[精华]含参变量无限积分的不合收敛性

[精华]含参变量无限积分的不合收敛性 含参变量无穷积分的一致收敛性 摘要:本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系～归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛、魏尔斯特拉斯 判别法、狄利克雷判别法等)及其性质. 关键词:含参变量无穷积分 一致收敛 判别法 ，,, 无穷积分f(x)dx与级数的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上u,n,n,1a ，,, f(x,y)dx与函数级数之间是平行的～不难想到～含参变量无穷积分，，ux,n,n,1a I亦应如此～为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的～也是学生不容易掌握的难点～从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质～以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解. 1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法 我们很自然的可以想到运用定义来证明. ，, 0,I,，，fx,ydxy,，A,定义 设区间,无穷积分收敛,若,(通,0,a ，,A，, dx>0,A>Afxydxfxy(,)(,),,,fxydx(,)用),,有||=||,则称无穷积0,,,Aaa ，, 分在区间一致收敛. I，，fx,ydx,a 用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的～方法常常A,0是采取适当放大的方法. ，,xy,,,1aa,例 1证明:无穷积分在区间[～+],>0,一致收敛～而yedx,0 ,在,0～+,上非一致收敛. ，,，,,xy,t,Ay证明 ～ ,y,(0,，,),y,dx令t,xyedt,e,,AAy 11lnln,Ay,,,对解不等式～有,取～则～有e,,,AA,A,A,,,0,00yy ，,，,xy,xy,,～因此～在,0～+,是收敛的～但不能断定是一致yedx,,yedx,,AA 收敛的～因为我们所找到的不仅跟有关～而且与有关.A,y,(0,，,)0 ，,1xy,事实上～在是非一致收敛的～只需取～,,y,(0,，,),A,0,yedx,2eA ，,'''1'1,xy,Ay,xy'',yedx,e,e,,A,2A,A,y,,(0,，,)取～则～但yedx0,,2AA ,,AyAaa,0ee,ya,在一致收敛,其中,～由不等式: ,有,解不等式[a,，,) 11lnln,Aa,,e,,,AA,A,，y,a,，,A,,有,于是取～时～对一切,有00ya ，,,xy,Ay,Aa～所以～ yedx,e,e,,,A ，,xy,a,0在,其中,一致收敛. y,[a,，,)yedx,A ，,xy,此题中～我们还可以计算出在上的收敛值.事实上～对yedx(0,，,),0 ,,xy,y,任意～都有～ yedx,1,ey,(0,，,),0 ,,xy,y,所以,limyedx,lim(1,e),1～ ,,，,,，,,,0 ，,xy,,yedx在,0～+,收敛于1. 即,0 ，,,,2I定理 1,柯西一致收敛准则,无穷积分f(x,y)dx在区间一致收敛,a AA,A,,y,I,有,A,A,,,,0,，,0,02001与 A2 f(x,y)dx,, . ,A1 ,,3 定理 2,魏尔斯特拉斯 M判别法,若～有，B,0,,x,B,,y,I f(x,y),F(x,y) , ，,，, I，，，，Fx,ydxfx,ydx且无穷积分收敛～则无穷积分在区间一致收敛.,,aa 该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法～但这种方法 有一定 的局限性:凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛～此无穷积分必然是绝对收敛,如果无穷积分时候一致收敛～同时又是条件收敛～那么就不能用定理2来判别。