复合函数定义域

复合函数定义域 专题:复合函数的定义域 A第一步:函数概念及其定义域 函数的概念:设是非空数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中AB,f BBA，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的函数，记的任意一个fx()fAB:,x Ay作:。其中叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数yfxxA,,(),xxx 值. 第二步:复合函数的定义 一般地:若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数y,f(u)u,g(x)g(x)f(u) 叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简言之:复合函数就是:把一y,f[g(x)]y,f(u)u,g(x)x 个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 2fxxgxx()35,()1,，,，例如: ; 复合函数即把里面的换成，fgx(())fx()xgx() 22fgxgxxx(())3()53(1)538,，,，，,， 问:函数和函数所表示的定义域是否相同,为什么,(不相同;原因:定义域是 fx()fx(5)， 求的取值范围，这里和所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。) xxx，5 第三步:介绍复合函数的定义域求法 ,3,5例1. 已知的定义域为，求函数的定义域; fx()fx(32),,， 17 解:由题意得 ？,,,x,,,35x？,,,,3325x,,,137x33 17,， 所以函数的定义域为. fx(32),,,,,33,， 2f(x，2x)1.已知练的定义域为，求定义域。 f(x)(0，3] 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 2,x，2x,0,,2,0x，或x,,20,x，2x,3,, ,,2x,3,,1,x，2x,3,, 2f(x，2x),，，,,3,,2:0,1即或 故的定义域为 ,3,x,,20,x,1 ，，,,，，f3,2x,1,2fx例2. 若函数的定义域为，求函数的定义域 解:由题意得 所以函数的定义域为: fx(),4,11？,,,23x？,,,639x？,,，,42311x,, ，，fx,2例3. 已知的定义域为，求的定义域。 f(x，1)[,2，3) 解 由的定义域为得，故 f(x，1)[,2，3),2,x,3,1,x，1,4 ，，fx即得定义域为，从而得到，所以 [,1，4),1,x,2,41,x,6 ，，，fx,2,1,6故得函数的定义域为 ，，，，，，，，，，fxhx,fx，m，fx,mm,0例4. 已知函数定义域为是[a,b]，且,求函数的定义域 a，b,0 a,x，m,ba,m,x,b,m,, 解: ， ,？m,0,？a,m,a，m,,a,x,m,ba，m,x,b，m,, ，，hx，又 要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即b,m,b，ma,m,b，ma，m,b,m b,a，，0,m,hx，这时函数的定义域为[a，m,b,m] 2 第四步:总结解题模板 ，，f[gx]1.已知f(x)的定义域，求复合函数的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 ，，x,a,bf(x)f[g(x)]a,g(x),bf[g(x)]得其方法为:若的定义域为，求出中的解x的范围，即为的定义域。 ，，f[gx]2.已知复合函数f(x)的定义域，求的定义域 ，，，，f[gx]x,a,b方法是:若的定义域为，则由确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。 a,x,b 3.已知复合函数fgx[()]的定义域，求fhx[()]的定义域 ，，，，f[gx]fx 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为:可先由定义域求得的定义域， ，，，，fxf[hx]再由的定义域求得的定义域。 fx()4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 复合函数定义域求法——第1页(共3页) 浅析复合函数的定义域问题 ABB'BB一、复合函数的构成 设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中ugx,()yfu,()u,B'C' Ay的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数yfgx,(())yfx,()ugx,()CC 复合而成的复合函数。 说明: ?复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。 yfgx,(())x ?称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。 xuugx()f(g(x))g(f(x))?与表示不同的复合函数。 例1(设函数，求( f(x),2x，3,g(x),3x,5f(g(x)),g(f(x))'?若的定义域为，则复合函数中，( f(x)f(g(x))g(x),MM 注意:的值域( g(x)M,M' 例2:?若函数的定义域是[0，1]，求的定义域; f(x)f(1,2x) ?若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域; f(2x,1)f(x) ，?已知定义域是,,4,5，求定义域( f(x，3)f(2x,3) 要点1:解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的( 解答:? 