群论及其在机器人装配中的应用

群论及其在机器人装配中的应用 这样的规律,在18世纪末,19世纪初出玑了群论.群论最初主要研究置换问,随着群论研 究的深入,群论已成为近世数学的一个重要分支,If:1)裂成许多或多或少的独立科目;群的一 般理论,有限群论连续样沱,离做群论,群帕丧示沧,拓扑群等l9世纪到20世纪,群通过其 表示论在自然科学_f『得到了广泛的应川,删枷在几何学,结品学,原子物理学,结构化学等领 域,群的表示经常出现在具有对称性的问题研究中如今,群论的方法和概念,不仅是解决对称 规律的重要工具,而且是解决他许多闸题的重要工具. 在机器人领域,群论最初主要应不1在机器人运动学的研究中.,随着研究的进一步深 入,机器人的装配,标定和控制等都刚到眨.从懈论的角度来看,机器人的位置无论是用矢量 表示,还是用旋量表示,或以元数,双四元数等他形式表示,其运动变换可以看作是群运 算.因为在变换过程中,连朴的内部结构不变,其变换可以看作是欧几里德群的子群,群中的变 换包括旋转和平移两种.在机懈人运动学rl『.若采川砰描述机器人的运动,可以使表达更简洁 更通用,便于符号推,利川论描述机人运动还便于殳计通用的机器人语言j.在机器人 操作中,操作物体坷常是对称的或具有对称特性,用一般的数学工具很难描述其相对位置, 而用群可以很方便地描述午?对关系,特;4是在装配任务|I1,当相互匹配的两个零件具有对称 性时,它们有很多装配位置+川一般的数学工具比较难描述,用群就可很容易地表示并进行推 理.机器人在许多操作过程1具有非线性和非完整性,常用的线性控制不能满足其控制性 能要求,人们开始用非线系统帕几何耻I仑来解决,其状态变换是在流形上进行的,它使用的 工具是李群和李代数‘,李样是连续群{r重要的一种. 这里首先介绍率文用到呐一些砰论帕基率概念.然后介绍用群表示空问物体和它们间 的相对位置,以及样汜在机器人运动学干?装配rf|的应用,最后简单地介绍群论在机器人其他领 域的应用. i99‘/一07一z1收懈 机器人1998年9月 2群论的基本概念及机器人中常用的特殊群 2.1群的基本定义和基本性质 若一个非空的集合G,在某种运算(一般称为乘运算.)下为封闭的,具有单位元素,每个 元素具有逆元,并且满足结合律,称此集合及其运算为群,记为(G,*.).若群具有.‖个元素, 称之为‖阶有限群,若群具有无限个元素,则称之为无限群.若H?0,HcG,若(,*,)也 为群,则称为G的子群.若两个子群,HCG.则HNH:也是G的子群.如果S是G的 一 个子集,gP(S)是由S产生的群G中包含S的最小子群. 若是G的子群,gEG,那么等价类[]一{hgIh?H)称为群G中子群的右陪集.记 为Hg.同样,?G的左同余等价类[]={ghIh?H)称为群G中子群的友陪集.记为 gH. . , 如果群G的一个子群.对于G的每一个元索来说,有g=gH,则称为G的一个 不变子群或正规子群.用对于某不变子群来说的所有陪集作元素组合成一新的集合,这个集 合对陪集的乘法来说是一个群,这个群叫作群G对不变子群H来说的商群. 设M和M两群,若映射—M:,满足V‖,b?M.,()一(―)(6),那么称是 到M的同态映射,并说M和同态.若是可逆映射,那么称是M到M的同构映射, 并说和M同构.群及陪集,存在下面的基本性质. 性质l子群HCG的双连陪集是同构于的子集g晰由g-决定的右陪集. 性质2如果,:是G的两个子群,g?G,那么HnHg要么是空集,要么是n :的陪集. 性质3两个右陪集的交或者是右陪集或者是空集. 2.2欧几里德群‘ 在机器人研究中.用到最多的是欧几里德群.因为在讨论机器人的运动和操作时,机器人 的连杆和操作物一般认为是刚体,所以可以很方便地使用欧几里德群. 讨论三维空间刚体的对称性时,把三维空间的一个点作为一个三维矢量,0,i,j,分别表 示零矢量和沿轴向的单位矢量.欧几里德群E是由尺到R的映射组成,称此映射为变换元, 它保持变换物体的内部结构不变,群操作的定义为(g:)(r)=(g(r)).把它扩展到一维空 间的子集的映射,一个形S是尺的一个子集,一个变抉若满足(一S则称g是S的一个 对称变换,S的对称集三(S)是欧几里德群的子群(这样的子群称为S的稳定集). 空间射线对称群中的元素称为旋转变换,此射线称为对称轴.一个变换如果保持变换 后的方向不变,则称为平移.平移变换有3个子群;,,,它们分别保持i,,的方向不 变.在机器人的运动学中,欧几里德群的最一般的表示是齐次变换矩阵. 球的对称群掏成的球群–三(O)是旋转群的子群;Vg?E,可以写成这里g,是旋 转变换,g是平移变换;而且存在g‘使g‘g,一g,所以是E的正规子群;商群E/同掏千 S{m变换具有特性,‖()一一i,M()=』;具有特性f?C.c()=的子群CcSph称为圆群; 子群D=?{m)nc称为两面群,它或者使i固定不变或者使它翻转. 在机器人的构件中,大多是规则物体,也就是说它们由正多面体或棱柱组成,其截面为正 多连形.其对称变换可以表示为欧几里德群的有限子群.有限循环群 C是C的子群,它由旋转 2k~/n,一0….