小学生数学之应用题解题思路

小学生数学之应用题解题思路 针对小学生解数学应用题“难”的问题，着重于对解题思路进行。鲁老师将通过具体实例，陆续向大家介绍解题思路十大方法。 教大家如何根据应用题的结构特征，揭示各种解题规律和解题技巧，有利于学生掌握思考问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，达到活跃思维、培养能力、开发智力的目的。 一、 剖句法 剖句法，是一种把数学语言改变成能够达数量关系的句式。然后，以句式来确定运算方法，寻找解题的途径。因此，由理解题意，进而改变为数学句式，是用剖句法解答应用题的关键。熟练掌握小学数学中常见的数学句式，是用剖句法解答应用题的重要一环。 用剖句法解题，将为你提供一种简单而实用，并且是一条行之有效的解题捷径。当我们掌握了这种本领后，对解答某些应用题，就会得心应手。 例1: 新民印刷厂，去年上半年印360000 册，下半年印书册数是上半年的1.5 倍，今年前10 个月印的册数比去年全年多印28000 册，今年前10 个月平均每月印书多少册, 解析: 题中“下半年印书册数是上半年的1.5 倍”，揭示了上半年印书册数和下半年印书册数的倍数关系。怎样把这句话改变成数量关系的句式呢,我们可以根据 这句话的含义，写出表示数量关系的句式如下: 下半年印书册数=上半年印书册数×1.5。 对这个数量关系的句式来讲，上半年印书册数是已知数，这是“求一个数的几倍是多少”用乘法计算的问题。在这个关系式里只要把“上半年印的360000 册”代入计算，即能求出下半年印的册数。 上半年印书册数×1.5=下半年印书册数 360000×1.5=540000(册) 题中“今年前10 个月印书册数比去年全年多印28000 册”，又揭示了今年前10 个月印书册数和去年全年印书册数相差多少的关系，根据这句话的含义，写出表示数量关系的句式是: 今年前10 个月印书册数=去年全年印书册数+28000 册。 对这个数量关系的句式来讲，当去年印书册数是已知数的时候，这是“求比一个数多几的数”的问题。在这个关系式里，把去年全年印书册数用具体数(360000+540000)来表示。 即:去年全年印书册数+28000 册=今年前10 个月印书册数， (360000，540000)+28000=928000(册)。 从最后问句“今年前10 个月平均每月印书多少册,”改变为数量关系的句式是: 今年前10 个月印书册数?10=平均每月印书册数 在这个句式里，今年前10 个月的印书册数已经求得，是928000 册。 最后解答如下: 今年前10 个月印书册数?10(个月)=平均每月印书册数 即928000?10=92800 (册) 列综合算式为: (360000+360000×1.5+28000)?10 ,928000?10 =92800(册) 答:今年前10 个月平均每月印书92800 册。 本题在计算去年印书的册数时，解法还可以这样算: “下半年印书册数是上半年印书数的1.5 倍”。把上半年印书册数作为1 份，按照题意，下半年印书册数相当于上半年印书册数的1.5 份，则去年全年印书册数相当于上半年印书册数的(1+1.5)份。改变成数量关系的句式是: 去年全年印书册数=上半年印书册数×(1+1.5) 上半年印书360000 册是已知数，所以运算方法是:360000×(1+1.5),900000(册) 一、剖句法 例2: 蜜蜂每小时飞行60公里,蝗虫每小时飞行的速度是蜜蜂的1/6，蜜蜂每小小时飞行的速度是昆虫中的飞行冠军蜻蜓的1/2 。 问(1)蜜蜂飞行速度比蝗虫每小时多飞行多少公里, (2)蜻蜓飞行速度是蜜蜂的几倍, (3)蝗虫飞行速度是蜻蜓的几分之几, 解析: 要回答这道题目的三个问题，按一般思考方法，应该分到知道蜜蜂、蝗虫和蜻蜓的速度。蜜蜂的飞行速度是已知数，蝗虫和昆虫中飞行冠军蜻蜓的速度是要 求的，求出了蝗虫的飞行速度，才能解出蜜蜂速度比蝗虫每小时多飞行多少公里,求出了蜻蜓的速度才能解出另外两个问题。 由"蝗虫每小时飞行的速度是蜜蜂的1/6" 可以写出蝗虫和蜜蜂速度的数量关系的句式:蝗虫每小时飞行的速度= 蜜蜂速度×1/6 。在这个数量关系式中“已知蜜蜂每小时飞行60 公里”所以按照“求一个数的几分之几是多少，用乘法”。可得到计算蝗虫的速度的运算方法:60×1/6= 10(公里) 由"蜜蜂每小时飞行的速度又是蜻蜓的1/2"可以写出蜜蜂和蜻蜓速度的数量关系的句式:蜜蜂每小时飞行的速度= 蜻蜓的速度×1/2。在这个句式中，已知蜜蜂每小时飞行60 公里，可以按照“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”。