球面空间中具有平行单位平均曲率向量的子流形

球面空间中具有平行单位平均曲率向量的子流形 球面空间中具有平行单位平均曲率向量的 子流形 第19卷第4期 2007年12月 甘肃科学 JournalofGansuSciences Vo1.19NO.4 Dec.2007 球面空间中具有平行单位平均曲率向量的子流形 独力 (西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730070) 摘要:讨论了球面S"(1)中具有平行单位平均曲率向量的子流形Mn的第2基本形式的拼挤 问题,得到了M位于S"中的一个全测地子流形S(1)中的充分条件. 关键词:全测地;拼挤问题;平行单位平均曲率向量 中图分类号:O186.12文献标识码:A文章编号:1004—0366(2007)04—0015—04 SubmanifoldswithParallelNormalizedMean CurvatureVectorinaUnitSphere DULi (CollegeofMathematicsandInformationScience.North~estNormalUniversity?Lanzhou 730070?China) Abstract:ThepinchingproblemsofsubmanifoldsMwithparallelnormalizedmeancurvatur evectorina unitsphereS"(>1)arestudied.AsufficientconditionforMlyinginatotallygeodesicsubm anifold S一ofS一iSobtained. Keywords:totallygeodesic;pinchingproblem;parallelnormalizedmeancurvaturevector 设M是等距浸入+维球面S一(1)中紧致子流形,和H分别表示它的第2基本形式长度的平方 和平均曲率,文献[1]中证明以下结果. 1主要结果 定理A设是S(1)中具有平行平均曲率向量的紧致子流形,若?————,则位于 (3+一南) S(1)的全测地子流形S(1)中. 文献[2]将"平行平均曲率向量"的条件减弱为"平行单位平均曲率向量",在拼挤条件: ?max{,)下,得到了同样的结果.文献[3]根据子流形维数的不同取值范围,进一 步优化拼挤条件,将上述结果改进为: 定理B设M是S升一(1)中具有平行单位平均曲率向量的紧致子流形,如果当?4时,? =3?2c+Hz鹕一?…{争+Hz位于 S(1)中的全测地子流形S(1)中. 综观这些拼挤条件的改进性工作,本质上都是对?^;?^中诸因子施用不同的代数手段进行优 化而得到的,下述改进结果也是这一手法的延续. 收稿日期:2006—11—28 甘肃科学2007年第4期 定理1M是S叶(1)中具有平行单位平均曲率向量的紧致子流形,如果 ? n[2+(+1)H ——1 [2+(+1)H ——?一 ,当n<7时 ,当?7时 则M位于S(1)中的全测地子流形S什(1)中. 注因为当H.>时,兰?鲁>:,当4<<7时,只要 H.??,就有 [2+(+1)H],2~/(1+H) lOn--8一2+2nv/'~---1'' 所以此时定理l中的拼挤条件较定理B的拼挤条件大. 2预备知识和引理 选取S(1)中的局部正交标架场{e,e.),使得限制在上,{e)与相切,{e.)是的法标架 场,叫.,叫,……,叫+是对偶l一形式,以下除特别声明外,我们约定指标的取值范围 l?i,J,k,…,?,+l?口,卢,…,?+P. 的第2基本形式h一?^;叫叫.,对每个a,用H表示矩阵(^;),M的平均曲率向量一H 一 1~(trH均曲率H—f青f一第二基本形长度的平方一(删), 令r一一trill1. 在M"上,有 R州一c(3i~3一&)+?(^^品一h"uhj5) R一?(^备^0一^^)^ ?^抽一;一?ha叫一?^叫一?^0叫.^^ ?一一?叫一?%叫"一?叫,?%叫.fl 幽p一一?a人叫带+?R人 其中o911,是S科的联络l一形式在M上的限制,R,R科是M"的曲率张量和法曲 率张量的分量. 引理1设M是s科(1)的子流形,则 ?Et,.(H:H;),tr(HH).]?旦r.口?>科1, 证明取青与e同向,则有 扩Hl—nH,扩H.=0,其中a—n+2,……,十P. 令vy一?(^;).一trH^口J,S一?(矗:).,鸯一?(^:),To—trH.. 则一?(^;).