【doc】一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数

【doc】一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数 一类条件独立的随机变量和的密度函数与 分布函数 第2卷第1期 2005年3月 长沙理工大学(自然科学版) JournalofChan~haUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience) V0J.2No.1 Mar.20o5 文章编号:1672—9331(2005)01—0071—04 一 类条件独立的随机变量和的密度函数 与分布函数 王苏明,赵人可 (长沙理工大学数理经济研究所,湖南长沙410076) 摘要:给出了一类随机变量函数列i.i.d.的条件,并就一类满足某种条件独立的连续型随机变量序列,给 出了其和的密度函数和分布函数. 关键词:随机变量序列;独立同分布;密度函数;分布函数 中图分类号:0211.62文献标识码:A 1问题的提出 在随机环境分枝过程的研究中,对母函数是i.i.d.的情况的研究具有很重要的意义.本研究给出了 此类随机变量函数i.i.d.的条件.同时,就一类满足某种条件独立的连续型随机变量序列,给出了其和的 密度函数和分布函数. 设(n,P)是一概率空间,;:{,n=1,2,…}和={,n=1,2,…}是(n,P)上的随机 变量序列,令()是取值于非负整数集上的概率分布列,(s)=(),S=X?+2+…+ =0 X,g()表示S的密度函数,G()表示S的分布函数. 2主要定理及结果 引理1若l,2,…,是i.i.d.的随机变量序列,且对任意固定的i?R,F(',)=. ()(i=1, 2,…,n)是任意的一元Borel可测函数,则F(l,1),F(2,2),…,F(,)相互独立.特别地,对任 意 固定的?R,F(l,),F(2,),…,F(,)i.i.d.. ,a?R,有: 证因为对任意的al,a2,… P(F(l,1)?al,…,F(,)?a)= P{l?F:. ((一?,a1]),…,矗?F:((一?,a])}= P{l?F:((一?,a.])}…P{?F:((一?,a])}= P(F(l,1)?a1)…P(F(矗,)?a). 所以F(l,1),F(2,2),…,F(矗,)相互独立. 收稿日期:2005—01—06 基金项目:国家自然科学基金资助项目(2002-87) 作者简介:王苏明(1981一),女,湖南永州人,长沙理工大学硕士研究生,主要从事两 参数马氏过程和随机环境中马 氏链的研究. 72长沙理工大学(自然科学版)2005年3月 又 P(F(1,)?D)=P{l?F:((一?,口])}: P{,,?F二((一?,o])}:P(F(,)?o). 所以F(l,),F(2,),…,F(,)i.i.d..? 定理若I,,…,,…,i.i.d.,且(?)是Borel可测的,则对固定的,{(),n:1,2,…} i?i.d.,且{(1),,l=I,2,...}也i.i.d.. ' 证因为(?)是Borel可测的,则(): 的J,{(j),,l=1,2,…}i.i. d.. ?()关于也是Borel可测的.由引理I,对固定 j-I 由于(1)()-『,类似地,可知{(1),n=1,2,…}也i.i.d..? 定理2若对任意固定的s,{(5),,l=1,2,…li.i.d.,则{(1),,l:1,2,…}也是i.i.d.. 证?== 鲁故}降.可得对任意的口l,n2,…,口?R,有:,? P((1),…):P(卿? 1一(s) 口",—T?口)= Pc,…,,: . Pc,: P(--罢?口.)…P(==i?): P((1)?口1)…P((1)?口). V P((-)?口.):P(?口,): P(二?口 .):P(西,(1)?口). 综上所述,知{e(1),,I=1,2,…}i.i.d..? ., 定理3假设l,2,…,…,i.i.d.,F(.,)是B.rel可测的分布函数. 如果Xl,…,是一列随 机变量,且满足 P(XI?l,…,以?XnI)=F(1,1)…F(,,). 则,,…,以i.i.d.. 进一步,如果 F(,):f一e一.'气,?0; LU,<0. 口为Borel可测函数,则 (I) (2) :一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数73 第2卷第1期王苏明,等 g:fEcac-e一口(),?.;【0.<0. (3) ):1.+….+)].(4) 证由F(?,)是分布函数易知:对任意的k:1,2,3,…,F(,?)=1.在式(1)两边,令-1;2,3,…, 一?,有E(,《. }I{):F(车l,x1),故 E(E(Il.《.}I{))=P(l?x1)=E(F(l,1)). 同理可得,对任意的k=1,2,3,…,有: P(?I)=E(F(,I)).(5) 因为l,2,…,…i.i.d.,又对任意固定的?R,F(?,)是Borel可测函数,故由引理1知,F(l, -1;1),F(2,2),…,F(,)相互独立.由此及式(1)和式(5)可得: P(Xl?l,…,?)=E(F(l,1)…F(?))= E(F(l,1))…E(F(,))=P(Xl?1)…P(以?). 又由式(5)及l,2,…,,…i.i.d.,知Xl,,…,以同分布. 综上所述,得证Xl,X2,…,以i.i.d.. 进一步,如果式(2)成立,则有: Fl()=Fk()=P(?)=E(F(,))= 1一E(e一''),?0, : 1,2,…,,I. L0.<0, ()=()= fE[口()e一口'气'],?0,:1,2,…,,I.'6' 【0.<0, 用归纳法证明式(3)成立. 当,I:1时,由式(6)知式(3)显然成立.假设式(3)对n=后时成立,由于 Ig+l(t)dt=P(Xl+X2+…++l?)= lP(Xl+…+?—Y)P(+l?dy)= 一 (s)+l(,,)dsd,,. 上式对求导,有: l ()=J.(一,,)+l(y)dy J':g(,,)_,+.(一,,)d,,:J'(.(.)e-=(t=t)y)(a(+.)e一口(+-)(一y')dy= :)e-.(t=t)x: J0,^一,; E()e-.(t=t)x 0 ) J,^一?,; 74长沙理工大学(自然科学版)2OO5年3月 [1] [2] [3] [4] [5] [6] E(.(.).一a(e.)). (3)成立. 所以,当n:k1时,式 综上所述,对任意的n>0,式(3)都成立. 对式(3)进行积分得式(4). (参考文献] FeHerW.AnIntroductiontoProbabilityTheoryandItsApplications[M].NewYork:JohnWiley&Sons,1971. 李应求.双无限环境中马氏链的存在和不可约性[J].物理,2001,21A(4):439— 442. 李应求.状态可数的马氏环境中马氏链函数的强大数定律[J].数学杂 志,2003,23(4):484-490. 李应求,晏小兵,汪和 松.UniformlyweakErgodieityofMarkovChainsinRandomRnvirortments[J].长沙电力 学院(自然 科学版),2003,18(3):1-5. 李应求,晏小兵,李明亮.StrongErgodieityofMarkovChainsin~rtkomEnvironments[J].湘潭大学自然科学,2003, 25(3):126—130. 李应求,李明亮,汪和松,等.随机环境中马氏链的一致强遍历性[J].长沙理工大学 (自然科学版),2004,1(1):8每 9o. DensityFunctionandDistributionFunctionofTheSumforaKindof RandomVariableswithConditionalIndependence WANGSum—ming,ZHAORen—ke (InstituteofMathematicalEconomics,ChangshaUniversityofScienceandTechnology,Changsha410076,China) Abstract:Theconditionsofakindofrandomvaribleswitllindependentidenticaldistribution saregivenandtheirden— sityfunctionanddistributionfunctionofthesumareobtained. Keywords:randomvariables;independentidenticaldistribution;densityfunction;distribut ionfunction