求得蜻蜓每小的飞行速度:60?1/2= 120(公里) 由上面结果可以推算出: 蜜蜂飞行速度比蝗虫每小时多飞行多少公里,60-10=50(公里) 蜻蜓飞行速度是蜜蜂的几倍,120?60,2 蝗虫飞行速度是蜻蜓的几分之几,10? 120 =1/12 上面的解法，虽然利用了条件中的两个句式，但由于要分别计算出蝗虫和蜻蜓的飞行速度是多少公里，然后，才能解答这三个问题。如果我们进一步理解句式，充分发挥句式的作用，这三个问题的解答还可以简化些。 我们先解答第一个问题。 由"蝗虫每小时飞行的速度是蜜蜂的1/6 "这个句式, 可以想到, 蜜蜂飞行速度 为整体，那么，蜜蜂每小时飞行速度与蝗虫每小时飞行速度的分率差，就是1 - 1/6= 5/6。所以求“蜜蜂飞行速度比蝗虫每小时多飞行多少公里”，实际上就是求“蜜蜂飞行速度的 5/6是多少公里”。列式计算是蜜蜂飞行速度× 5/6 = 60× 5/6 =50公里 现在，我们再解答第二个问题。 由句式:"蜜蜂每小时飞行的速度是蜻蜓的 1/2" 可以知道，蜜蜂每小时飞行的速度是1 份，蜻蜓的飞行速度就是2 份，所以，蜻蜓速度是蜜蜂的2 倍，这个道理不是挺简单吗,还可以这样理解，蜜蜂速度看作1份，蜻蜓速度就是1?1/2,2份，这样可以省去计算“蜻蜓每小时飞行多少公里”这一步。 按照这样的句式去思考，解第三个问题，既不需要求出蝗虫速度，也不需要求出蜻蜓速度。只要把“蜜蜂速度是蜻蜓速度的1/2代入“蝗虫速度是蜜蜂的1/6 ”实际上就是“蝗虫速度是蜻蜓速度的1/2×1/6,1/12” 你看，问题不是简单多了吗, 我们将两种解法归纳如下: 第一种解法:1、60-60×1/6,50(公里) 2、60?1/2?60,2 3 、60×1/6?(60?1/2),1/12 第二种解法:1、60×(1-1/6),50(公里) 2、1?1/2,2 3 、1/2×1/6,1/12 答:蜜蜂飞行速度比蝗虫每小时快50 公里;蜻蜓飞行速度是蜜蜂的2 倍;蝗虫飞行速度是蜻蜓的1/12 . 二、分层法 对于比较复杂的应用题。我们可以根据题中“两两相依”的特定数量关系。把它分为若干层来思考解答，以达到最终解决问题的目的。我们称这种解题的思 考方法，叫做“分层法”。 “分层法”有化繁就简的作用。同时，这种方法也为我们提供了解决比较复杂 应用题的好，即按照应用题的结构和相应采取的分层方法。 下面我为大家列举一些反映了数学中常用数量关系的句式: 例如: 一条公路全长=已修长度+未修长度， 未修长度=一条公路全长-已修长度， 已修长度=一条公路全长-未修长度。 已完成的工作量+剩下的工作量=工作总量， 工作总量-已完成的工作量=剩下的工作量， 工作总量-剩下的工作量=已完成的工作量。 单位面积产量×播种面积=总产量， 总产量?播种面积=单位面积产量， 总产量?单位面积产量=播种面积。 单价×数量=总价， 总价?单价,数量， 总价?数量=单价。 工作效率×工作时间=工作总量， 工作总量?工作效率=工作时间， 工作总量?工作时间=工作效率。 速度×时间=路程， 路程?速度=时间， 路程?时间=速度。 每筐重量×筐数=总重量， 总重量?每筐重量=筐数， 总重量?筐数=每筐重量。 每天烧煤斤数×天数=烧煤总斤数， 烧煤总斤数?每天烧煤斤数=天数， 烧煤总斤数?天数=每天烧煤斤数。 „„ 二、分层法 分层法有二种形式:渐进式和平列式。下面我们分别叙述这二种分层形式。 渐进式——顺着题目叙述的顺序进行分层。分一层，解一层，直至分层到题目的问题为止。 例1: 果园收苹果，如果用小筐装，每个小筐装24 公斤，需装28 筐。现用小筐和大筐一起装，小筐装16 筐，剩下的用大筐装，每个大筐装32 公斤。需要大筐多少个, 解析: 此题根据题目叙述先后顺序分层、解答如下。 第一层:“每个小筐装24 公斤，需装28 筐”，一共有多少公斤苹果,24×28=672(公斤) 第二层:“每个小筐装24 公斤，装了16 筐”，用小筐共装了多少公斤苹果,”24×16=384(公斤) 题中又告诉我们“剩下的由大筐装，所以第三层应求出剩下的苹果有多少公斤。 由数量关系式:总斤数-已装的斤数=剩下的斤数 可见，组成第三层的两个数量是第一层和第二层计算的结果。 第三层:苹果一共有672 公斤，装了384 公斤，还剩下多少公斤,672-384=288(公斤) 把第三层计算结果和“每个大筐装32 公斤”组成第四层、就可以解出题目中的问题。 第四层:“剩下苹果288 公斤，每个大筐装32 公斤，需要大筐多少个,”288?32=9(个) 列综合式计算 (24×28-24×16)?32 =288?32 =9(个) 答:需要大筐9 个。 例2: 甲乙两个工人同时装订一批练习簿、10 分钟后，甲工人装订了120 本，乙工人装订了80 本。两人合作承包装订1800 本。