数学建模 血液中葡萄糖浓度的稳定性问题.doc

数学建模 血液中葡萄糖浓度的稳定性问.doc 血液中葡萄糖浓度的稳定性问题 摘 要 本文讨论人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度的稳定情况与人体血液容积的关系。 dg首先，分析在人体注射葡萄糖溶液时血液中葡萄糖浓度的变化率与注射dt g速率、人体血液的容积和血液中葡萄糖浓度的关系，在人体血液容积不变rv 的前提下建立关于葡萄糖浓度的微分方程模型。 其次，考虑到人体的血液容积会因溶液的注射而增加，但又不能无限增加，利用常数变易法可解微分方程模型(2)的通解，但通解很难实现积分，故考虑实际情况，采用数值逼近法做进一步修改与完善，使其更符合实际。 最后，通过对Logistic模型的分析与Mathematica软件的运用，得出人体血液中葡萄糖浓度在不同人体血液容积机理下的稳定情况。 关键词 微分方程模型 常数变易法 数值逼近法 Logistic模型 0 一、问题重述 输液就是让某种液体以稳定的速率进入静脉的过程。当输入葡萄糖溶液时，血液中的葡萄糖浓度的增长率与注射速率成正比，与人体血液溶积成反比，而由于人体组织的吸收作用，血液中葡萄糖浓度的减少率与其本身成正比。根据是否 V的变化情况，可分以下3中情况，并在3种假设下建立模型，考虑人体血液容积 进而讨论稳定情况。 问题1 人体血液容积V不变; 问题2 V随着注入葡萄糖溶液而增加; 问题3 由于排泄等因素V的增加有极限值。 二、问题分析 讨论人体血液葡萄糖浓度的稳定情况时，由于血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度增长率与减少率之差，而葡萄糖浓度的增长率又与注射速率r成正比，与人体血液体积成反比;同时，考虑到人体组织的吸收作用，葡萄糖浓度的减少率与本身成正比。 针对问题1 利用血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度的增长率与减少率之差建立一阶线性微分方程，得到血液中葡萄糖浓度与时间的函数关系，根据自治微分方程的求法得到平衡点; 针对问题2 由注射速率的微分达式，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式得到葡萄糖浓度与实践的函数关系，利用数学软件画出图像得到平衡点; 针对问题3 人体血液容积增加有极限值，符合阻滞增长模型，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式最终得到平衡点。 三、基本假设 1、假设注射为静脉注射，注射速率r恒定; 2、假设人体所注射的溶液浓度不变; 3、假设该人的各项生理机能正常; 4、不考虑其他因素对人体内血液中葡萄糖浓度的影响. 四、符号表示 g 注射葡萄糖溶液之前，人体血液中的葡萄糖浓度; 0 g 人体血液中葡萄糖浓度; 注射速率; r 人体血液容积; v p 人体中葡萄糖浓度的增加率; q 人体中葡萄糖浓度的减少率; kko, 关于g的增加率与r、v之间的关系(); 11 1 kko, 关于g的减少率与g本身的常数 (). 22 五、模型建立与求解 利用人体血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度增长率与减少率之差，建立 以下微分方程模型。 V5.1 人体血液容积不变 分析人体血液容积不变的情况，利用一阶线性非齐次方程的求解方法得到 g人体血液中葡萄糖浓度随时间变化的函数。先表示血液中葡萄糖浓度的增长率 kr1 P,v gqkg,由于人体组织的吸收作用，则的减少率 2 g注射葡萄糖溶液之前，人体血液中的葡萄糖浓度为微分方程的初值条件，即 0 gg(0), 0 V因此，可建立人体血液容积不变情况下的微分方程模型: (1) 令 得平衡点 而满足微分方程的初值解为 又有 所以 即为(1)的稳定点。 V5.2 人体容积随着注入溶液而增加 V当人体血液容积变化不能忽略时，不再是常量，则可设 vvrt,， 0 根据5.1中微分方程模型(1)的建立过程，同理可以得 2 dgkr1 ,,kg2dtv V随着注入溶液而增加情况下的微分方程模型: 因此，可建立人体血液容积 (2) 对于一阶线性微分方程求解，利用常数变易法，可得通解 由于微分方程不是自治方程，所以没有平衡状态。 