对于这种情况～我介绍如下定理: ,,2 定理 3 若函数在 区间连续～且f(x,y)D(a,x,，,,y,I),(a,0) x D在有界～即 F(x,y),f(t,y)dt，C,0,,(x,y),D,,a ，,xfxy(,),,0有 ,则当时～无穷积分.dxF(x,y),f(t,y)dt,C,,,xaa I在区间一致收敛. ，,sinx,xy 2 证明:无穷积分edx在区间[一致收敛。 例0,，,),x0 x,yt 证明 只需注意:令, F(x,y),esintdt,1 2(1，y),y有.F(x,y),e,0(y,，,),(x,y),D(1,x,，,,0,y,，,)21，y 类似于魏尔斯特拉斯 M判别法有如下定理: ，,,,4L,0x,aIg(x,y)dx 定理 4设在区间一致收敛～有存在,使当与,a f(x,y),Lg(x,y)时～恒有成立～且当时～对任意均y,I,,ay,I,f(x,y) ，, Ig(x,y)dxyx,,a,,关于在上可积～则关于时在一致收敛且绝对收敛.,a LL,0f(x,y),a,0,p,1,x,a,y,I 例 3 设又存在～使当时～恒有px 成立～且当时～对任意均关于在上可积～试证,,xa,,,,ay,I,f(x,y)，, 在区间上一致收敛且绝对收敛. If(x,y)dx,a ，,1 证明 只需注意此时收敛即可. dxp,xa 关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有 下述定理: ，,,,3I 定理 5含参量无穷积分在区间上一致收敛的充要条件f(x,y)dx,a ，,是:对任一趋于的递增数列,其中,～函数项级数,,AA,cn1 An，1,, If(x,y)dx,u(y)在区间上一致收敛. ,,n,n1n1,,An ，, If(x,y)dx在知道无穷积分关于y在区间上的收敛值时～可应用下，，,y,a 述定理: ，,,,4If(x,y)dxy定理 6关于在区间上一致收敛于的充要条件是，，,y,a ,,,,,limSupf(x,y)dx,(y):y,I,0,. ,,,,，,,,,a,, ，,ydxy例 4 判断关于在上和内的一致收敛[c,，,),(c,0)(0,，,),221，xy0 性. ，,y,dxy解 显然(0,，,)关于在内收敛于. 22,21，xy0 ,,,y,,, ,,limSupdx:yc,,22,,，,,2，1xy,,0,, ,,,,==～ 而lim(,arctanc,),0,,limSuparctany,:yc,,,,，,,,，,22,, ,,,y,,,,, limSupdx:y0,,22,,，,,2，1xy,,0,, ,,,,,lim==,.,,limSuparctany,:y0,,,,，,,,，,222,, ，,y,由定理6～得dx关于在上一致收敛于～在内非一y[0,，,)(0,，,),2221，xy0 致收敛. ，,,,4If(x,y)dx 定理 7关于y在区间上一致收敛于的充要条件是:,(y),a ,,lim,,，,,y:y,I(n,1,2,？)对任意,,～都有,:nnnn,,n ,n . limf(x,y)dx,,(y),0nn,n,，,a ，,yy 例 5 试证关于在内非一致收敛.(0,，,)dx2,(，)xy1 ，,yyy 证明 显然关于在(0,，,)内收敛于.dx2,1，y(，)xy1 lim,,，,,y,(0,，,)(n,1,2,？),,,n,y,n(n,1,2,？),取则但是nnnn,，,n ,nyyy11nnn limdxlimlim,,,,2,n,,n,,n,,1y1y22(xy)，，，nnn1 ，,y 由定理7, 关于在内非一致收敛. dxy，，0,，,,2，，x，y1 ,,3与函数项级数相应的判别法相仿～有 定理 8 ,狄利克雷判别法,设 N,0,?,对一切实数～含参变量无穷积分 N ，， fx,ydx,c N,cM对参变量在上一致有界～即存在正数～对一切及一切y,,a,b ～都有 ,,y,a,b N , ，，fx,ydx,M,c ,?,对每一个～函数关于是单调递减且当时～对,,，，y,a,bgx,yxx,，, y参变量～一致地收敛于0, ，，gx,y 则含参变量无穷积分 ，, ，，，，fx,ygx,ydx ,c 在,,a,b上一致收敛. 