要用多少时间,甲乙两个工人各装订多少本, 解析: 第一层:“10 分钟后，甲装订了120 本、甲工人每分钟装订多少 本,”120?10=12(本) 第二层:“10 分钟后，乙装订了80 本，乙工人每分钟装订多少本,”80?10=8(本) 由第一层和第二层的计算结果，引出第三层: 甲工人每分钟装12 本、乙工人每分钟装8 本，两人每分钟共装多少本练习簿,12+8=20(本) 根据第三层计算的结果和“两人合做承包装订1800 本练习簿”。由数量关系: 工作总量?工作效率和=合作的工作时间 可提出题目所求的问题: 第四层:甲乙两个工人合作承包装订1800 本练习簿每分钟一共装订20 本，需 要多少时间才能完成任务,1800?20=90(分钟) 列综合式计算: 1800?(120?10+80?10) =1800?20 =90(分钟) 答:两人合作需要90 分钟才能完成。 接着:用甲乙两个工人的工作效率和装订用的时间(90 分钟)、来解答本题提 出的第二个问题就十分容易了。 请你算一算: 完成时，甲工人装订多少本,( ) 完成时，乙工人装订等少本,( ) 答:完成时，甲工人装订( )本，乙工人装订( )本。 二、分层法 分层法有二种形式:渐进式和平列式。下面我们分别叙述这二种分层形式。 平列式——按照题目的问题所展示的思考方向，将较复杂的复合应用题剖解成两道或三道简单的复合应用题。再分别将简单的复合应用题分为若干层、最后把两个或三个简单、复合应用题的结果合并成要解的问题。 例1: 某厂原计划25 天制造小型机床75 台、由于革新工艺，每天实际可制造5 台，照这样计算，要制造225 台小型机床，实际比原计划提前几天完成, 解析: 此题目的问题、“制造225 台小型机床实际比原计划提前几天完成,”为我们展示了解题的思考方向。必须找到原计划制造的天数和实际制造的天数。所以，本题可以着手剖解成以下两道简单的复合应用题来思考。 题(1):某厂原计划25 天制造75 台小型机床、照这样计算，制造225 台小型机床，原计划要多少天, 题(2):某工厂要制造225 台小型机床，实际每天制造5 台，实际用多少天, 题(1) 第一层:某厂原计划在25 天制造75 台小型机床、原计划每天制造多少台,75?25=3(台) 第二层:某厂要制造225 台小型机床、原计划每天制造3 台，原计划要用多少天,225?3=75(天) 题(2): 是一步计算问题，按数量关系，或实际用多少天完成、用除法计算。列式计算:225?5=45(天) 把题(1)和(2)的计算结果合并，就能求实际比原计划提前几天完成。这样完成了分层思考过程，达到解决问题之目的。 某厂加工一批小型机床，原计划用75 天，实际只用45 天，比原计划提前几天完成,75-45=30(天) 列综合式计算: 225?(75?25)-225?5 =75-45 =30(天) 答:实际比原计划提前30 天。 二、分层法 综上所述，分层法解题思考方法，从题目的已知条件或问题出发，通过逐层寻找相关的数量关系，逐层提出问题，直到问题完全解决为止。渐进分层法和平列分层法，这两种解题思考方法，对于解答同一道题目，有时也可以交替穿插应用。 三、追踪法 有的应用题，在题目中的某个已知条件具有明显的特点，这种特点，可以为我们提供一种解题的思考方法。即是从某一特点出发，作为解题的主要线索，去求得问题的解答。就好比一团乱棉纱线，要理清它，首先要想方设法去找到它的线头一样。这种解题方法，我们把它称为追踪法。用追踪法来解答应用题，就是要抓住这条主要线索。通过逐步追踪推理，沟通条件和问题之间的联系。进而达到理清思路，解决问题的目的。 下面的实例中将告诉你怎样去抓住题目里的主要特点，还要告诉你怎样从这些特点，抓主要线索，顺藤摸瓜，一直追踪到问题得到解决为止的思维过程。 例1: 甲乙两个自行车装配小组，甲组有6 人、乙组有8 人，每人每天装配的车辆数相同，两组一起装配3 天，甲组比乙组少装配12 辆。每人每天装配多少辆, 解析: 读了这道题目，可以这样想:既然每人每天装配的辆数相同，为什么“甲组比乙组少装配12 辆,”很清楚。这是本题的一个特点，也就是解题的主要线索。顺着这条线索开始，追踪每人每天装配多少辆。 联系“两组一起装配3 天”这个条件，可以算出:“甲组每天比乙组少装配12?3,4(辆) 为什么:“甲组每天比乙组少装配4 辆”。 题目告诉我们:“每人每天装配的辆数相同”，那么，造成两个组每天装配的辆数差的原因只能是两个组的人数差了。 联系“甲组有6 人，乙组有8 人”。所以算出甲组比乙组少8—6,2(人)。 把“甲组每天比乙组少装配4 辆”和“甲组比乙组少2 人。”这两个条件沟通起来。就可把题目所求的:“每人每天装配多少辆,”求出来了。 列式计算: 12?3?