探求圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径

探求圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径 武增明 【专题名称】高中数学教与学 【专 题 号】G312 【复印期号】2010年05期 【原文出处】《中国数学教育:高中版》(沈阳)2009年12期第38,39页 【作者简介】武增明，云南省玉溪第一中学。 【关 键 词】EEUU 求圆锥曲线离心率的取值范围的问题，是高考热点，这类问题涉及多个，综合性强，解法灵活且多种多样，许多学生在解决这类问题时感到不知从何入手。其实解决这类问题的关键是如何挖掘寻找问题中的不等关系,如何求解圆锥曲线离心率的取值范围,其思维途径何在,本文试图通过实例对此问题做一些探索。 一、走函数值域之路 图1 【点评】通过对题目已知条件的分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率e关于有关变量的函数关系，通过求函数值域求得e的取值范围。 二、走判别式之路 例2 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线离心率的取值范围是( )。 图2 【点评】解答本题的关键是利用均值不等式，寻找到a、b、c之间的不等关系式，从而获解。 四、走三角形性质之路 图3 【点评】根据三角形中恒有“两边之和大于第三边”这一简单的性质，是建立a、b、c之间的不等关系式的关键。 五、走圆锥曲线的范围之路 【点评】利用圆锥曲线的范围建立关于a、c的不等式，从而得到关于e的不等式，由此求出e的取值范围，是求e的取值范围的一种基本方法。 六、走渐近线的性质之路 例6 (2006年高考福建卷?理10)已知双曲线(a,0，b,0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )。 A.(1，2] B.(1，2) C.[2，+?) D.(2，+?) 解析:此题可以用代数方法求解，即将直线与双曲线方程联立，根据判别式就可确定离心率的取值范围，但计算比较繁琐，因此考虑用几何方法，利用渐近线的几何特性去求离心率的取值范围。 图4 因为过点F且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，如图4，所以渐近线的斜率不小于过点F且倾斜角为60?的直线的斜率，即，解之得e?2，故答案选C。 【点评】渐近线控制着双曲线的形状，这与离心率控制着双曲线的形状有着异曲同工之妙，许多求双曲线离心率的取值范围的问题就可以利用渐近线的性质来解决。 探求圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径，并非仅有上面介绍的6种方法，这6种方法仅是基本的、重要的、常见的、常用的方法，除此之外还有数形结合法、参数法等，限于篇幅，在此不再赘述，留给读者在学习中探究。^NU1DA20100701