一,一 从而进一步有 ?S.. 一 ?(厶;)十()TJ,7,.,,?? 于是对每个指标—1.…川,我们有如下估计式 0?[丁一,J]一?()].?(—1)[?(:):]一(一1)Es.一(^)],i_?=:|'?士i (1) (2) (3) (4) 第19卷独力等:球面空间中具有平行单位平均曲率向量的子流形 令Y.一().一丁d,整理上式得 ny.+(一2)丁.+一(一1)S.?0, 所以??.一T一T:. 不 由式(4)和式(6)得 ?.一T+.一2s.一T々 根据式(4),整理上式得 ?(?S.+2T一T:. 对式(7)两边关于口>+1求和,再根据式(3)得 , (.?r. 口>计1.i一 (5) (6) (7) (8) 另外,对任意固定指标卢,将H口对角化,并设碍一,再由式(8)得 ?[扩(H.2几p2)一tr(H.H).]=1?(;)(一)??(;)[()+(f).]一 2?『, (2?[一rtrH~.J口>计1.iJ'' 两边再关于>n+1求和,最后得到 ?Etr(H.2几p2)一tr(H.Hp).]?旦r. 3定理的证明 定理1的证明取青与e计N;YN,由题设条件知e计在法丛中平行,则有 所以 外微分上式,再根据式(2)得 由式(1)及式(9)得 (计1)m^0. 尺(神1)一0. ?%一?玉RffJ+?h}R+?R~ojk,1.^lt^4>计1,I (9) (1O) 由式(3),式(9)及式(i0)得 ?;?;=一2?[(HH;)一tr(H.Hp).]一?Etr(H.Hp)].+ nH?tr(H计H:)一?Etr(H计H.)].(11)口>计1口>l 易得 告?r一?(;).+?;?;??;?;.口>1.i.,^口>1,i,J,^口>计1,. (12) 令J是阶单位矩阵,对固定的a,把H对角化,使得一,则 nHtr(HH:)一,zH?().(一IH)+nH.?(?)..(13)i 再由Schwarz不等式得 [?().(^矿一?)].??(?)??(,.一IH)?[?().]?[?()一,zH].iifi l?():(,lil—IH), 结合式(13)和式(11)及均值不等式得 I?(14) 甘肃科学2007年第4期 r(H:)--nH{).可}+? 广n(n+lH.一号(H-)]tr(HZ-). 所以就有 ?(HH三)?[H.一号(H.)]r.a>n+l一一一 由Schwarz不等式得 (15) ?[(H.Hd)].?rH,?[(H.H)].?r..(16) 应用引理1,式(15)及式(16)于式(11),得 ?. _^;?神;一.一+[H2一n(HL)卜r=~wl-I. f.,'LJ r [n+H.一()r一(号+)H]. (I)当n<7时,有>号+1,故 .,;^品?rH.一()].,r卜l,i,j一,'' 所以当?熹时,根据式(12)及Hopf引理知,r是常数,再由式(17)得,r:o.根据lUn—O J-Erbacber定理知,位于S(1)中的全测地子流形S(1)中. (II)当n?7时,有?号+1,从而有 , h7~ZXhTj i?rH.一()].,r卜l,,j一,一 同(I)知当?上时,定理1结论成立. 证毕. 参考文献: [13YauST.SubmanifoldswithConstantMeanCurvature(I)[J].AmerJMath,1975,97(1)l76 —100. [2]莫小欢.常曲率空问中的具有平行平均曲率向量的子流形[J].数学年刊.1988,9At530—540. [3]欧阳崇珍.球面的平行平均曲率子流形Lr].数学杂志,2000,20(1)t87—90. [4]ErbacherJ.ReductionoftheCondimensionofanIsometicImmersion[J].Diff.Geom,197 1,333—378. [5]YanST.SubmanifoldswithConstantMeanCurvature(11)[J].AmerJMath,1974,96(1);3 46—366. [63白正国,沈一兵.黎曼几何初步[M].北京:高等教育出版社,1992. [7]WlttenE.MonopolesandFour-Manifolds[J],Math.Res.Lett.,1994.1(16):769—796. [83吴德军.提升模的无限直和[J].甘肃科学,2006,19(1):7-9. 作者简介: 独力.(1980一)男.甘肃省礼县人,西北师范大学数学与信息科学学院.2005级在读研究生.主要研究方向为微分几何.