(8—6) ,4?2 ,2(辆) 答:每人每天装配自行车2 辆。 三、追踪法 例2: “六一”儿童节前夕，爸爸带着女儿到百货公司买两件电子玩具，爸爸在顾客十分拥挤的情况下，把其中的一件玩具标价个位上的“0”忽略了。于是付给营业员9.78 元，营业员说:“这些钱付两件玩具不够”，要爸爸付款18.78 元。你能算出两件电子玩具各是多少钱吗, 解析: 这道题目比较复杂，从何着手进行追踪，作为解答此题的主要线索,我们不妨可以这样想，爸爸付给营业员9.78 元，可是营业员说:“这些钱买两件玩具不够”，主要原因是，爸爸把其中一件玩具的标价个位上的“0”忽略了。从将标价上的“0”忽略后，对玩具的价格产生什么影响来追踪，(例如:把100 写成10，不就是缩小了10 倍了吗,)显然是把标价缩小了10 倍，道理是很清楚的。爸爸把标价缩小了10 倍，所以他只付了标价的10 份中的1份，少付了9 份，那么，这个9 份到底是多少元呢,我们还要追踪这个问题。 爸爸只付了9.78 元，营业员要收款18.78 元。于是，这里就出现了9元(18.78,9.78 元)的差额，正好相当于其中一件玩具标价10 份中的9份，于是，我们就可以通过先求出一份的价钱，再求出这件玩具标价的总价。 9?(10,1)×10,10(元) 这样，其中一件电子玩具的标价就算出来了。那么，另一件电子玩具的标价，就不难算出。 18.78—10,8.78(元) 这道题目，我们还可以从分数问题的角度来思考，爸爸把其中一件玩具标价个位上的“0”忽略了。那么，他只付了标价的几分之几呢(如果把标价看作整体1，追踪这个问题就可以得出爸爸只付了标价的 换句话说爸爸少付了标价的(1- )了，于是再追踪到爸爸少付的钱(9元)，不就是(1- )的对应量吗,按照分数除法意义。“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。”我们就可以算出标价的价格是多少了。 列综合算式是: (18.78 -9.78) ?(1- ) ,9? ,10(元) 18.78—10,8.78(元) 答:两件电子玩具的价格分别是10 元和8.78 元。 通过以上例题，可以看出，追踪法解题，就是抓住题目中一个具有明显特点的 已知条件为主要线索，进行逐层追踪，能从复杂的条件中理出头绪，明确思路，使问题逐渐趋向明朗，直至达到顺利解决问题的目的。由此可见，追踪法是帮助我们分析问题，自己提出问题，从而解决问题的一种很好的解题思考方法。 四、图解法 对于某些数量关系较为复杂，一时难以找到解题思路的应用题，如果我们动手画画图，划划线，从动手操作中去理解题目的意思，从图形中去分析题目的数量关系，从而得到启示，找到解题途径，这种方法称为图解法。 实物示意图、思维分析图、线段图和几何形体图都是图解法的具体应用。下面我们向大家介绍怎样使图解恰到好处，掌握一些图解的技巧，必将使你有所得益。 例: 哥哥买了5 本练习簿，妹妹买了同样的练习簿3 本，每本练习簿售价一定，哥哥比妹妹多付0.16 元，照这样计算，哥哥再买1 本，妹妹再买2 本，两人一共付了多少元, 解析: 我们把题目用如下直观示意图来表示，就容易找到解题方法。 从上图，我们可以清楚地看出，如果哥哥买的和妹妹一样多，那么，付的钱也应一样多。现在，哥哥比妹妹多付0.16 元，这是因为哥哥比妹妹多买2 本的缘故。换句话说，2 本练习簿付了0.16 元，就能直接算出每本练习簿的价钱。 列式计算:0.16?(5-3),0.08(元) 哥哥、妹妹一共买了多少本练习簿，从下图中也很容易找到解题方法。 如图所示，哥哥一共买了(5，1)本，妹妹买了(3，2)本，两人共买11 本练习簿。用已求出的每本练习簿的单价和全部的本数相乘，可得哥哥、妹妹一共付的钱数。 列式计算: 0.08×(5，1，3，2) ,0.08×11 ,0.88(元) 答:哥哥、妹妹一共付0.88 元。 图解法可以帮助我们找到解题的捷径。对于解决某些难题，可以起到化难为易的作用。怎样用图解,怎样正确画图,这是由题目的内容和情节结构所决定的。这就要求我们首先认真读题，熟悉情节，发挥畅想，才能使所画的图真正起到顺利解决问题之目的。 五、逆推法 当应用题的已知条件是原数经过若干次变化的结果时，就其解法与前面讲的几种方法就不一样了。解这类应用题，首先得搞清楚原数经过几次变化，是经过怎样的变化。也要知道变化的结果是多少，然后，才能以结果为线索。照原题的相反意想还原。这里讲的“相反意思”是什么呢,原数的变化如果 是“输入”。那么，还原的结果就是“输出”。原数的运算是加法或乘法。那么，还原的运算就是减法或除法。由结果逆推，得到原数的解题方法，就是逆推法，或称“还原法”。 学习逆推法，不仅使你增加一种解题方法，而且对培养逆思维推理能力，也有着积极意义。 