十字相乘法教案

十字相乘法 十字相乘法(2) 教学目标: 21.知识目标:使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为，x(a，b)x，ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。 2.能力目标:通过问题，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力;训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。 3.情感目标:通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。 教学设计思想: 本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。 在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。 教学过程: 一、复习引入 1(回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤 2例,:把多项式x,3x + 2分解因式。 解: x ,, x ,, 2x,3x + 2 , (x,,) (x,,) 像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。 提问:是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式, 2答:不是，(反例:x +,x,2)。 2提问:形如x，px，q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式, 2请同学:(板书)x，px，q 当q,ab，p ,a，b时， 2 x，px，q = (x，a) (x，b) (*) 再提问:在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么, 答:试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项;交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。 如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。(根据情况，可选择数学符号语言表述) 1 2(计算:(口答) 11? ; 99，10022 2 2? (x，1) ,,(x,1) (x，1)，(x,1); 体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。 2 二、 引导问题设计，把可以转化为，x(a，b)x，ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。 1.复习中已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式: 63例,. ? y,3y+2; 2 ? (a+b),3(a+b)+2; 3?中设“y ”为 “x”, ?中设“(a+b)”为 “x”;这两道题可化归为例,进行分解。 请同学体会，引入辅助元“x”，培养整体代换和化归思想方法。可以帮助我们利用十字相乘法，灵活进行较复杂多项式的分解因式 ) 2 引导同学对问题中 ? (a+b),3 (a+b)+2;进行变式设计 (分解因式:?(a+b -3) (a+b)+2;) 理解:(*)式中“x”只能是单独的字母吗, 答:单项式，多项式，整式(单项，多项式的统称)， 代数式(如不是整式，虽不是因式分解，但仍可以进行代数式的恒等变形) [试一试，仿例题，将“x”可能的情况分类，然后设计题目，训练整体代换和化归思想方法的运用。 *表扬有创意的设计，请同学解题，分析，进一步理解运用十字相乘法分解因式的注意点。] 2.提问:(*)式中“末项”只能是常数吗, 答:单项式，多项式， 例2(把下列两式分解因式。 22? x，6xy，8y; 22?(a+1) ,3 (a+1)b + 2b; 22分析:?把x，6xy，8y2看成是x的二次三项式，这里常数项8y是， 一次项系数是6y，把8y2分解成2y4y与的积，2y，4y,6y， 正好等于一次项系数。 ?解: 22 x，6xy，8y,(x，2y)(x，4y) 22?解:(a+1) ,3 (a+1)b + 2b; =(a-b+1) (a-2b+1) 2 22例3:把(x-3x，2) (x-3x-4),72分解因式; 2解法1:设“(x-3x，2)”为 “y”, 2解法2:设“(x-3x-4)”为 “y”, 2解法3:“(x-3x)”为 “y”。 略 变式:?(x-1 )(x+1) (x,2) (x,4)-72; 22?(x-5x，4) (x-x-2),72 3.课堂练习:练习题(题目分组，小组互批) (分析时，引导同学总结多项式分解因式的注意点，如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正;一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等) 4.请你设计一道形式如例1的因式分解题。进行变式设计，体会字母可以代替任意的数 2和式。(使学生掌握通过代换方法，把可以转化，为(ax，b)x，ab型的多项式分解因式。) (同学合作，交流) 。。。。。。 5.课堂小结:(1.知识;2.数学思想方法;3.其他)略 6.作业:(1.P 294:1;P 310:24，25。2. 5中的作业 ) 2(7.问:“首项系数不是1的二次三项式，axbx，c能利用十字相乘法进‎‎行因式分解吗, 分析依据:因式分解是与整式乘法相反方向的恒等变形 2请同学们思考，探求形如ax，bx，c的二次三项式进行因式分解的一般步骤，并设计2一组可以转化为ax，bx，c型的多项式的分解因‎‎式题目(给出解答)，巩固分类讨论、整体代换和化归思想方法。(回家作业) 8(因式分解有广泛的应用，请尝试改变题型设计， 1.求值题 22例:?已知x，2x=3，求代数式x，6x的值; 22 22 22?已知(x，y)(x，y-1)-6=0，求代数式x，y的值; 422222?已知3x2，xy-2y=0，求代数式x- y +x-y的值; 93 2.其他 引导同学问题设计。(回家作业) ) 3 由整式乘法得到 (ax，c)(ax，c) 2122 2 ,a1a2x，a1c2x，a2c1xc， c12 2 ,a1a2x，(ac，ac)x，cc 122112 反过来就得到 2 a1a2x，(ac，ac)x，cc 122112 ,(ax，c)(ax，c) 1122 我们发现二次项系数a分解成a1、a，常数项c分解成、cc， 212 并且把a1、、ac、c2排成如下: 21 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1，acc，如果它正 221 2 好等于ax，bx，c的一次项系数b，那么ax2，bx，c就可以分解成 (ax，c)(ax，c)，其中a、c1位于图的上一列，、ac位于 1122122 下一列。 `必须注意，分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以 往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘 4 法分解。 2例如:把 6x,7x,5分解因式。 2 6x,7x,5,(2x，1)(3x,5) 2例3(把多项式 6y,13y，6 分解因式 仿照课本p292,例8，请你设计一组题，体会字母可以代替任意的数和式。掌握通过代换方 2法，把可以转化为a1a2x，(ac，ac)x，c1c2型的多项式分‎‎解因式。 1221 小结: 5