宝典高数极限和连续

宝典高数极限和连续 【极限】 一、数列极限 1)数列的单调性 对于数列,x,,如果有x?x(即x?xnnn，121??????x????), n?1，则称,x,是单调增加nn的;若x?x，n?1，则称,x,是单调减少的。nn，1n 2)数列的有界性 如果对于数列,x,，存在正整数M，使得对每一n 个x都满足 n ?M，则称数列,x,是有界的;如果这样的数不xnn 存在，则称数列,x,是无界的。 n n，11n，1例: ,,, ,,,1,,，,,是有界的，2nn 2,n,是无界的 3)数列的极限 对于数列,x,，如果当n?时，x无限的趋于,nn一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列 ,x,以常数A为极限，或称数列,x,收敛于A，nn记作: ,, ,A或xA(当n?时)limxnnn,, 否则称数列,x,没有极限，如果数列,x,没有极nn 限，就称数列 ,x,是发散的。 n 4)数列极限的性质 定理1:若数列,x,收敛，则其极限值必定唯一n 定理2:若数列,x,收敛，则它必定有界(反之n 不对～～) 5)数列极限的存在准则 定理3:(两边夹定理) 若数列,x,，,y,, ,z,满足下列条件:nnn ?y?x?z，n,1,2，???? nnn ?x,A，,A limznlimnn,,n,, 那么，数列,x,的极限存在，且,Alimxnnn,, 定理4:若数列,x,为单调有界数列，则存在limxnnn,, 6)数列极限四则运算 milxlimy定理5:若,A ,B 则nnn,,n,, xlimx?(?y),?y,A?B limlimnnnnn,,n,,n,, lim?(?y),?y,AB limxxlimnnnnn,,n,,n,, xnlimxAnn,,?若B?0，则,, limByyn,,nnlimn,, ?对于任意常数a，,a?,,aA xnlimn,, 二、数的极限 1)函数在一点处的极限 ?当x?x时函数的极限 f(x)0 如果当x无限的趋于x时，函数无限的趋于一个f(x)0 确定的常数A，则称当x?x时，函数f(x)的极限是A，0 记作: ,A或?A(当x?x时)f(x)f(x)0limx,x0 ?当x?x时函数的左(或右)极限 f(x)0 如果当x从x的左边(或右边)无限的趋于x时，函00 数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x?x时，f(x)0 函数的左极限(或右极限)是A，记作:f(x) ,f(x,0),A 或 ,f(x，0)f(x)f(x)00limlim,，x,xx,x00,A 定理6:f(x),A的充要条件是: limx,x0 f(x)f(x) ,,A limlim,，x,xx,x00 2)x??时，函数的极限 ?当x??时，函数的极限 如果当x??时，函数无限的趋于一个确定的常数f(x) A，则称当x??时，函数的极限是A，记作:f(x) ,A 或 ?A(当x??时)f(x)f(x)limx,, ?当x?，?(或,?)时，函数的极限 如果当x?，?(或,?)时，函数无限的趋于一f(x)个确定的常数A，则称当x?，?(或,?)时，函数 的极限是A，记作: f(x) ,A 或,A f(x)f(x)limlimx,，,x,,, 定理7:,A的充要条件是: f(x)limx,, ,,A f(x)f(x)limlimx,，,x,,, 3)函数极限的性质 定理8:若存在，则其极限值必定唯一f(x)limx,x0 定理9:设函数，g(x)，h(x)在点x的某个领域内f(x)0(x可除外)满足条件: 0 ??? g(x)f(x)h(x) ?g(x),h(x),A,则f(x),A limlimlimx,xx,xx,x000 (注:定理8和定理9，当x??时也成立) 4)函数极限的运算法则 limf(x)limg(x)定理10:若 ,A , ,B ,则 limg(x)limf(x)?lim[ ?] ,? ,A?Bf(x)g(x) limg(x)limf(x)?lim[?] ,? ,ABf(x)g(x) Af(x)limf(x) ?当B?0时，lim,, Bg(x)limg(x) ,,limCf(x)limf(x)C?, 三、无穷小量与无穷大量 1)无穷小量(0，仅此一个数) 如果x在某个变化过程中，的极限值为0，则f(x) 称在该变化过程中，为无穷小量，记作:,0f(x)limf(x) 定理11:x在某个变化过程中，的极限值为A的充f(x) 要条件:在x的同一变化过程中，为无穷小量。f(x),A 2)无穷大量 f(x)若果x在某个变化过程中，无限增大，则称在该变化过程中，为无穷大量，记作:。f(x)limf(x),, 如果limf(x),，?，则称在该变化过程中，f(x) 为正无穷大量。反之称为负无穷大量 3)无穷小量与无穷大量的关系 定理12:在x的同一变化过程中，如果为无穷大f(x) 1量，则为无穷小量。反之，如果为无穷小量，f(x)f(x) 1则为无穷大量。 f(x) 4)无穷小量的基本性质 ?若为无穷小量，则,也是无穷小量 ,, ?若，为无穷小量，则也为无穷小量,,,, ?若为无穷小量，且,则为无穷小量,,M,,, ?若，为无穷小量，则为无穷小量,,,,, 注:无穷大量具有性质??，不具有性质?? 5)无穷小量比较 设和是同一变化过程中的无穷小量 ,, ,?如果,0，则称是比高阶的无穷小量，记作lim,,, ，， ,,0, ,?