物体在一定位置附近作周期性的往返运动（可编辑）

物体在一定位置附近作周期性的往返运动（可编辑） 振动 物体在一定位置附近作周期性的往返运动如钟摆的摆动心脏的跳动气缸活塞的往复运动以及微风中树枝的摇曳等这些都是振动振动是一种普遍而又特殊的运动形式它的特殊性现在作振动的物体总在某个位置附近局限在一定的空间范围内往返运动故这种振动又被称为机械振动除机械振动外自然界中还存在着各式各样的振动今日的物理学中振动已不再局限于机械运动的范畴如交流电中电流和电压的周期性变化电磁波通过的空间内任意点电场强度和磁场强度的周期性变化无线电接收天线中电流强度的受迫振荡等都属于振动的范畴广义地说凡描述物质运动状态的物理量在某个数值附近作周期性变化都叫振动91 简谐振动简谐振动实例在振动中最简单最基本的是简谐振动一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果在忽略阻力的情况下弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动1 弹簧振子 质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧 弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计 的自由端这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子如将弹簧振子水平放置如图9-1所示当弹簧为原长时物体所受的合力为零处于平衡状态此时物体所在的位置O就是其平衡位置在弹簧的弹性限度内如果把物体从平衡位置向右拉开后释放这时由于弹簧被拉长产生了指向平衡位置的弹性力在弹性力的作用下物体便向左运动当通过平衡位置时物体所受到的弹性力减小到零由于物体的惯性它将继续向左运动致使弹簧被压缩弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力该弹性力将阻碍物体向左运动使物体的运动速度减小直到为零之后物体又将在弹性力的作用下向右运动在忽略一切阻力的情况下物体便会以平衡位置 O为中心在与O点等距离的两边作往复运动图中取物体的平衡位置O为坐标原点物体的运动轨迹为x轴向右为正方向在小幅度振动时由胡克定律可知物体所受的弹性力,与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比弹性力的方向与位移的方向相反总是指向平衡位置即,,,kx 式中k是弹簧的劲度系数它由弹簧本身的性质 材料形状大小等 所决定负号表示力与位移的方向相反根据牛顿第二定律Fma和a 物体的加速度为 即 9-1 对于一个给定的弹簧振子k与m都是常量而且都是正值故我们可令 9-2 代入上式得 9-3 这一微分方程的解是 9-4 式中是积分常数它们的物理意义将在后面讨论由上式可知弹簧振子运动时物体相对平衡位置的位移按余弦或正弦函数关系随时间变化我们把具有这种特征的运动称为简谐振动 根据速度和加速度的定义将9-4分别对时间求一阶导和二阶导可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度 9-4a 9-4b上述各式中9-3揭示了简谐振动中的受力特点故称之为简谐振动的动力学方程而9-4反映的是简谐振动的运动规律故称为简谐振动的运动学方程 2 单摆 如图9-2所示一根不会伸缩的细线上端固定下端悬挂一个体积很小质量为m 的重物细线静止地处于铅直位置时重物在其平衡位置O处 把重物从平衡位置略为移开后放手重物就在平衡位置附近来回摆动 这种装置称为单摆 设在某时刻 单摆的摆线与竖直方向的夹角为 当 式中令与式9-3相比较可知 单摆在摆角很小时的振动是简谐振动 3(复摆 一个可绕固定轴O转动的刚体称为复摆如图9-3 平衡时摆的重心C在轴的正下方摆动到任意时刻 重心与轴的连线偏离竖直位置一个微小角度复摆在角度处受到的重力矩为M ,mgM ,mg由转动定律得 式中令与式9-3相比较可知 