一1组成,是正‖边形的对称群.如六棱柱螺帽的对称群为.同时规则的 第2O卷第5期卢江舟等:群论及其在机器人装配中的应用 正棱柱有另外的对称特性,它具有翻转对称性,其对称群为两面群D=CU{m),一般记为 D.一{1,m}.正多面体如四面体,八面体,十六面体等及规则棱柱的对称群在许多教材中均有 介绍. 3空间物体的表示 3.1形状 在CAD/CAM中一般是通过构造几何实体来定义物体的形状,这些形状由一系列的规则 基本型的布尔组合构成.此处规则的意思是物体的外形是有界的,封闭的.现阶段群论在机器 人中主要讨论机器人变换的对称性,故一般用无限基本体表示机器人及其环境的形状. 在机器人的应用中经常用到下面的标准形: half是一个半空间{(,Y,),?0}~(haIf)一丁T:C cyl(,)是一个半径为r的无限圆柱,其旋转轴沿轴方向,2(cyl(,))一丁D. -, sph(,)是球心在原点半径为,的球,2』(sph(,))一. cone(a)是半角为n,顶点在原点的,轴线方向和张力方向沿轴的半无限圆锥,~(cone ))一C. tar(rJ,rz)是主半径为rJ从半径为,:的圆环面,tot(,lm)一D. 3.2物体及其特征的表示 空间物体可以认为是三维空间的于集,它可以表示为基本形的组合,但这种方式并不 能反映物体的对称的基本特性,为了完整的表示一个物体,可以用一个序对(F,表示一个物 体,这里F是物体的一组特征,是物体形状的表示Vf?F由3个元素组成(口,s,),是物 体的特征名,s是标准形,?E定义物体特征的位置,记作pas(,),形的特征为g(s),物体的 形一般表示为树状,顶端为基本形名称,它们通过井,交,和布尔减联系起来. 一 个实体是连通的刚体,它是欧几里德空间的于空间,其基本特征是连通的,既约的, 无限的代数曲面,它和实体一个有界表面部分或全部地重合.当s为一特征,其对称群G称为 特征s的对称群. 在表示两个或多个物体间的关系时,由一个基本特征常常不能完全表达清楚,往往需要多 个特征组合,组合特征定义为一组基本特征的井,例如一组特征F,F:….F其组合特征为: F—F?UFzU,…,UF>1.两个特征之问具有相互独立,一阶迭合和二阶迭合等关系.当各 个特征间相互独立时,组合特征的对称群是各个基本特征的对称群的交.即 G=GNG.N…n(1) 对于一阶迭合和二阶迭合的情况,文Eg]中有详细的描述和. 4空间物体的相对关系 4?1空间关系 空间物体由多个基本特征构成-两个物体之间的位置关系可由基本体之间的关系表示,假 如两个基本特征间的关系一定,则这些基本特征用其对称群中的元素进行变换,两个基本体间 的相对关系保持不变,对于有多个基本体的物体则需要用组合特征和组合对称群表示.对两个 物体B-,它们分别具有对称特征,l,,Bt,B:的位置P,P:的关系可以表示为 户?pos()Z(f:)P,,l,,2)三(,)pos(,1)户(2) 机器人1998年9月 这里(Pf.,f)是表示两个特征间关系的元素,P表示具体的关系例如重合,交等.以上是两 个物体位置关系的基本等式.对于不同的特征(或组合特征)可以用很具体的表达式,如图l所 示的两个平面迭和的情况,表示物体1和2垂直方向位置关系的基本特征是水平方向的两个 无界的平面:,和.物体1和物体2问的位置关系可以表示为 户2?{pos()‘mtwix(O)trans(O.,)pos(fI)户.『,?R)(3) ()表示绕x轴旋转0角.当然以上只限制了两 个物体之间的一个方位的相对关系,要完全确定两个 物体问的关系还得利用其他的基本特征,在本例中为 垂直方向的其他两个无界平面(垂直方向的特征). 当两个基本特征间的关系为重台时,在式(1)中存:: 在(P,f,)=1,两个基本特征相同,式(2)可以简写 为; ?pos(,2)三(,I)pos(,I)声】征和有直接关系. 5群在机器人装配运动中的应用 机器人的变换可以按照无限连续群的分类法,分成几种基本类:丁,R,丁,,,G,等, 其意义在文献Eg]的表l中有详细的描述,机器人的位移变换可以表示为子群元素的乘. 前面已经讲过,物体运动可以分解为欧氏群的子群中的平移元和旋转元的乘.H=Trans ()/7=trans妇,b,f)/7,在机器人的旋转变换中,旋转元为单位正交的变换.故其逆变换可以 表示为:H=Htra~xs(一n,一,--c).在机器人的符号运算中.机器人的一般运动可以表示为 下面3种基本运动;trans(q,,).Twis(),XTOY.符号运算中一般用这3种运动进行符号运 算. 除运动变换外.群还可以用来表示机器人运动的约束.计算机器人末端的可能的运动. Herve…很早就利用连续群理论对机柯进行了合理的分类,因为两个通过低副机构相连的物体 的运动是欧氏群的正规子群,决定两连杆相对位置的独立变量称为其自由度,这种自由度的概 念可以推广到三维空问的欧氏群的子群中.Herve从群论的观点给出了机构的约束的组成和 交,对两用的较多,现在许多学者也开始使用李群和李代数 方法.Tchon0‘研究了用车群的子群解决冗余度机器人的道运动学『u]题;Brockett0使用群研 究了链式机器人的通用运动学表达形式一一指数形式,在此基础上不少学者研究了机器人运 动学的计算和动力学方程的表达等问题. 