逆推法具体解析过程如下: 例: 上月，妈妈从银行里取出存款350 元，本月中旬存入150 元。本月下旬，又取出400 元，这样在银行里还有存款1200 元。问妈妈在银行里原有存款多少元, 解析: 本题“在银行里原有存款多少元”是原数。 该原数根据题意，经过了三次变化。 第一次变化，是上月从“原存款中取出350 元; 第二次变化:是本月中旬存入了150 元; 第三次变化:是本月下旬又取出了400 元。 原数是经过这三次变化，才是1200 元的。 现把原数变化程序和解题的逆推程序示意如下: 从上图可以清楚地看出逆推法的过程: 第一步: 妈妈在银行里现有存款是1200 元，那么，在取出400 元以前，应有存款多少元 呢, 用加法计算，得:1200，400,1600(元) 再逆推第二步。 在存入150 元之前，银行里的存款又是多少元呢, 用减法计算，得:1600—150,1450(元) 这就可以知道，在存入150 元之前，银行里的存款有1450 元，但问题并没有到此完结，因为妈妈在上旬从银行里取出了350 元，因此还要逆推一步。 逆推第三步: 妈妈从银行里取出350 元之前是多少元,就是原有存款数。 用加法计算得:1450， 350, 1800(元) 列综合式计算: 1200，400,150，350 , 1600— 150，350 , 1450， 350,1800(元) 答:妈妈在银行里原有存款是1800 元 用逆推法思路解题，必须弄清楚题目中的原数是经过几个层次的变化引出结果的，主要是抓住题中“结果”这个已知数量，从末至始依次逆推，逐步解答、直至求得原数为止。一般地说，用逆推法解答的应用题的情节结构，叙述上有一定的特征，而且分步解答较为方便。 六、 假设法 对于某些应用题，由于已知条件的数量关系很不明显，一时无法着手解题，如果对已知的某个数量作特定的假设，可以促使题中数量关系趋于明朗，从而取得解题途径，这种解题方法，叫做假设法。 下面的例题，我们将告诉你在小学里，有哪些要用假设法来解答的应用题及怎样运用假设法来解题的思考方法。 例1: 自行车和汽车共有24 辆，已知全部轮胎有54 只(每辆汽车以4 只轮胎计算)，自行车和汽车各有几辆, 假设一: 假设24 辆车都是汽车，那么按每辆汽车4 只轮胎计算，轮胎只数应为96 只，这比题中说的全部轮胎54 只多算了42 只(96-54)，怎么会多算42只轮胎，这是由于假定自行车的辆数，把它当作汽车来计算。每辆自行车是2 只轮胎，比每辆汽车少2 只轮胎，现在把自行车假设为汽车后，每辆自行车就多算了2 只轮胎，那么，多算42 只轮胎就可求出有几辆自行车算作汽车。 据此，可以推算出自行车的辆数。 (4×24-54)?(4-2) =42?2 =21(辆) 自行车有21 辆，而自行车和汽车总计是24 辆，减法计算，可得汽车的辆数:24-21=3(辆) 答:自行车有21 辆，汽车有3 辆。 假设二: 假设24 辆车全部是自行车，那么，该有轮胎48 只(2×24)。这比题中的“54 只轮胎”少算了6 只(54-48)，怎么会少算6 只轮胎，这是由于假定汽车的辆数当作自行车来计算。每辆汽车少算2 只轮胎，那么少算6 只轮胎，就可求出有几辆汽车算作自行车。据此，列式计算(54-2×24)?(4-2) =6?2 =3(辆) 既知汽车有3 辆，汽车和自行车总计24 辆，减法计算，可得自行车辆数24-3=21(辆) 六、 假设法 例2: 某农机厂制造一批农具，原计划18 天完成，实际每天比计划多制造50件，照这样做了12 天，就超过原计划产量240 件，这批农具原计划制造多少件, 分析: 这道题要求原计划制造多少件，不是从题目的条件来看，既不知道原计划每天制造多少件，也不知道实际每天制造多少件，所以要想按照一般的数量关系，通过分析来寻找解题线索，是一个比较困难的问题，在这种情况下，可以用假设法来解答。 题目告诉我们，“原计划18 天完成”我们就假设实际生产了18 天。那么，按照题目的条件“实际每天比计划多制造50 件”来计算的话，应该比原计划产量多制造:50×18=900(件) 根据题意，制造12 天，就比原计划产量多制造240 件，这样一来，我们就得到了两个数量的相差数，即制造的天数相差了18-12=6(天)。制造的件数相差了900-240=660(件)，这就是说，按实际每天制造的件数计算，6天可以制造农具660 件，我们可以从这两个相差数中，算出实际每天制造的件数是: 660?6=110(件) 通过假设，找到了解开这道题目的一个重要条件，即实际每天制造110件。因此，要求出原计划制造多少件，只要再按题目的条件，先算出12 天制造的件数110×12=1320(件)，因为12 天制造的件数比原计划产量多240件，所以原计划制造的件数就是:1320-240=1080(件) 列综合式计算:(50×18-240)?