复摆在摆角很小时的振动是简谐振动例9-1一远洋海轮质量为,浮在水面时其水平截面积为,设在水面附近海轮的水平截面积近似相等如图试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动 解 选择,点代表船体当船处于静浮状态时此时船所受浮力与重力相平衡即 ρgSh Mg 式中ρ是水的密度h是船体, 以下的平均深度 取竖直向下的坐标轴为y轴坐标原点,与,点在水面处重合设船上下振动的任一瞬时船的位置即,点的坐标为yy即是船相对水面的位移可正可负此时船所受浮力 ρgS hg 则作用在船上的合力 由得 即 式中MSg皆为正故可令 则 可见描写船位置的物理量y满足简谐振动的动力学方程故船在水中所作的 小幅度的竖直自由振动是简谐振动 作简谐振动的物体通常称为谐振子这个物体连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统通常称为谐振系统 简谐振动是一种理想的运动过程严格的简谐振动是不存在的但对处于稳定平衡的系统当它对平衡状态发生一微小的偏离后所产生的振动在阻力很小而可以忽略时就可以近似地看作是简谐振动因此谐振子是一个重要的理想模型 例 由电容,电感,所组成的一个回路如图9-5所示若给电容器充上一定的电荷,在忽略阻力的情况下就能形成在电路内周期性往返流动的电流并引起电容器内的电场和电感线圈中的磁场的周期性变化导致无阻尼电磁振荡进一步的定量研究表明在无阻尼的电磁振荡过程中电容器极板上的电荷,和电路中的电流强度 I 皆满足式9-3的微分方程此 LC 电路系统遵循谐振动的规律故亦可称为谐振子 另外对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行 研究像分子原子电子的振动等 由此可见谐振动的规律不仅出现于力学范畴它还出现于电磁学原子物理学光学及其它领域因此一个物理系统若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式9-3皆可广义地称为谐振子 912 简谐振动的描述方法简谐振动的运动学方程9-4即反映了简谐振动的运动规律下面我们逐个方程中出现的量 振幅 在简谐振动的表式中因余弦或正弦函数的绝对值不会大于,所以物体的振动范围在和,之间(我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值叫做振幅它描述了振动物体往返运动的范围和幅度这是个反映振动强弱的物理 量 2 周期和频率 振动的特征之一是运动具有周期性我们把完成一次完整全振动所经历的时间称为周期用来表示单位是s因此每隔一个周期振动状态就完全重复一次 设某时刻t物体的位置为x在t，时刻物体到达位置 由周期性 即 上式方程中的最小值应满足 所以 或 9-5 用或f表示它的单位是赫兹符号是Hz显然频率与周期的关系为 或 9-6 可见振动方程中的圆频率它的单位是rad,s 周期和频率都是反映振动快慢的物理量对于弹簧振子所以弹簧振子的周期和频率分别为 9-7 由于弹簧振子的质量m和劲度系数k是其本身固有的性质所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定因此被称为固有周期和固有频率 对于单摆所以单摆的周期和频率分别为 单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质即决定于重力加速度g和摆长l因此也是固有周期和固有频率并且周期和频率还与摆球的质量无关在小摆角的情况下单摆的周期又与振幅无关所以单摆可用作计时单摆为测量重力加速度g提供了一种简便方法 对于复摆 所以复摆的周期和频率分别为 上式表明复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本身的性质所决定因此也是固有周期和固有频率由复摆的周期可知如果测出摆的质量m重心到转轴的距离以及摆的周期就可以求得此物体绕该轴的转动惯量有些形状复杂物体的转动惯量用数学方法进行计算比 较困难有时甚至是不可能的但用振动方法可以测定 