V5.3 由于排泄等因素的增加有极限值 ，符合Logistic模型。因此可建立由于排泄等因素 当V的增加有极限值时 V人体血液容积的增加有极限值情况下的微分方程模型: (3) 根据阻滞增长模型可得 解得 可以建立微分方程 由微分方程稳定性有 从而解得平衡点 同时，有 3 综上所述，就是稳定点。 六、模型结果分析与检验 对于模型(1)，可以画出图像来分析: g kr1 kv2 t gt图1 人体中葡萄糖溶液浓度与时间的关系 dgkr1g，即时，为增函数; ,0g, dtkv2 dgkr1g，即时，为减函数。 ,0g, dtkv2 对于模型(2)，由于右端积分比较难以求出，因此如果像模型(1)一样 来求解或对解进行讨论，势必会出现混乱。 4 为了能够用数学软件Mathematica来描绘出的图形，我们分别取单位 (1/min)，(mg/min)， (cm3 )，1.0(cm3 /mg)，(mg/ cm3)，并假设人体含 有4600ml的血液，输入的葡萄糖溶液为500ml，并假设输液过程进行了100min. gt()t随时间在0至在Mathematica软件中输入程序(程序见附录)得到如下 100分钟内的变化图形: g(t)t g(t)1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 t20406080100 gt()t图2 随时间在0至100分钟内的变化图形 和许多微分方程一样，数值逼近看来是唯一可行的求解方法。 )，人体的容量是有限的，静脉中液体的体积不可能无限增长;对于模型(3 另一种机理，如排尿，将使体积保持协调，这是人体生理功能的一种实际极限。 七、模型的评价与改进 模型评价 本文研究了人体血液中葡萄糖浓度的稳定性问题，在静脉注射的前提条件下，讨论了人体血液中葡萄糖浓度在不同人体血液容积机理下的稳定情况， 建立的三个微分方程模型中的参数可以通过参数估计法得到，能够推广并应用到更一般的实际事例中，不足之处在于模型的求解和参数估计方面很难做到精确。 kk模型改进 对于(1)式中两个参数，，可以用参数估计的方法确定参数的12 gtt值，并在注入葡萄糖溶液之前测量血糖浓度，确定的值，然后在，时刻对012人的血糖浓度进行测量，由方程 kr,kt12i ,，,,1,2ggeii0kv2 kk可确定，的值，进而可以做出图像进行分析。 12 八、模型推广 由(1)式表示的微分方程模型，它描述了葡萄糖血液浓度随时间变化的规 5 律，在药物动力学、农业种植和社会经济等方面也有着广泛的应用，因此可以推 广到更一般的形式: dx (4) ,,abx dt ab,0,xtx(),其中 ， 初始条件为， o )式进行分离变量 对于(4 dx ,dt bx对上式两端求不定积分得 1,btxce, 即 lnxtc,,，1b 再由常数变易法得(4)式的解为 a,bt ,，xce b由初始条件可得 bbt0 ()cex,,0a由此得(4)的解为 babt,bt0 ()(),,，xtexeoab xt()由(1)和(4)可知具有如下性质: a1. 稳定点 ; x, b dxaxt()2. 当时，，即表明严格单调递增; ,0x, dtb dxaxt()当时，，即表明严格单调递减; ,0x, dtb abt03. . lim(),，xtxe0,,tb 因此在药物动力学、农业种植和社会经济等方面，只要符合微分方程模型(1) 和关系式(4)的情况，都具有上述3点性质，可以更好的为社会实践、生产服 务。 6 参考文献: [1] 杨启帆，边馥萍，数学模型，浙江:浙江大学出版社，1990. [2] 数学建模，西安:陕西师范大学出版社，2003. [3] 姜启源，数学模型，北京:高等教育出版社，2005. [4] 东北师范大学微分方程教研室，常微分方程，北京:高等教育出版社，2005. 附录 NDSolve[{g’[t]+0.1g[t]==5000/(4600+5000*1.0t),g[0]==0.6}, g, {t, 0,100}] 运行后得{{g,InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>]}} 再输入程序Plot[Evaluate[ g[t] /. % ], {t, 0, 100}] 7