定理 9 ,阿贝尔判别法,设 ，, ，，fx,ydx,,a,b,?,在上一致收敛; ,c y,,，，，，y,a,bgx,yxgx,y,?,对每一个～函数为的单调函数～且对参变量～,,a,b在上一致有界, 则含参变量无穷积分 ，, ，，，，fx,ygx,ydx,c 在上一致收敛. ,,a,b ，,sinx,xy 例 6 证明含参变量无穷积分在上一致收敛.edx,,0,d,x0 ，,sinx 证明 由于无穷积分收敛～,当然～对于参变量～它在一dxy,,0,d,x0 ,xyx,0致收敛,～函数对每一个单调～且对任何～～,,x,0,d，，0,y,dgx,y,e 都有 ,xy ～ ，，gx,y,e,1 ，,sinx,xyedx故由阿贝尔判别法即得含参变量无穷积分在上一致收敛.,,0,d,x0 ,,,4，，fx,ydxy 定理 10 设对任意～ 均关于在点左,或右,连c,,a,a ，,，, ，，，，fx,cdxfx,ydx续～但发散～则对任意～ 关于,,0,,aa y在(c,,,c)(或(c,c，,))y，，，，在c,,,c,或c,c，,,内非一致收敛. y,c,,0x,a,c,,,，，,，，，fx,yx,y: 推论 设存在～使在或00 ，,，,c,，，，，fx,cdxfx,ydxy,c，,，,,,0上连续～但发散～则对任意～ 0,,aa y，，，，，，c,,,cc,c，,关于在或内非一致收敛. , 证明 对任意～由已知及含参变量无穷积分的性质～ 都，，fx,ydx,,a,a 关于在或上连续～当然在点左,或右,连续～再由已y，,，c,,,c,c，,，，00 ，, 知及定理10～对任意～ 关于在或内，，fx,ydxy，，，，，，c,,,cc,c，,,,0,a 非一致收敛. ，,xcos 例 7 试证:对任意～ 关于在内非一致收敛.，，,1,1，,,,0dx,,x1 cosx证明 由于在上连续～但,，，,x,a:x,1,,,1,x ，,xcos发散～由本推论～易得 dx,x1 ，,xcos对任意～ 关于在内非一致收敛. ，，,1,1，,,,0dx,,x1 ，,,,4，，fx,ydxy 定理 11 设关于在上收敛于～在上,,，，，，,,c,d,y,yc,d,a 连续～又，，在,,，，上连续～且恒有 fx,yx,y:x,a,c,y,d ，， ，，fx,y,或,0 ，, ，，fx,ydxy,,，，c,d,y成立～则关于在区间上一致收敛于.,a ，,dx1，，s1,，, 例 8 试证关于在上一致收敛于.s,s,1xlnxe ，,dx11 证明 显然关于在上收敛于～ 在内连，，，，s1,，,1,，,s,s,1s,1xlnxe 1续～又在上连续且恒正～由定理11得,,，，x,y:x,e,s,1sxlnx ，,dx1 关于在上一致收敛于. ，，s1,，,s,s,1xlnxe x,a 定理 12 设当和时～恒有 y,I ，，，，，，fx,y,gx,y,hx,y ，,，, I，，，，成立～且fx,ydx与hx,ydx均关于在区间上一致收敛于～则y，，,y,,aa ，, I，，gx,ydx关于在区间上一致收敛于. y，，,y,a 证明 对任意和～都有 ,,ay,I ,,, ，，，，，，f,ydx,gx,ydx,hx,ydx . ,,,aaa 因此,不难得出结论. 本定理与数列收敛的判别法中两边夹定理如出一辙～故我将其称之为两 边夹定理. 2.含参变量无穷积分一致收敛的性质 和函数项级数类似的～含参变量无穷积分也具有如下三条性质定理～故 证明过程从略. ，，，，fx,yDa,x,，,,,,y,, 定理 13 ,连续性,若函数在区域连续～ ，, ，，，，,y,fx,ydx,,，，,,,,,,y,,,且无穷积分在区间一致收敛～则函数在区间,a ，,，, 连续～且. ，，，，limfx,ydx,limfx,ydx,,y,yy,y00aa 定理14 ,可微性,若函数与在区域，，fx,y，，fx,yy ，, 连续～且无穷积分在区间收敛，，，，,y,fx,ydx，，,,Da,x,，,,,,y,,,,,,a ，, 且无穷积分在区间一致收敛～则函数在区间，，，，,y,fx,ydx,,，，,,,,,,y,,,,a ，, ,可导～且，，，，～即 ,y,fx,ydxy,a ，,，,d,，，，， fx,ydxfx,ydx. ,,,dy,yaa 简称积分号下可微分. 