对于长为l可绕过其一端的轴转动的细杆所以绕杆端轴线摆动的周期和频率分别为 ,相位和初相 由9-,式可知当角频率和振幅,已知时振动物体在任一时刻t的运动状态位置速度加速度等都由决定是决定简谐振动运动状态的物理量称为振动的相位显然是t,,时的相位称为初相位简称初相 在振动和波动的研究中相位是一个十分重要的概念物体的振动在一个周期之内每一时刻的运动状态都不相同这相当于相位经历着从0到2的变化例如图9-1所示的弹簧振子我们用余弦函数表示的简谐振动若某时刻 0即相位为零则可决定该时刻x A 0表示物体在正位移最大处而速度为零当相位 时x 0v 表示物体在平衡位置并以最大速率向x轴负方向即向左运动而当相位 时x 0v 这时物体也在平衡位置但以最大速率向x轴正方向即向右运动可见不同的相位表示不同的运动状态凡是位移和速度都相同的运动状态它们所对应的相位相差或的整数倍由此可见相位是反映周期性特点并用以描述运动状态的重要物理量 相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在步调上的差异设有两个同频率的简谐振动它们的振动表式为 它们的相位差为 即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差当等于零或的整数倍时这时两振动物体将同时到达各自同方向的位移的最大值同时通过平衡位置而且向同方向运动它们的步调完全相同我们称这样的两个振动为同相当等于或者的奇数倍时则一个物体到达正的最大位移时另一个物体到达负的最大位移处它们同时通过平衡位置但向相反运动即两个振动的步调完全相反我们称这样的两个振动为反相 当为其它值时如果简谐振动超前第一个简谐振动或者说第一个简谐振动落 后于第二个简谐振动以此来表达它们振动步调上的差别 引入相位差的概念不仅仅是为了描述两个同频率简谐振动之间的步调上的差异后面将看到当一个物体同时参与两个或两个以上同频率的简谐振动时合振动的强弱将取决于这几个振动之间的相位差在波动理论和波动光学中相位差这一概念也将继续发挥重要的作用 4 常数A和φ的确定 如上所述谐振动方程中的角频率是由振动系统本身的性质所决定的在角频率已经确定的条件下如果知道在t 0时的物体相对平衡位置的位移x 0和速度v 0 就可以确定谐振动的振幅A和初相φ由式9-4和9-4a可得 由上两式可得Aφ的唯一解是 9-8 其中φ所在象限可由x0及v0的正负号确定 物体在t 0时的位移x 0 和速度v 0叫做初始条件上述结果说明对一定的弹簧振子即为已知量它的振幅A和初相φ是由初始条件决定的由于谐振动的振幅不随时间而变化故简谐振动是等幅振动 如图9-1所示一轻弹簧的劲度系数k 50 今将质量为2 kg的物体从平衡位置向右拉长到x 0 002 m处并以v 0 的速度开始运动试求 1 谐振动方程 2 物体从初位置运动到第一次经过处时的速度 解 1要确定物体的谐振动方程需要确定角频率振幅A和初相φ三个物理量 角频率 振幅和初相由初始条件x 0及v 0决定已知x 0 004 mv 0 由式9-8得 将A代入谐振动方程中可得 2欲求处的速度需先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位 由 得 按题意物体由初位置x 0 002 m第一次运动到x 处的相位 将A的值代入速度公式可得 负号表示速度的方向沿x轴负方向 5 简谐振动的矢量图示法 为了直观地领会简谐振动中A三个物理量的意义并为后面讨论简谐振动的叠加提供简捷的方法我们介绍简谐振动的旋转矢量表示法 如图9-6所示一长度为A的矢量绕O点以恒角速度沿逆时针方向转动这个矢量称为振幅矢量以A表示在此矢量转动过程中矢量的端点M在OX轴上的投影点P便不断地以O为平衡位置往返振动在任意时刻投影点在X轴上的位置由方程确定这正是简谐振动的表式因而作匀速转动的矢量A其端点M在x轴上的投影点P的运动是简谐振动在矢量A的转动过程中M点作匀速圆周运动通常把这个圆称为参考圆矢量A转一圈所需的时间就是简谐振动的周期也就是说一个简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示它们之间的对应关系是旋转矢量的长度A为投影点简谐振动的振幅旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率而旋转矢量在t时刻与OX轴的夹角便是简谐振动运动方程中的相位φ角是起始时刻旋转矢量与OX轴的夹角就是初相位 