电压(电流)频率的二倍。有的教材认为 上式右边第一项为有功分量，第二项为无功分 量［5］。这种说法比较模糊，它并不能解释平均(有 功)功率和无功功率的大小。 如何从瞬时功率中分解出有关分量和无功分 量，应注意理解“同相电压、电流分量产生平均功 率，而正交电压、电流分量则产生无功功率”。可以 证明，瞬时功率 p亦可以表示为 p = UIcos(φu － φi)+ UIcos(2ωt + 2φi)cos(φu － φi)－ UIsin(2ωt + 2φi)sin(φu － φi)= PR + PX (7) 可将上式右边第一和第二项之和称为有功分 量 PR，第三项称为无功分量 PX 事实上，可将图 4 电路等效为图 5(a)所示的串 联模型。显然有 R + jX = U · / I · =(U /I) ［cos(φu － φi)+ jsin(φu － φi) ］ (8) 电阻分量的瞬时功率为 PR = i 2(t)R = 2Icos2(2ωt + φi)×(U /I)cos(φu － φi) = UI cos(φu － φi)+ UIcos(2ωt + 2φi)cos(φu － φi) (9) 类似地，电抗分量的瞬时功率为 PX = uXi(t) 槡= 2U sin(φu － φi)cos(ωt + φi + 90 。) 槡× 2 cos(ωt +φi)=-UI sin(2ωt +2φi)sin(φu －φi) (10) 由式(7)不难得出平均(有功)功率为 P = UIcos (φu － φi) ，无功功率为 Q = UIsin(φu － φi) )。注意， 无功功率表达式前面取正号，这是因为按照无功功 率的定义，电感的无功功率为正，电容的无功 功率为负。 (a)串联模型 (b)并联模型 图 5 正弦稳态一端口电路的两种等效相量模型 图 4 电路还可等效为图 5(b)所示的并联模型。 瞬时功率 p还可以表示为与式(7)类似的公式: p = UIcos(φu － φi)+ UIcos(2ωt + 2φu)cos (φu － φi)+ UIsin(2ωt + 2φu)sin(φu － φi) (11) 上式右边第一，第二项之和称为有功分量 RA， 第三项称为无功量 PX。 同样，由此可以得到平均功率和无功功率的正 确表达式。 3 结语 本文针对电路教学中对无功功率理解上的一 些问题进行了讨论，着重强调了如下几点。 (1)平均功率是由同相电压和电流分量产生 的，而正交电压和电流分量则产生无功功率。 (2)正弦稳态电路的无功功率反映了网络与外 电路(电源)之间能量往返的规模。储能越多，能量 往返的频率越大，则能量往返的规模也越大。 (3)无功功率可正可负，说明了电场储能和磁 场储能在电路内部可自行交换。这里必须特别指 出的是，规定电感无功功率为正而电容无功功率为 负，仅仅是为了公式表达和分析的方便。相反，如 取电容无功功率为正而电感无功功率为负，则与无 功功率相关的公式都应作符号上的相应修改。 (下转第 42 页) 52第 1 期 田社平，陈洪亮:关于无功功率的讨论 由此可见，(X － 1)2 + Y2 = 1，即随着 ω 从 0 变 化到∞，Z(jω)从坐标原点出发沿顺时针方向形成 以(1，j0)为圆心的单位圆。 用 Matlab计算 X(ω)和 Y(ω)后并绘制 Z(jω) 曲线，如图 5 所示。可见，Z(jω)的幅值变化范围为 0(ω = 0)～ 2 ～ 0，相角变化范围为 90o ～ 0o ～ -90o，然 后跳变到 90o。 图 5 Z(jω)曲线 零阶保持器频率特性的极坐标形式为 Gh(jω)= Z(jω)/ jω = A(ω)e jD(ω) (8) 其中 ，A(ω)= |Z(jω)| /ω，D(ω)=∠Z(jω)－π/2。 用 Matlab计算 Gh(s)的幅频特性 A(ω)和相频 特性 D(ω) ，可见绘制的 Gh(s)的幅频特性曲线和 相频特性曲线同图 5 所示。该方法揭示了零阶保持 器的相频特性反复变化范围为 0o ～ -90o ～ -180o，然 后跳变到 0o 的原由。 4 结语 我们采用以上三种方法从幅相频率特性、幅频 和相频特性两个方面表明了零阶保持器的幅值随 频率 ω的增大而衰减;零阶保持器存在相位滞后， 最大滞后相角为 。其中第三种方法从本质上揭示 了零阶保持器的相频特性为 0 ～ -π /2 ～ -π ，然后跳 变到 0 反复变化的原因。期望本研究结果对零阶保 持器的频率特性的相关教学有所帮助。 参考文献: ［1］ 吴麒，王诗宓．自动控制原理·(第2版)［M］．北京:清华大学 出版社，2006年． p． 88-91 ［2］ 戴忠达，吕林．自动控制理论基础(第 1 版) ［M］．北京:清华大 学出版社，1991 年． p． 333-335 ［3］ 施保华，杨三青，周凤星．计算机控制技术［M］． 武汉:华中科 技大学出版社，2007 年． p． 15-16 ［4］ 孙炳达．自动控制原理(第二版) ［M］．北京:机械工业出版社， 2005 年 ［5］ 冯勇．现代计算机控制系统［M］． 哈尔滨:哈尔滨工业大学出 版社． 1997 年． p． 38-40 ［6］ 薛定宇． 控制系统计算机辅助)—MATLAB 语言及应用 ［M］．北京:清华大学出版社，1999 年． P． 176-178 ［7］ 胡寿松． 自动控制原理(第五版) ［M］． 北京:科学出版社， 2007 年 ［8］ 李友善．自动控制原理(第 3 版) ［M］．北京:国防工业出版社， 2005 年 ［9］ 王建辉，顾树生．自动控制原理(第四版) ［M］．北京:冶金工业 出版社，2007 年 ［10］ 夏德钤，翁贻方．自动控制理论(第 3 版) ［M］．北京:机械工 业出版社，2007 年 ［11］ 周雪琴．计算机控制系统［M］． 西安:西北工业大学出版社。 1998 年 (上接第 25 页田社平等文) (4)从稳态电路的瞬时功率表达式中可分解出 有功分量和无功分量，这两个分量分别对应平均功 率和无功功率。值得指出的是，尽管本文给出了两 种不同的表示方法，但其本质相同，两种表达式的 区别在于所取的时间起点不同。由式(7)和式(11) 可以看出，两者表达式在相位上相差 φu － φi。 参考文献: ［1］ 李瀚荪． 简明电路分析基础［M］． 北京:高等教育出版 社． 2002 ［2］ 陈洪亮，田社平，吴雪等． 电路分析基础［M］． 北京:清华大学 出版社． 2009 ［3］ 陈希有． 电路理论基础［M］． 北京:高等教育出版社． 2004 ［4］ 吴大正． 电路基础［M］． 西安:西安电子科技大学出版 社． 2007 ［5］ 吴锡龙． 电路分析［M］． 北京:高等教育出版社． 2004 24 电气电子教学学报 第 34 卷