(18-12)×12-240 =660?6×12-240 =1320-240 =1080(件) 答:原计划制造农具1080 件。 当求出了实际每天制造110 件之后，下一步也可以这样思考: 根据已知条件“实际每天比计划多制造50 件”，可求得原计划每天制造的件数:110-50=60(件)。 再根据已知条件“原计划18 天完成”即可求得原计划制造的件数:60×18=1080(件) 列综合式计算,(50×18-240)?(18-12)-50,×18 =,660?6-50,×18 =60×18 =1080(件) 答:略。 由上例看出用假设法求出实际每天制造的件数，是解这道题的关键。 从以上例题可以看出，假设法是一种很重要的数学思考方法。在小学数学解题中得到广泛应用。从以上实例中，可以看到每道题都可有多种的假设思路和方法。所以，假设法是为我们广开解题思路的一种有效方法。 七、代替法 什么叫代替法,先让我们举一个例子来说明。 五年级一中队，开展课间活动，用收集废纸卖得的钱，为中队添置了3只皮球和4 根绳子，一共付了一元二角。1 只皮球的钱可以买2 根绳子，皮球每只多少元,绳子每根多少元, 这是一个求皮球和绳子两样东西的单价各是多少的问题。当然类似这样计算单价的问题在生活实际中是不会有的事，因为商店里总是把单价标明的。但是作为一道数学问题，我们还是有必要讲讲它的解法。我们总是先求出其中一样东西的单价，再求出另一样东西的单价。假定我们先求出皮球每只多少元，根据“1 只皮球的钱可以买2 根绳子”这句话，可以把4 根绳子用2 只皮球来代替，代替的结果，可以得知5 只皮球一共付一元二角，所以，每只皮球是二角四分。因此，可以算出每根绳子是一角二分。 像上例，根据两种数量中，某种数值相等的关系，用一种量代替另一种量来寻得解决问题的思考方法，叫做代替法。 例: 其仓库用大卡车6 辆和小卡车11 辆装运农业机械435 箱。已知1 辆大卡车的运货量是1 辆小卡车的3 倍，问每辆大卡车和每辆小卡车各装运多少箱, 分析: 这道题求的是一辆大卡车和1 辆小卡车各装多少箱。是求两个未知量的问题，我们可以先求出大卡车的载运量，也可以先求出小卡车的载运量。如果先求1 辆小卡车装多少箱，可以根据“1 辆大卡车的运货量是1 辆小卡车的3 倍，”这句话，设法把大卡车6 辆用小卡车的辆数来代替，那么，应该用几辆小卡车来代替呢, “1 辆大卡车的运货量是1 辆小卡车的3 倍”这就是说1 辆大卡车的运货量等于3 辆小卡车的运货量。2 辆大卡车的运货量等于3×2 辆小卡车的运货量??。 列表如下: 大卡车辆数1 2 3 4 5 6 „„ 小卡车辆数3 6 9 12 15 18 „„ 从表中可看出: 6 辆大卡车的运货量等于3×6 辆小卡车的运货量，因此可用18 辆小卡车来代替6 辆大卡车代替的结果，得到小卡车(18，11)辆，装运农业机械435 箱，由此1 辆小卡车的运货量，可以求得: 435?(3×6，11),15(箱) 每辆小卡车装15 箱农业机械，它的3 倍就是每辆大卡车的运货量。15×3,45 (箱) 解: (1)每辆小卡车装运多少箱, 435?(6×3，11) ,435?29 ,15(箱) (2)每辆大卡车装运多少箱, 15×3,45(箱) 答:每辆大卡车装运45 箱，每辆小卡车装运15 箱。 代替法体现了等量代替的数学思想，它是一种很好的解题思考方法，只有弄清题意，正确进行数量之间的合理代替，才能使代替法运用自如。 八、对应法 在某些应用题中，必定存在着一些相关的对应量，我们利用这一特点，通过分析条件之间的某些数量的对应关系，根据某种运算意义，打开解题的中心环节。这种思考方法，可称作对应法。 例1: 建筑工地要运一批水泥，用一辆卡车运8 次正好运完,运6 次则少运7.2吨。这批水泥共有多少吨, 解析: 在分析这道题目的时候，首先要找到卡车运的次数和吨数是怎样的对应关系。要从题目的条件“用一辆卡车运8 次，正好运完;运6 次则少运7.2吨”中设法找到卡车运几次，它的对应量是几吨。列表如下: 1 辆卡车运8 次?运完 1 辆卡车运6 次?少运7.2 吨 ?????????????— 2 次?7.2 吨 从对应表中清楚地看出，1 辆卡车少运2 次，正好少运水泥7.2 吨。由此寻得了运2 次的对应量是7.2 吨，也就是说，这辆卡车2 次能运水泥7.2吨，根据整小数除法意义，所得1 辆卡车1 次运的吨数是: 7.2?2,3.6(吨) 求出了1 辆卡车1 次运3.6 吨，就可以根据“8 次运完”来计算水泥一共有多少吨。3.6×8,28.8(吨) 列综合式计算: 7.2?