由此可见简谐振动的旋转矢量表示法把描写简谐振动的三个特征量非常直观地表示出来了必须注意旋转矢量本身并不在作谐振动而是旋转矢量端点在OX轴上的投影点在作谐振动 利用旋转矢量图可以很容易地表示两个简谐振动的相位差 在简谐振动过程中相位随时间线性变化变化速率为角频率即在时间间隔内相位变化为把握住这一点配合旋转矢量图就可以巧妙地解决一些看来似乎困难的问题 例9-3 用旋转矢量法求解上例中的初相φ及物体从初位置运动到第一次经过处时的时间 解 1根据初始条件画出振幅矢量的初始位置如图9-7 由图可得 2从振幅矢量图9-8可知从初位置x0 运动到第一次经过x 处时旋转矢量 转过的角度是这就是两者的相位差由于振幅矢 量的角速度为所以可得到所需的时间 s 6 振动曲线 简谐振动的位置x随时间t的变化关系曲线叫做振动曲线又称x – t图由式9-4可知它是一条余弦或正弦曲线x– t图和前面讨论过的旋转矢量图一样是描述简谐振动的一种几何工具它形象而直观地反映出一个特定的谐振动的运动规律还可方便地对几个谐振动作出比较 例9-4 质量为01 kg的物体悬于弹簧的下端把物体从平衡位置向下拉01 m后释放测得其周期为2 s 见图9-9a试求 1物体的振动方程 2物体首次经过平衡位置时的速度 3第二次经过平衡位置时的速度 4物体从平衡位置下方005 m处向上运动到平衡位置上方005 m处所需的最短时间解 以弹簧挂上物体后的平衡位置为坐标原点向上作为Y轴的正方向 已知T 2 s则以释放物体时作起始时刻有 t 0时y0 ,01 mv0 0 则 所以 或 因为y0为负值故 得弹簧振动的振动方程为 Y 01 cosπ t πm 若向下作为Y轴的正方向y0为正值φ应取0弹簧的振动方程则为 Y 01 cosπ t m可见对于同一个简谐振动选取不同的坐标系将会有不同形式的运动方程 由旋转矢量图9-9b可知物体首次经过平衡位置的相位为ωt φ 此时的速度为 速度的方向向上与坐标正方向相同 由旋转矢量图9-9c可知物体第二次经过平衡位置上方5cm处的相位为 ωt φ 此时的加速度为 负号表示加速度的方向与Y轴正方向相反即指向中心O 由旋转矢量图9-9d可知在平衡位置下方5cm处并向上运动时的相位为 ωt1 φ 当物体第一次经过平衡位置上方5cm处时的相位为ωt2 φ 在此过程中物体经历的相位变化为 即 ωt2 φ,ωt1 φ 所需要的时间为 简谐振动的能量现在我们以图9-1的水平弹簧振子为例来说明振动系统的能量 设在某一时刻物体的位置是x 速度为v由9-4及9-4a我们知道振子的位置x及速度v分别为 此时系统除了具有动能以外还具有势能振动物体的动能为 Ek 9-9 如果取物体在平衡位置的势能为零则弹性势能为 Ep 9-10 式9-9和式9-10说明物体作简谐振动时其动能和势能都是随时间t作周期性变化位移最大时势能达最大动能为零物体通过平衡位置时势能为零动能达最大值由于在运动过程中弹簧振子不受外力和非保守内力的作用其总的机械能守恒 E Ek Ep 以式9-2 代入则上式简化为 上式说明谐振系统在振动过程中系统的动能和势能也都分别随时间发生周期性变化它们之间在不断地相互转换但在任意时刻动能和势能的总和即总的机械能在振动过程中却始终保持为一个常量即系统的总机械能是守恒的简谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比这一结论对于任一谐振系统都是正确的如图9-10 上面我们是从简谐振动的运动学方程出发得出谐振系统的总机械能守恒这一结论的这一结论我们也可以用简谐振动的动力学方程导出 由式9-1有 两边乘以dx得 或 即 mvdv ,kxdx 设初始时刻振子的位置是x0速度是v0对上式两边积分到任一时刻的位置x和速度v即 