6群在机器人装配中的应用 当装配中两个物体的装配面存在对称时,则存在无穷多的装配位置, 如图2所示的装配关 系,两个工件具有旋转对称关系,这种情况用一般数学方法比较难计 算,表达.而使用群则很容 易表达,便于推理. 图2装配关系 在装配中,装配特征的选择和子群求交是 装配中要解决的两个基本问题.零件基本特征 一 般选择装配面的组合特征,图2所示的装配 零件,其特征面为匾『柱面和平面,如图中的虚线 所示,实际上他们是无界的曲面.在以上两个基 本特征中,圆柱面确定两个物体水平方向的相 对位置,平面特征确定两个物体垂直方向的相 对位置.在两个基本特征重合时,两个零件的装 配关系也就随之确定. 用符号表示物体的水平位置关系为: 户:户-?pos(f:)..三()pos暑(,--)一{1).装配规划的任务就是寻找物体 的位姿,使其特征(或组合特征)满足装配 条件,还有另一个任务就是计算子群的交. 7小结 群论在机器人中应用的研究应该说还是初步阶段,以前主要集中在机器人运动学及相关 的领域,使用符号推理的速度也比较慢.现在它已经逐渐应用到机器人装配,传感器标定,机器 人控制和机构等领域.随着群论的进一步研究,它不仅适合于解决对称问题,也可以解决 其他问题,同时使用群论使表达更为简洁和通I曰,并且适台于计算机推理和计算,相信它会更 广泛地应用于机器人的各个研究领域. 参考文献 ll-lerv~JM-TuctuTjMe,anilinesP{1rGToupDesDephlcemem.M~x‘hM;I ch~heory.1977,13{4)I}37, 450 2F;mgheilaP?KinenutticaoSli;LILitlkslgesbyGroI‘pAlbra{ASIrucTure —basedApproach,MechMachtheory.? ?3),17卜一183 400 - 机器人l998年9月 3Cllew,llierDP.Lialgebra‘,ModulesDealQuaternlonsandAlgebraicMIho d{nKi……ti8.Me11lvIachIheory,26 (6)613~627 4TchonK.DifferentiaITopologyofInverseKinem~,ticPrublemforRcdundanlRobotManipolators.1ntJRoboticsRe— search.10(5):492,504 5PopplestoneRJ.GroapTheoryandRobotics.InRuLlulicsRe~JrchrTheForstla1.SyrupC~mbridg~,MAlMITpre*s 6ThomasF?TorrasC.AGroup—theorelApprc~ichtotheComputl,tionofSy mbolicPartRelations.IEEEJRobot&Au— tomation,1987,4{B)l622,634 7ThomasF?TorrasC.1nlerringF~sibieAssembLiesIranLSpatialConstraints.IEEEJRubot&Automation,4(6)I622, 634 8PopplestoneRJ?AmblerAPr_l1.AnInterp~terforLanguageforDescribingAssemblies.ArtificialInte][i— genee,1980r14|79,107 gYanxiLiurPopplestoneRJ.AGroupTheoreticForm~,llz:Ltion0fSurf.l? 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Lionandcharactersticsofthegroupis{ntroduced.Second,theexpressionofobjectcharacteristicandsurfa.e parameterusinggroupisintroduced.Thirdly-thewaytoexpressthepositionr elationshipandkinematic chainofthespaceobjectusinggroupisdusd.Finally,theapplicationofgroupin robotassemblyplan— ningandrolotkinematicswaspresented. KeywordsRobot?group.assemblyplanning 作者简介 卢江軎男,工学博士.研览领域:机器凡规划与控制. 燕才格,男-中国科学院院士.研完领域:机器凡学,精密州量技术先进 制造技术 象毒先:芽-中圊x-#~Z院院士.研究领域:机器凡学,机构学. r ? r