[精品]泰勒展开式的计算
实验六:泰勒展开式的计算
1、实验目的:
介绍使用Mathmatica进行泰勒展开的方法,从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论,着重对泰勒余项的误差分析,使学生理解展开位置和展开阶数n对x0计算误差的影响,研究泰勒展式的应用 2、实验指导:
一、 级数
1( 求和与求积
求有限或无穷和、积的函数是:
maxi
Sum[f,{i,imin,imax}] 求,其中iminf(i),,minii可以是-?,imax可以是?(即+?),但是必须满足imin?imax。基本输入
中也有求和专用的符号,使用模板输入更方便。
Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…] 求多重和,也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。
maxi
Product[f,{i,imin,imax}] 求,基本输入f(i),,minii模板中也有求积符号。
Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…] 求多重积 ,也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。
例1 求下列级数的和与积:
1n,,,1122k (1),(2) ,(3) ,(4) 。ke,,,,2kkk,1,1kkk,1,1
解:In[1]:=Sum[k^2,{k,1,n}]
1n(1,n)(1,2n) Out[1]= 6
,
In[2]:= 1/k^2,k,1
2, Out[2]= 6
,
In[3]:= 1/k,k,1
Sum::div:Sum does not converge.
,1 Out[3]= ,kk,1
,
In[4]:= Exp[1/k^2],k,1
2,
6 Out[4]= e
说明:上例中第三个级数发散,Mathematica给出提示,并在不能给出结果
时将输入的式子作为输出。
NSum和NProduct得到数值解。
2( 将函数展开为幂级数
将函数展开为幂级数的函数调用格式如下:
Series[f,{x,x,n}] 将函数f(x)在x 处展成幂级数00直到n次项为止。
Series[f,{x,x,n},{y,y,m}] 将函数f(x,y)先对y后对x展00
开。
例2 展开下列函数为幂级数:
sinxxyy,(1) y=tgx,(2) , (3)y = f(x),(4)y = e。 x
解:In[1]:=Series[Tan[x],{x,0,9}]
3579x2x17x62x10x,,,,,o[x] Out[1]= 3153152835
In[2]:=Series[Sin[x] /x,{x,0,9}]
2468xxxx101,,,,,o[x] Out[2]= 61205040362880
In[3]:=Series[f[x],{x,1,7}]
112(3)3,,,f[1],f[1](x,1),f[1](x,1),f[1](x,1), Out[3]=26
11(4)4(5)5f[1](x,1),f[1](x,1), 24120
(7)71f[1](x,1)(6)68f[1](x,1),,o[x,1] 7205040
In[4]:=Series[Exp[x y],{x,0,3},{y,0,2}]
2,,y332334,,1,(y,o[y])x,,o[y]x,o[y]x,o[x] Out[4]=,,2,,
说明:上例中In[3]表明也可以展开抽象的函数。
对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是:
Normal[expr] 将幂级数expr去掉余项转换成多项式。
SeriesCoefficient[expr,n] 找出幂级数expr的n次项系数。
例3 将y = arcsinx展开为幂级数,只取前9项并去掉余项。
解:In[1]:=Series[ArcSin[x],{x,0,9}]
3579x3x5x35x10 Out[1]= x,,,,,o[x]6401121152
In[2]:=Normal[%]
35793535xxxx Out[2]= x,,,,6401121152
In[3]:=SeriesCoefficient[%1,5]
3 Out[3]= 40
3( 傅里叶级数
傅里叶级数就是求出傅里叶系数,傅里叶系数是一个积分表达式,所以利 求
用积分函数Integrate就可以实现。
例如,设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,周期为T,这
TT,种信号在一个周期[,]内的表达式为 22
,,E|t|,,2f(t), ,,,t0||,2,
求其傅里叶级数时,可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分,以下用Ee表示脉冲幅度,用tao表示脉冲宽度τ,根据傅利叶系数的积分表达式,输入以下语句:
a0= 2/T Integrate[Ee,
{t,-tao/2,tao/2}]
a[n_ ]=2/T Integrate[Ee Cos[2n Pi t/T],
{t,-tao/2,tao/2}]
b[n_ ]=2/T Integrate[Ee Sin[2n Pi t/T],
{t,-tao/2,tao/2}]
可得到下面三个输出,即分别是a,a与b,即 0nn
En22,,,Esin a=,a =与b=0 0nnTnT,
从而可写出给定的傅利叶级数为:
,EEnn,21,,2,,ft ,,()sincos,TnTT,i1,
3、实验任务:
1、展开下列函数为x幂级数,并求其收敛区间。
12x,x;(2)y = cosx;(3)y =(1 - x)ln(1 - x)y,(e,e)2
2、将函数
x,0,x,1, f(x),,2,x1,x,2,