得 等式右边两项之和就是初始时刻振子系统的总机械能E即 式中是弹簧振子的动能是弹簧振子的弹性势能把式9-4和式9-4a代入即可得 E 再代以即得 914 简谐振动的合成在实际问题中常会遇到一个质点同时参与几个振动的情况例如当两列声波同时传播到空间某一处则该处空气质点就同时参与这两个振动根据运动叠加原理这时质点所作的运动实际上就是这两个振动的合成就是说物体在任意时刻的位置矢量为物体单独参与每个分振动的位置矢量之和即 r r1 r2 r3 一般的振动合成问题比较复杂下面我们只研究几种特殊情况的谐振动合成 1 同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点在一直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动现在取这一直线为x轴以质点的平衡位置为原点由于它们的角频率ω相同故在任一时刻t这两个振动的位移分别为 式中A1A2和φ1φ2分别表示这两个振动的振幅和初相位既然x1和x2都是表示在同一直线方向上距同一平衡位置的位移所以合位移x仍在同一直线上而为上述两个位移的代数和即 x x1 x2 应用三角函数的等式关系将上式展开可以化成 式中A和φ的值分别为 9-11 9-12 这说明合振动仍是简谐振动其振动方向和频率都与原来的两个振动相同 应用旋转矢量图可以很方便地得到上述两简谐振动的合振动如图9-11所示A1和A2 为代表两简谐振动的振幅矢量由于它们以相同的角速度ω绕O点沿逆时针转动因此它们之间的夹角φ2 ,φ1保持恒定所以在旋转过程中矢量合成的平行四边形的形状保持不变因而合矢量A的长度保持不变并以同一角速度ω匀 速旋转合矢量A就是相应的合振动的振幅矢量而合振动的表达式可从合矢量A在x轴上的投影给出A和φ也可以由图简便地得到 现在来讨论振动合成的结果从式9-11可以看出合振动的振幅A除了与原来的两个分振动的振幅有关外还取决于两个振动的相位差φ2 ,φ1下面讨论两个特例将来在研究声光等波动过程的干涉和衍射现象时这两个特例常要用到 1两振动同相即相位差φ2 ,φ1 2kπ k 0 这时cosφ2 ,φ1 1 按式9-11得 即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和显然这是合振动可能达到的最大值如图9-12 a 2两振动反相即相位差φ2 ,φ1 2k 1π k 0 这时cosφ2 ,φ1 ,1 按式9-11得 即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值振幅在性质上是正量所以在上式中取绝对值显然这是合振动可能达到的最小值如图9-12 b 如果A1 A2 则A 0 就是说振动合成的结果使质点处于静止状态 在一般情形下相位差φ2,φ1是其他任意值时合振动的振幅在与A1 A2之间如图9-12c2 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 当一个质点同时参与两个不同方向的振动时质点的位移是这两个振动的位移的矢量和在一般情况下质点将在平面上作曲线运动质点的轨道可有各种形状轨道的形状由两个振动的周期振幅和相位差来决定 设两个同频率的简谐振动分别在x轴和y轴上进行振动表式分别为 在任意时刻t 质点的位置是xyt改变时xy也改变所以上列两方程就是用参量t来表示的质点运动轨道的参量方程如果把时间参量t消去就得到轨道的直角坐标方程 9-13 一般地说上述方程是椭圆方程因为质点的位移x和y在有限范围内变动所以椭圆轨道不会超出以2A1和2A2为边的矩形范围椭圆的具体形状则由相位差φ2 ,φ1来决定下面选择几个特殊的相位差进行讨论 当相位差φ2 ,φ1 0即两振动同相这时式9-13变为 即 合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线其斜率为这两个振动振幅之比[图9-13 a ]在任意时刻t质点离开平衡位置的位移 所以合振动也是简谐振动振动频率与分振动的频率相同振幅为 