求导法则

求导法则 第二节 求导法则 上一节我们根据导数定义求出了一些简单函数的导数，对于一般函数的导数，当然也可以用定义去求，但这个过程较繁琐，为了解决这一问题，本节将引入一些常见的求导方法，如四则运算求导法、反函数求导法，便于快捷地求一些初等函数的导数。 一( 导数的四则运算法则 u(x)v(x)u(x)v(x)定理4.3 若函数与在点处可导，则函数在,x 处也可导，且 x ,,,,,u(x)v(x)u(x),v(x)= , u(x)v(x)证明 设=，则 y, [ux，,x,vx，,x],[ux,vx],y，，，，，，，，= ,x,x [ux，,x,ux],[vx，,x,vx]，，，，，，，， = ,x ,u,,v = ,x u(x)v(x)由于函数与在点处可导，则有 x ux，,x,uxvx，,x,vx，，，，，，，，,,u(x)v(x)limlim=与= ,x,0,x,0,x,x ,y,u,vlimlimlim所以= ,,x,0,x,0,x,0,x,x,x ,,v(x)u(x), = u(x)v(x)即函数,在处可导，且 x ,,,,,u(x)v(x)u(x),v(x),= 定理4.3可推广为求任意有限个函数代数和的导数，由此可得 ,？,若,，， 都在处可导，则函数fx，，，，fxfxxn12 ,,，，在处也可导，且 ？,fx，，，，fxfxxn12 ,,,,= ,,？,，，，，，，f,,f，，f，，，，？xxxfx,fx,,fxn12n12法则1 有限个函数的代数和的导数等于每个函数导数的代数 和。 例1 求函数=++5的导数 sinx，，fxx ,1,,，，sinx解 由第一节例6可知=，=，=0 5，，cosxx 2x ,,,,,，，sinx故==++ 5，，，，，，fxx，sinx，5x 1 =+ cosx 2x 定理4.4 若函数与在处可导，则函数在处也，，，，fx，，fx，，gxgxxx ,,,，，，，,,fxgx可导，且=+ ，，，，，，fxgx，，fxgx证明 设=，则 y，，fx，，gx fx，,xgx，,x,fxgx，，，，，，，，,y= ,x,x fx，,xgx，,x,fx，,xgx，fx，,xgx,fxgx，，，，，，，，，，，，，，，， = ,x fx，,xgx，,x,gx，gxfx，,x,fx，，，，，，，，，，，，,,,, = ,x 由于与在处可导，则有 ，，fx，，gxx gx，,x,gxfx，,x,fx，，，，，，，，,,limlim=与= ，，，，fxgx,x,0,x,0,x,x由定理4.2.函数在处可导,则也在处连续，于是 ，，，，fxfxxx lim= ，，，，fx，,xfx,x,0 fx，,xgx，,x,gx，gxfx，,x,fx，，，，，，，，，，，，,,,,lim所以 ,x,0,x gx，,x,gxfx，,x,fx，，，，，，，，lim,lim,lim =+ ，，fx，,x，，gx,x,0,x,0,x,0,x,x ,, =+ ，，，，，，，，fxgxgxfx 即函数在处可导，且 ，，fx，，gxx ,,,，，，，,,fxgx=+ ，，，，，，fxgx，，fxgx ,,,，，，，,,fxgx注 ,，，，，fxgx 该定理也可进行推广，由此可得 法则2 两个函数乘积的导数等于第一个函数乘第二个函数的导数再加上第二个函数乘第一个函数的导数. 特殊地 当=(是常数)时，由定理4.4 ，，gxcc ,,,,,,，，cfx=+= c，，，，，，cfxfxcfx 2x例2 求函数=的导数 ，，fxcosx ,,,222,，，xcosx解 ==+ ，，fx，，，，x,cosxxcosx 2,x =+ sinx2xcosx ，，fx定理4.5 若函数与在处可导，且，则函数0,，，fx，，，，gxxgx，，gx在处也可导，且 x ,,,，，，，，，，，fxgx,fxgx，，，，fx= ,,2，，gx，，,,gx，， 关于此定理的证明，留做练习，请大家自行证明。 ,,，，，，fx，，fx注 ,,,,，，gx，，gx，， 法则3 两个函数商的导数等于另两个函数的商 ，其分子是原来函数分子的导数乘