正确理解开普勒第二定律

正确理解开普勒第二定律 1. 开普勒第二定律的内容 对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。因此人们也把它叫做面积定律。 由开普勒第二定律引出的推论 2. 设行星1和行星2运行轨道的半径分别为R和R，当时则有 12 (1)行星1的线速度大于行星2的线速度，即; (2)行星1的角速度大于行星2的角速度，即; (3)行星1的加速度大于行星2的加速度，即; (4)行星1的运行周期小于行星2的运行周期，即; (5)在相同的时间内，行星1的运行路程大于行星2的运行路程，即; (6)在相同的时间内，行星1扫过的角度大于行星2扫过的角度，即。 3. 开普勒第二定律引出的推论的 证明 太阳系中的两颗行星(例如地球和海王星)的运动近似看作匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为R和R，如图1所示。由开普勒第二定律可知，在12 相同的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积S跟海王星与太阳扫过的面积S12相等，即S,S。 12 图1 由面积公式，得，因为R2，所以。由，1 相等的时间内θ角度大的，角速度一定大，即。再利用，有 ，可得。行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可列等式，简单整理便有，可得。进一步推得，在相同的时间内行星1的路程就大于行星2的路程，即。再利用向心加速度公式，因为，，所以。 4. 推论的拓展 开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用绕太阳运转的所有行星，也适用于绕以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。 例1 两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比T:T,1:8，则AB 轨道半径之比和运动速率之比分别为( ) A. R:R,4:1 v:v,1:2 ABAB B. R:R,4:1 v:v,2:1 ABAB C. R:R,1:4 v:v,1:2 ABAB D. R:R,1:4 v:v,2:1 ABAB 解析 中已知A、B两卫星的运转周期T:T,1:8，由前面的推论4可知，AB 卫星B的轨道半径大于A卫星的轨道半径，于是把选项A和B排除;由推论1及证明可知，轨道半径大的卫星速率低，因此选项C错，选项D正确。 例2 如图2所示，一颗绕太阳运行的卫星，当该行星由a向b运行的过程中，下列说法中正确的是( ) A. 行星运行的速度增大，角速度增大，加速度增大 B. 行星运行的速度增大，角速度减小，加速度增大 C. 行星运行的速度减小，角速度增大，加速度减小 D. 行星运行的速度减小，角速度减小，加速度减小 图2 解析 行星由a向b运动，由图可知，行星在b处的轨道曲率半径比a处的大，在a、b处可以想象以太阳为圆心，以为半径的两个同心圆，再利用前面给出的推论，轨道半径大的周期大，其线速度、角速度、加速度等都小，即 ，故选项D正确。 配套习题 1. 把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A. 周期越小 B. 线速度越小 C. 角速度越小 D. 加速度越小 2. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大 B. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 C. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大 D. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小 3. 火星有两颗行星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知 火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期的周期性为30小时18分，则这两颗卫 星相比( ) A. 火卫一距火星面较近 B. 火卫二的角速度较大 C. 火卫一的运动速度较大 D. 火卫二的向心加速度较大 配套习题: 1. BCD 2. BD 3. AC