当相位差φ2 ,φ1 这时式9-13变为 合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿顺时针方向运行的正椭圆[图9-13 b ] 当相位差φ2 ,φ1 π 即两振动反相这时式9-13变为 合振动的轨迹也是一条通过坐标原点的直线其斜率为这两个振动振幅之比的负值[图9-13 c ]也是简谐振动振动频率与分振动的频率相同振幅也为 当相位差φ2 ,φ1 这时合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿逆时针方向运行的正椭圆[图9-13 d ]当两个等幅A1 A2的振动相位差为φ2 ,φ1 时椭圆将变为圆[图9-14 a b ] 总之 两个相互垂直的同频率的简谐振动合成时合运动的轨道是椭圆椭圆的性质视两个振动的相位差φ2 ,φ1而定图9-15表示不同相位差的合成图形 92 阻尼振动前面所讨论的简谐振动振动系统都是在没有阻力作用下振动的系统的机械能守恒振幅不随时间而变化就是说这种振动一经发生就能够永不停止地以不变的振幅振动下去一个振动物体不受任何阻力的影响只在回复力作用下所作的振动称为无阻尼自由振动这是一种理想的情况实际上振动物体总是要 受到阻力作用的以弹簧振子为例由于受到空气阻力等的作用它围绕平衡位置振动的振幅将逐渐减小最后终于停止下来如果把弹簧振子浸在液体里它在振动时受到的阻力就更大这时可以看到它的振幅急剧减小振动几次以后很快就会停止当阻力足够大振动物体甚至来不及完成一次振动就停止在平衡位置上了在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动 在阻尼振动中振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少能量损失的原因通常有两种一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力使振动系统的能量逐渐转变为热运动的能量这叫摩擦阻尼另一种是由于振动物体引起邻近质点的振动使系统的能量逐渐向四周射出去转变为波动的能量这叫辐射阻尼 实验指出当物体以不太大的速率在粘滞性的介质中运动时物体受到的阻力与其运动的速率成正比即 f r 式中的称为阻力系数它的大小由物体的形状大小和介质的性质来决定对弹簧振子在弹性力F kx 及阻力f r的作用下运动物体的运动方程为 对一给定的振动系统mk及均为常量令则上式可写成 9-14 式中是无阻尼振动系统的固有角频率β 称为阻尼因子在β 9-15 式中 A0和φ为积分常数由初始条件决定图9-16是阻尼振动的位移时间曲线从图中可以看出阻尼振动的振幅是随时间t作指数衰减的因此阻尼振动也叫减幅振动不是谐振动阻尼越大振幅衰减得越快但在阻尼不大时可近似地看作是一种振 幅逐渐减小的振动它的周期即有阻尼时的自由振动周期T大于无阻尼时的自由振动周期T0 就是说由于阻尼振动变慢了若阻尼很大即β ω0式9-15不再是式9-14的解此时物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置这种情况称为过阻尼若阻尼满足β ω0 则振动物体将刚好能平滑地回到平衡位置这种情况称为临界阻尼在过阻尼状态和减幅振动状态振动物体从运动到静止都需要较长的时间而在临界阻尼状态振动物体从静止开始运动回复到平衡位置需要的时间却最短的因此当物体偏离平衡位置时如果要它不发生振动下最快地恢复到平衡位置常用施加临界阻尼的方法 在生产实际中可以根据不同的要求用不同的方法改变阻尼的大小以控制系统的振动情况如在灵敏电流计内表头中的指针是和通电线圈相连的当它在磁场中运动时会受到电磁阻力的作用若电磁阻力过大或过小会使指针摆动不停或到达平衡点的时间过长而不便于测量读数所以必须调整电路电阻使电表在β ω0 的临界阻尼状态下工作 93 受迫振动 共振受迫振动 在实际的振动系统中阻尼总是客观存在的所以实际的振动物体如果没有能量的不断补充振动最后总是要停止下来的要使振动持续不断地进行须对系统施加一周期性的外力这种系统在周期性外力持续作用下所发生的振动叫受迫振动如声波引起耳膜的振动马达转动导致基座的振动等等这种周期性的外力称为驱动力 