(8,6)×8 ,3.6×8 ,28.8(吨) 答:这批水泥一共有28.8 吨。 八、对应法 例2: 小朋友分糖果，每人分6 块，则少22 块;每人分5 块，则多14 块，求小朋友人数和糖果块数, 解析: 在分析的时候，发现每人分的块数与所需糖果的块数是起着对应关系。从题目的条件“每人分6 块则少22 块;每人分5 块则多14 块中没法找到每人才几块，它的对应量是所需糖果几块，列表如下: 每人分6 块?少22 块 每人分5 块?多14 块 ?????????? 1 块?36 块 比较两种不同的分法，可以清楚地看出，每个小朋友少分1 块，糖果块数就从少22 块变为多14 块，也就是每人少分1 块，糖果相差36 块，因此寻得每人分1 块的对应量是糖果36 块，也就是说，小朋友人数是:36?1,36(人) 求出小朋友人数，根据“每人分6 块，则少22 块”可以计算糖果一共有多少块。6×36,22,194(块) 列综合式计算: (22，14)?(6-5) ,36?1 ,36(人) 6×36-22 ,261-22 ,194(块) 答:小朋友共有36 人、糖果一共是194 块。 如果改变此题的条件，会出现什么变化呢,将原题改为: 小朋友分糖果，每人分6 块，则少22 块;每人分5 块则少14 块，求小朋友人数和糖果块数,还是采用对应法解答、列表如下: 每人分6 块?少22 块 每人分5 块?多14 块 ?????????? 1 块?8 块 比较不同的分法可得，从中也可寻得对应关系，每人少分1 块，糖果块数由少22 块变为少14 块。也就是说，每人少分1 块，糖果可以少8 块。由此，可以得出小朋友人数是8 人，糖果块数为 6×8-22=26(块)。 列综合算式、请你自己试一试。 从上述的例题中，我们可以看出:对应法归纳了数量的对应规律，而求得的一种解题方法，它有利于解决一些根据已知条件而不能直接得出所求问题的应用题，特别是对解答分数应用题来说，运用对应法更为有利。 九、结构法 一般复合应用题，虽然千变万化，不过大部分应用题相互之间的联系，还是有一定规律的，这种规律大体上可以归结为“归一”、“归总”、“归差”三种思维 结构。按照这三种思维结构来解答应用题的思考方法，叫“结构法” 用结构法解答应用题，有利于迅速确定思维方向，找到解题的主要步骤。 1(归一思维结构 在归一思维结构的应用题中，求单一量是解题的前提。譬如:“火车3小时行135 公里，用同样的速度5 小时可以行多少公里,”或“火车3 小时行135 公里，用同样的速度行225 公里，需要多少小时,”就必须先知道火车1 小时行多少公里，才可以解出“5 小时行的公里数。”或“行225 公里需要的时间”。又如“2 部挖掘机8 小时挖煤1280 吨，照这样计算，5 部挖掘机6 小时挖煤多少吨,”，同样必须先求得1 部挖掘机1 小时挖煤80 吨(1280?8?2)才可以解出5 部挖掘机6 小时挖煤的吨数。像这种按“归一”解题思路进行思考的应用题小朋友是比较熟悉的。 根据“归一”数量关系发展变化而来的一般复合应用题，同样能够按“归一”解题思路进行思考 例1: 春燕服装店，第一天上午售出大衣12 件，下午售出的件数是上午的1.5倍，下午比上午多收款750 元，第二天售出大衣50 件，每件大衣价相等，第二天收款多少元, 分析: 这道题要我们求第二天收款多少元,条件中只告诉我们、第二天售出大衣50 件，但没有直接告诉我们大衣的单价。所以要求50 件大衣总价，就一定要先求得大衣1 件多少元。求1 件大衣多少元，就是归一，显而易见，这道题的解题 思维结构是属于归一思维结构。 解这道题的步骤是: 先把思维集中到求大衣的单价上一一归一，从题目的已知条件，第一天上午售出12 件大衣，下午售出的件数是上午的1.5 倍。下午比上午多收款750 元中去考虑，下午比上午多售出多少件大衣，由此，求得大衣的单价。 由归一得出大衣单价后、问题也就得到解决。 求第二天收款多少元的解题思路如下: 九、结构法 例2: 凯歌无线电商店出售一种新型号的收录机，上午收售货款867 元，下午收售货款1445 元，全天卖出这样的收录机8 台，上下午各售出收录机多少台, 分析: 从这道题的叙述内容来看，题目要求的是上下午各售出收录机多少台。然而告诉我们的只是上午和下午的售款，就是缺少收录机的单价。因此，求得收录机1 台 多少元，成了解题关键。所以，我们只要按归一解题思路来解，问题就不难解决。 解这道题的步骤是、把思维集中到收录机的单价上。可从“全天卖出收录机8 台”和“全天售货款”这两个条件寻找到卖出8 台收录机收售货款2312元(867+1445)。由此，“归一”求得收录机的单价。 得到收录机单价后，再把思维转到求上下午各卖出多少台收录机上去。 