定理 15 ,可积性,若函数与在区域连，，，，fx,yDa,x,，,,,,y,, ，, ，，，，,y,fx,ydx续～且无穷积分在区间一致收敛～则函数在区间,,，，,,,,y,a ,,，, ，，，，,ydy,dxfx,ydy可积～且～即 ,,,,,,,,a,, ,,，,，, ，，，，dyfx,ydx,dxfx,ydy. ,,,,aa,, 定理13、14分别明:在一致收敛的条件下～极限运算、求导运算和 积分运算可以交换,定理15表明在一致收敛的条件下～积分顺序可以交换。 这三个定理在计算含参变量无穷积分上有极其广泛的应用. 22，,,x,ax,ee，，,Iadx，，a,0例 9 计算 ,x0 22,x,ax2ee,[5],ax解法一 设～ ～fxa，，,,，，fx,a,xeax ,a,0因为～有 22,x,axee,, lim,0，0x,x 22,x,axee,所以～函数在可连续开拓。使与在区fxa，，，，,fx,a，，，，x,0fx,a,ax ,,1域连续～与～使～，，，，,,D0,x,，,,0,a,，,,a,0,，,,0,,1a,,,, 无穷积分 22，,，,,,xax2,e,e,ax()dx,xedx ,,,ax00在一致收敛. ,,,,, 事实上～ ～有 ,,,a,,,, 22,ax,,xxe,xe, ，,，,22,,,xaxxedxxedx已知收敛～则在一致收敛. ,,,,,,,00 根据定理14～ ,,,有 ,a,,,, 22，,，,,x,ax，,22,,ee11,axax,,，，Ia,()dx,xedx,.,,e,,2a,ax2a000 da1a,1，，Ia,,lna，C，，I1,0从而.令～已知～有 ,2a2 1C,0，，I1,ln1，C,0～因此～～ 2 1,a,0，，Ia,lna于是～～有. 2 22a,,xax2e,e,,6,tx解法二 由于～所以 ,xedt,x1 ，,a2,tx. ，，Ia,dxxedt,,01 2,tx记～则 ，，fx,t,xe ，,2,txxedx在或上连续～且对一切，，,，,,，,，,,，fx,t0,，,，1,a0,，,，a,1,0 或上一致收敛～所以 ,,，,,，t,1,at,a,1 由定理15,得 ，,aa，,22,tx,tx，，Ia,dxxedt,dtxedx ,,,,0110 aa，,2tt,tx [],,edt,dt,,22011 112,a, . 44 y当定理15中的取值范围为无限区间时～则有如下定理:,，a,，, 定理 16 设，，在,，上连续～若 fx,ya,，,，, ，，fx,ydxy(?) 关于在任何闭区间,,上一致收敛～ c,d,a ，, ，，fx,ydy,,关于x在任何闭区间a,b上一致收敛, ,a ，,，,，,，, ，，，，dxfx,ydydyfx,ydx(?)积分与 ,*,,,,,acca 中只有一个收敛～ 则,*,式中另一个积分也收敛～且 ，,，,，,，, . ，，，，dxfx,ydy,dyfx,ydx,,,,acca 同定理15一样～满足定理16中两个条件的积分也可交换积分顺序～其积分值不变. 3.小结 本文全面的总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法和性质～并对某些定理作出了应用举例～然而要熟练掌握以上定理～关键是理解它们各自应用的范围及其相互联系～以趋达到灵活应用. 参考文献 [1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报,自然科学版,.1998.15 [2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992 [3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版[M].北京:高等教育出版社,2001 [4]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982 [5]刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M]. 北京:高等教育出社,1994:414 [6]钱吉林.数学分析题解精粹[M].崇文书局,2003:643