为简单起见假设驱动力有如下的形式 F F0 cosωt 式中F0是驱动力的幅值ω为驱动角频率物体在弹性力阻力和驱动力的作用下其运动方程为 仍令则上式可写成 9-16 在阻尼较小的情况下该方程的解是 9-17 即受迫振动是由阻尼振动和谐振动合成的 实际上在驱动力开始作用时受迫振动的情况是相当复杂的经过不太长的时间阻尼振动就衰减到可以忽略不计即式9-17右方第一项趋于零受迫振动达到稳定状态这时振动的周期即是驱动力的周期振动的振幅保持稳定不变于是受迫振动为谐振动其振动表式为 应该指出稳态时的受迫振动的表式虽然和无阻尼自由振动的表式相同都是简谐振动但其实质已有所不同首先受迫振动的角频率不是振子的固有角频率而是驱动力的角频率其次受迫振动的振幅和初相位不是决定于振子的初始状态而是依赖于振子的性质阻尼的大小和驱动力的特征据理论计算可得 9-18 9-19共振 由式9-18可知稳定状态下受迫振动的一个重要特点是振幅A的大小与驱动力的角频率ω有很大的关系图9-17是对应于不同β 值的A-ω曲线图中 ω0是振动系统的固有角频率当驱动力的角频率ω与振动系统的固有角频率ω0相差较大时受迫振动的振幅A比较小而当ω与ω0相接近时振幅A逐渐增大在ω为某一定值 时振幅A达到最大我们把驱动力的角频率为某一定值时受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振共振时的角频率叫做共振角频率以表示由式9-18求导数并令即可得到共振角频率 9-20 因此系统的共振频率是由固有频率ω0和阻尼系数β 决定的将式9-20代入 式9-18可得共振时的振幅 9-21 由上式可知阻尼系数越小共振角频率越接近系统的固有角频率ω0同时共振的振幅也越大若阻尼系数趋于零则趋近于ω0振幅将趋于无穷大 本章小结1 振动中最简单最基本的振动是简谐振动描写振动物体位置的物理量x满足微分方程的振动为简谐振动 2 简谐振动的运动规律 其中常数A和φ分别为 3 简谐振动的周期 4 简谐振动的旋转矢量表示法 一个简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示它们之间的对应关系是旋转矢量的长度A为投影点简谐振动的振幅旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率而旋转矢量在t时刻与OX轴的夹角便是简谐振动运动方程中的相位φ角是起始时刻旋转矢量与OX轴的夹角就是初相位利用旋转矢量图可以很容易地表示两个简谐振动的相位差 5 简谐振动的能量 物体作简谐振动时其动能和势能都是随时间t作周期性变化位移最大时势能达最大动能为零物体通过平衡位置时势能为零动能达最大值由于在运动过程中弹簧振子不受外力和非保守内力的作用故其总的机械能守恒 6 简谐振动的合成 1 同方向同频率的两个简谐振动的合成 合振动仍是简谐振动其振动方向和频率都与原来的两个振动相同 A 当两振动同相即相位差φ2 ,φ1 2kπ 时k 0 合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和这是合振动可能达到的最大值 B 当两振动反相即相位差φ2 ,φ1 2k 1π k 0 合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值这是合振动可能达到的最小值 C 在一般情形下相位差φ2,φ1是其他任意值时合振动的振幅在与A1 A2之间 2 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 合振动的轨迹是一椭圆椭圆的具体形状由相位差φ2,φ1来决定 7 阻尼振动 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动 8 受迫振动 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动叫受迫振动 