解题思路如下: 九、结构法 2(归总思维结构 我们还发现有些复合应用题、往往与总量有密切的关系。例如:“一批生梨、每筐装40 斤可以装10 筐;每筐改装50 斤，可以装几筐,”就必须知道，这批生梨一共有多少斤，才能解出每筐装50 斤，需要的筐数。又如:“一件工作8 人做9 天完成，如果由工作效率相同的12 个人做，几天可以完成,” 同样必须先求得这件工作的总量-72 个人工(8×9)，才可以解出12 个人做需要的天数。这种归总解题思维结构的应用题，小朋友已经学过了。用同样的方法，也可以去思考解答按归总数量关系发展和变化的应用题。 例: 卫新机器制造厂，原计划上半年每月制造40 台小型水泵，下半年每月计划增产10 台，实际生产情况是9 个月的产量比全年计划产量还超产18 台，实际每月生产多少台, 分析: 在思考的时候，可以这样想:从题目的问题看，是求实际每月生产多少台。实际生产了9 个月。那么，求9 个月的总产量是解这道题的关键。所以，可用归总思维结构解题。 解这道题的步骤是: 先求计划全年产量是多少，40×6+(40+10)×6，从“买际9 个月的产量比全年计划产量还超产18 台”中，可以求得实际9 个月的总产量的解法40×6+(40+10)×6+18。然后。求出实际每月生产多少台。解题思路如下: 九、结构法 3(归差思维结构 按两数之差的数量关系，发展和变化的应用题，归结为归差思维结构。这种结构的应用题，求两数的差是解题的前提。 例1: 买3 付滑雪板和若干双冰鞋，共花246 元。一付滑雪板34 元，每双冰鞋比每付滑雪板多2 元。买冰鞋几双, 分析: 题目求买冰鞋几双，必须知道买冰鞋一共用多少元。求这个数，就是求“3 付滑雪板和几双冰鞋的总价与3 付滑雪板价”的差。所以，这道题目可用归差解题思路进行思考解题。 解题的思考步骤是: 先求得其中的一个数，即“3 付滑雪板价”是多少元,其次通过另一个数，即“3 付滑雪板和几双冰鞋的总价246 元”归差，求得几双冰鞋的价钱。最后，根据题目的要求来解答，解题思路如下: 通过对以上一些例题的分析，我们可以看到，结构法，可以帮助你很快找到思考问题的方向，对解一般复合应用题有一定的作用。 十、方程法 上面我们向大家介绍的各种解题思考方法，都是通过已知数之间的运算来求得未知数，方程法则与上不同，它是把题中的未知数用x 表示(通常用x 表示)，使未知数x 与已知数处于同等地位，直接参加运算，根据题意中的数量，找出相等关系，列出含有未知数的等式，然后，求得未知数的值，这种解应用题的方 法，叫做方程法(或称代数法)。 例1: 商店运来8 筐苹果和10 筐梨，一共重820 公斤，已知每筐苹果45 公厅，每筐梨重多少公斤, 此题若用算术解，它的解题思路是，从总重量820 公斤中，先减去苹果的重量(45×8)，然后用除法，求出每筐梨的重量(通过已知数之间的运算，求出未知数)。 列成综合算式为:(820-45×8)?10， 如果用方程法解，由于未知数也可直接参加运算，就有如下多种解题思路。 设每筐梨重x 公斤。 (1)根据“苹果的重量+梨的重量=总重量”这个等量关系，可列出方程为:45×8+10x=820。 (2)根据“总重量-梨的重量=苹果的重量”这个等量关系，可列出方程为:820-10x=45×8。 (3)根据“(总重量-苹果的重量)?每筐梨的重量=梨的筐数”这个等量关系，可列出方程为: (820-45×8)?x=10 (4)根据“梨的重量=总重量-苹果的重量”这个等量关系，可列出方程为:10x=820-45×8 十、方程法 例2: 一件羊毛衫比一件腈纶衫贵18 元，买二件羊毛衫比买4 件腈纶衫多付12 元，羊毛衫和腈纶衫每件价格各是多少元, 分析: 根据“一件羊毛衫比一件腈纶衫贵18 元”的条件，如果设腈纶衫每件价x 元，那么，羊毛衫每件是(x+18)元;倘若，设羊毛衫每件价x 元，那么腈纶衫每件价是(x-18)元。 从题中的另一个条件“买2 件羊毛衫比买4 件腈纶衫多付12 元”可以找到等量关系 2 件羊毛衫价=4 件腈纶衫价+12 元 解:设一件腈纶衫x 元。 根据题意，列方程得 2(x+18)=4x+12 解这个方程得: 2x+36=4x+12 4x-2x=36-12 2x=24 x=12 一件腈纶衫价12 元，一件羊毛衫价是:12+18=30(元) 答:羊毛衫每件30 元，腈纶衫每件12 元。 综合上述例题，可以得出列方程解应用题的一般步骤: 1(看清题意，分析已知量和未知量的关系，把应用题里的一个未知量用x(一 般都用x)来表示; 2(利用题中的条件，找到等量关系，列出方程; 3(解方程; 4(把求得的方程解进行检验; 5(。 用方程法解应用题，对不少用算术解有困难的应用题，就显得容易。列方程解应用题在中学里，还要继续学习，我们在这里就不作过多的细述了。