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费玉清经纪人、费玉清经纪公司、费玉清出场费 中1对1课外辅导专家 导数定义 2,,1xx,(),b,x,1yfx 在处可导，则 例1、a,,ax，bx,1, 2,,1xx,(),x,1yfx思路: 在处可导，必连续 limf(x),1,,x,1ax，bx,1, a，b,1 ? limf(x),a，bf(1),1，x,1 y,,ya,2b,,1 ? lim,2lim,a,，,x,0,x,0x,,x 导数求极值 132a,0例2、(2009山东文21)已知函数,其中 fxaxbxx()3,，，，3 1) 当满足什么条件时,取得极值? (a,bf(x) ba,0(2) 已知,且在区间上单调递增,试用示出的取值范围. af(x)(0,1] 22axbx，，,210f'(x),0解: (1)由已知得,令,得, fxaxbx'()21,，， 2axbx，，,210要取得极值,方程必须有解, f(x) 222,,,440baaxbx，，,210所以?,即, 此时方程的根为 ba, 2222,,,,,,244bbabba,，,,，,244bbabbax,,x,,,, 122aa2aa 所以 fxaxxxx'()()(),,,12 a,0当时, x (x,x) x x(-?,x) (x,+?) 1 12212 f’(x) 0 0 ， , ， f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x, x处分别取得极大值和极小值. f(x) 12 a,0当时, x (x,x) x x(-?,x) (x,+?) 2 21121 f’(x) 0 0 , ， , f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 1 中小学1对1课外辅导专家 在x, x处分别取得极大值和极小值. 所以f(x) 12 2综上,当满足时, 取得极值. a,bba,f(x) 2(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立. fxaxbx'()210,，，,f(x)(0,1](0,1]ax1ax1恒成立, 所以 即bx,,,,,(0,1]b,,,()max22x22x 12ax(),ax1a1a设,, gx(),,,gx'(),,，,2222x222xx 11x,x,,令得或(舍去), gx'()0,aa 11ax1a,1x,(0,)时,,当时,单调增函数; 当01,,gx(),,,gx'()0,a22xa 1ax1x,(,1]当时,单调减函数, gx(),,,gx'()0,22xa 11x,ga(),,所以当时,取得最大,最大值为. gx()aa 所以ba,, 1ax1,101,,a当时,,此时在区间恒成立,所以在区间gx(),,,(0,1]gx'()0,22xa a，1a，1x,1上单调递增,当时最大,最大值为,所以 b,,g(1),,(0,1]gx()22 a，1a,101,,a综上,当时, ba,,; 当时, b,,2 利用导数证明不等式 例3、求证下列不等式 22xxx,,ln(1，x),x,(1) (相减) x,(0,，,)22(1，x) 2x,(2) x,(0,)(相除) sinx,,2 ,x,sinx,tanx,x(3) x,(0,) 2 221x,1x,()ln(1)()f(x),,1，x,,0证:(1)fx,，x,x, f(0),021，xx，1 2 中小学1对1课外辅导专家 为上 ? 恒成立 ? ,y,f(x)(0,，,)x,(0,，,)f(x),0 22xxln(1)g(x),x,,ln(1，x)? ，x,x, g(0),022(1，x) 2224x，4x,2x12x, g(x),1,,,,0221，x4(1，x)4(1，x) 2xx,,ln(1，x),0? 在上 ? 恒成立 ,g(x)(0,，,)x,(0,，,)2(1，x) sinx2,cosx,0x,tanx,0(2)原式 令 x,(0,),,f(x),sinx/x,2x ,,cosx(x,tanx),,? ? (0,) x,(0,),f(x),0f(x),222x ,22x ? f(),sinx,,,2 f(x),tanx,2x，sinx(3)令 f(0),0 2(1,cosx)(cosx，sinx)2,f(x),secx,2，cosx, 2cosx ,,, ? x,(0,)(0,),f(x),022 tanx,x,x,sinx? 求取值范围 932,(2009江西卷文)设函数((1)对于任意实数x，恒fxxxxa()6,,，,fxm(),2 成立，求的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围( mfx()0, ''2解析 (1) , 因为,, 即 fxxxxx()3963(1)(2),,，,,,fxm(),x,,,，,(,) 32恒成立, 所以 , 得m,,，即的最大值为m39(6)0xxm,，,,,,,,,8112(6)0m43, 4 '''x,1x,212,,x (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; fx()0,fx()0,fx()0, 5x,1x,2 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 fa(1),,fx()fx()2 3 中小学1对1课外辅导专家 ; fa(2)2,, 5a,2故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或a,. f(2)0,f(1)0,fx()0,2 导数求最值 32(2010重庆文数19)已知函数(其中常数a,b?fxaxxbx(),，， ,gxfxfx()()(),，R),是奇函数. (?)求的表达式; fx() (?)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. gx()gx() 2,解:(?)由题意得 f(x),3ax，2x，b. 22, 因此是奇函数，g(x),f(x)，f(x),ax，(3a，1)x，(b，2)x，b.因为函数g(x)所以有 g(,x),,g(x),即对任意实数x, 3222 a(,x)，(3a，1)(,x)，(b，2)(,x)，b,,[ax，(3a，1)x，(b，2)x，b], 1 从而 3a，1,0,b,0,解得a,,,b,0,因此f(x)的解析表达式为3 132 f(x),,x，x.3 122,, (?)由(?)知，g(x),,x，2x,所以g(x),,x，2,令g(x),0,解得x,,213 ,x,2,则当x,,2或x,2时,g(x),0,从而g(x)在区间(,,,,2],[2,，,)2 ,g(x),0,上是减函数;当从而在区间上是增函数。 ,2,x,2时,[,2,2]g(x) 由前面讨论知，而g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x,1,2,2时取得, 5424g(1),,g(2),,g(2),. 333 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 424g(2), ，最小值为 g(2),.33 4