9 共振 稳定状态下受迫振动的一个重要特点是振幅A的大小与驱动力的角频率ω有很大的关系驱动力的角频率为某一定值时受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振 9-1 如图所示在电场强度为E的匀强电场中放置一电偶极矩p ql 的电偶极子q,q相距且不变若一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度扰动消失后这对电荷会以垂直于电场并通过的中点o的直线为转轴来回摆动试证明这种摆动是近似的简谐振动并求其振动周期设电荷的质量为m重力忽略不计 9-2 设地球是一个半径为R的均匀球体并沿直径凿通一条隧道若有一质量为m的质点在此隧道内可作无摩擦运动 证明此质点的运动是谐振动2计算其周期地球密度ρ取 9-3 一物体沿x轴作谐振动振幅为006 m周期为2 s当t 0时位移为003 m且向x轴正方向运动求 1 初相位2 t 05 s时物体的位移速度和加速度3从x ,003 m且向x 轴负方向运动这一状态回到平衡位置所需的时间 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子振幅A 20×102m周期T 050s当t 0时求以下各种情况的振动方程 1物体在正方向的端点2物体在负方向的端点3物体在平衡位置向负方向运动4物体在平衡位置向正方向运动5物体在x 10×102m处向负方向运动6物体在x ,10×102m处向正方向运动 9-5 原长为050m的弹簧上断固定下断挂一质量为010kg的砝码当砝码静止时弹簧的长度为060m若将砝码向上推使弹簧缩回到原长然后放手则砝码作上下振动 1证明砝码的上下振动是简谐振动2求此谐振动的振幅角频率和频率3若从放手时开始计算时间求此谐振动的运动方程正向向下 9-6 质量m 001 kg的质点沿x轴作谐振动振幅A 024 m周期T 4 st 0 时质点在x0 012 m处且向x负方向运动求 1t 10 s时质点的位置和所受的合外2由t 0运动到x ,012 m处所需的最短时间 9-7 当重力加速度g改变dg时单摆的周期T的变化dT是多少找出之间的关系式 一只摆钟单摆在g 980m?s2处走时准确移到另一地点每天快10 s问该地点的重力加速度为多少 9-8 2×10-2 m周期T 1 s初相 1试写出它的振动方程2利用旋转矢量图作出x-t图v-t图和a-t图 9-9 两质点沿同一直线作同振幅同频率的谐振动在振动过程中每当它们经 过振幅一半的地方时相遇而运动方向相反求它们的相位差并作旋转矢量表示之 9- 质量为010 kg的物体以振幅10×102 m作谐振动其最大加速度为40 m?s2求 1振动的周期2通过平衡位置时的动能3总能量4物体在何处其动能与势能相等 9-1x 6×10-2sin5t ,π 2mπ s时刻质点的位移速度和加速度4动能的最大值 9-12 一质点同时参与两同方向同频率的谐振动它们的振动方程分别为 x1 6 cos2t ，π 6 cmx2 8 cos2 t ,π 3 cm 试用旋转矢量法求出合振动方程 9-1同频率的谐振动π 6若第一个振动的振幅为0173 m求 1第二个振动的振幅2第一第二两振动的相位差 9-14 试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅 第一组 第二组 9-15 示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用若电子在两个方向上的位移分别为x Acosωt和y Acosωt φ求在φ 0φ 30?φ 90?各情况下电子在荧光屏上的轨迹方程 aφ2,φ1 2kπ A A1A2 bφ2,φ1 2k 1π A A1,A2 c任意相位差 图9-12 初相位差不同的两个简谐振动的合成 图9-9a 图9-9b 图9-9c 图9-9d 即 2 简谐振动的能量 3 简谐振动的合成 图9-14 两个等幅的相位差为的相互垂直的同频率的 简谐振动的合成