如果lim,C?0，则称,是与同阶的无穷小量;特,, 别的，若C=1，则称,与等价的无穷小量，记作,,~, ,lim,?如果,?，则称是比,低阶的无穷小量, 两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘除法运算中应用 常用等价无穷小量代换有:(当x?0时) sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x ln(1，x)~x 2xx 1cos~ e,1~x,x2 四、两个重要极限 sinxsinf(x) 1),1 推广式:,1limlimxf(x)x,0f(x),0 11nx，(1)(1，x)2),e 特别的:,elimlimnn,,x,, 11 xx(1，x)(1，x),e等价于,e ，这个形式有limlimx,,x,0 如下特征: ?指数的绝对值趋于无穷大 ?括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外 指数的倒数 1 f(x),,1，f(x)定理14:,e lim,f(x)0 ?推论 f(x)lim,C,0limf(x),0若 ， g(x) f(x)lim1 cg(x)g(x),,lim1，f(x),e,e 则: 五、求极限的方法 ?运用极限的四则运算法通过通分、约分等形式求极 限 ?利用无穷小量的性质求极限 ?利用等价无穷小量(或无穷大量)求极限 ?利用两个重要极限求极限 【函数的连续性】 一、 函数连续性的概念 1) 函数在点x处连续 0 设函数在点x的某个邻域内有定义，当x趋y,f(x)0 于x时趋于，则函数在点x处连续，记作:f(x)f(x)f(x)000 f(x),f(x) lim0x,x0 定理15:设在点x的某个邻域内有定义，则y,f(x)f(x)0 在点x处连续的充要条件是，当x,x，的左右极f(x)00 限存在且等于函数值f(x)， 0 f(x)f(x)limf(x)lim即:,, 0，,x,xx,x00 由定理15知:构成在点x处连续的三要素是:f(x)0 ?函数f(x)在点x处有定义 0 x,x?当f(x)，的极限存在 0 f(x)?极限值,该点函数值 0 若上述三点不满足，则在点x处不连续，即间断f(x)0 2) 左(右)连续 对于函数， y,f(x) f(x)f(x)lim若,，则称在x处左连续f(x)00,x,x0 f(x)f(x)lim若,，则称在x处右连续f(x)00，x,x0 定理16:若函数在点x处连续，则在点x处y,f(x)f(x)00 即左连续也右连续 3) 函数在区间上的连续 如果函数在开区间内每点都连续，则称在，，a,by,f(x)f(x) 开区间内连续。 ，，a,b 如果函数在开区间内连续，且在处右连，，x,aa,by,f(x) f(x),f(a)x,b续，即 ，在处左连续，即lim，x,a f(x),f(b)，则称函数在闭区间[a，b]上连续。f(x)lim,x,b 4) 函数的间断点 若函数在点x处不连续，则称x为的y,f(x)y,f(x)00一个间断点 若f(x)f(x)在点x处有一下三种情况，则点x就是的00一个间断点 ?在点x处无定义 f(x)0 ?当x?x时，的极值不存在 f(x)0 f(x)?在点x处有定义，也存在，但是limf(x)0x,x0 f(x)f(x)lim? 0x,x0 二、 函数在一定处连续的性质 1) 连续函数四则运算(定理17) 设函数，在点x处均连续，则: g(x)f(x)0 f(x)g(x)??在点x处连续 0 g(x)f(x)??在点x处连续 0 f(x) ?若?0，则在点x处连续 g(x)0g(x) 2) 复合函数连续性 定理18:如果函数在x,x处连续，在u,g(x)u,g(x)y,f(u)000 f,,g(x)连续，则，在x,x处连续， 0 f,,g(x),,fg(x)在x处的极值,在x处的函数00值 ，， ,,,,fg(x),fg(x),fg(x),,0limlim即:x,xx,x00，， g(x),u0推论:若xg(x)f(u)是的间断点，存在，且lim0x,x0 ，， ,,fg(x),fg(x),,limlim在点处连续，则仍有u0x,xx,x00，， 3) 反函数的连续性 定理19:如果函数在某区间上连续，且为严格y,f(x) ,1单调函数，则它的反函数也在对应区间上连续，y,f(x) 且严格单调 三、 闭区间上连续的函数性质 定理20(有界定理):若函数在上连续，则,,a,bf(x)f(x)在上必有界，即存在M,0，对任意，总有f(x),,,,a,bx,a,b?M 定理21(最值定理)若函数在上连续，则在,,a,bf(x)f(x) 上必能取得最大值M和最小值m，即在上存在,,,,a,ba,bx1与使得 x2 f(x),mf(x),M?， 12 ?m??M， ,,x,a,bf(x) 定理22(介值定理)若在,,上连续，且其最大值、a,bf(x) 最小值分别为M、m，则对于在M和m之间的任意实数 ，，C(n,C,M,，必定存在ξ?a,b，使得(ξ)=Cf ,,，，，，a,bfa,fb推论(零点定理):若f(x)在上连续，且,0， ，，a,b则必存在ξ?f，使得(ξ)=0 定理23:初等函数在其定义域内连续 求初等函数极限的方法 ?若点x是初等函数定义域中的一点，则F(x)0 F(x),F(x)0lim x,x0?若点x是的可去间断点，则g(x)0 ，， ,,Fg(x)Fg(x),lim ,,limx,xx,x00，，