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数( f(1,2x)y,f(u)u,1,2x 函数的定义域是[0，1]，?B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]( ？f(x)u,1,2x 11?，?，即，?函数的定义域[0，]( f(1,2x)0,1,2x,1,1,,2x,00,x,22 ? 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数( f(2x,1)y,f(u)u,2x,1 的定义域是[-1，1]，?A=[-1,1]，即-1， ？f(2x,1),x,1 ?,即的值域是[-3，1]，?y,f(x)的定义域是[-3，1]( ,3,2x,1,1u,2x,1 f(x)f[g(x)]g(x),AxA要点2:若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合;若已知 f[g(x)]f(x)g(x)(x,A)A的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。 ? 函数f(x，3)是由A到B上的函数与B到C上的函数y,f(u)复合而成的函数( u,x，3 ？f(x，3)的定义域是[-4，5),?A=[-4,5)即，?即的值域B=[-1，8) ,4,x,5,1,x，3,8u,x，3 B,B'A'B'又f(2x,3)是由到上的函数与B到C上的函数y,f(u)复合而成的函数，而,从而u',2x,3 11的值域B',[,1,8) ??2,2x,11,?1,x, u',2x,3,1,2x,3,82 11?f(2x,3)的定义域是[1，)( 2 f(x)F(x),f(3x,1),f(3x，1)例3:已知函数定义域是(a,b)，求的定义域( a，1b，1,,x,a,3x,1,b,a，1b,1,,解:由题，，,，当，即时，F(x)不表示函数; b,a,b,2,33,,？,33,a,3x，1,b,a,1b,1,,a,b,x,,,33, 复合函数定义域求法——第2页(共3页) a，1b,1,,a，1b,1,当，即时，表示函数，其定义域为( F(x)(,)a,b,233,33,a,b, 的定义域为(a,b)，求的定义域的方法: 说明: ? 已知f(x)f(g(x)) f(x)已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即uf(g(x))(a，b) ，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。 xf(g(x))u,(a，b)g(x),(a，b)a,g(x),b ? 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法: f(g(x))f(x) f(x)若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取xf(g(x))f(g(x))(a，b) g(x)g(x)f(x)值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函a,x,bx,(a，b) f(x)g(x)g(x)f(x)数的解析式形式所定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为 f(x)f(x)要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有 f(x)f(x)g(x)效性。换元法其实质就是求复合函数的外函数，如果外函数的定义域不等于内函数的f(g(x)) f(x)值域，那么就确定不了的最值或值域。 f(g(x)) 例4:已知函数, 求的值域。 (x,1)f(x)f(x),x,1，x 2g(u),u，u，1分析:令，; 则有， (x,1)(u,0)u(x),x,1 22f(x)f(x)g(u),u，u，1g(u),u，u，1复合函数是由与复合而成，而，的值域即(u,0)u(x),x,1 2Rf(x)g(u),u，u，1的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。 2x2f(x)f(x,3),lg例5:已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。 2x,6 2u，3x22f(x,3),lgx,6 分析:因为定义域为{或} 令，;则f(u),lg，u,x,3x|x,,6u,32x,6u,3 x，3f(x)且 所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。 uf(x),lg,x,3,3x,3 x，3然而只就f(x),lg解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而f(,x),,f(x)x,3 2言f(u)就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数f(u)其解析式本身决定的定u,x,3u,3 义域了。 2(求有关复合函数的解析式， 2f(x),x，1,例6(?已知 求f(x,1); 2f(x,1),(x，1)，1?已知 ，求f(x)( 1例7(?已知f(x,1),x， ，求f(x); x 112 ?已知，求f(x，1)( f(x,),x，2xx f(x)f[g(x)]f(x)g(x)x要点3:已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。 f[g(x)]f(x)已知求的常用方法有:配凑法和换元法。 复合函数定义域求法——第3页(共3页) f[g(x)]g(x)g(x)配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得xx f(x)。 f[g(x)]换元法就是先设，从中解出(即用表示)，再把(关于的式子)直接代入中消xxxg(x),ttt f(x)去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。 xxf(t)f(t)t 例8(?已知是一次函数，满足，求; f(x)3f(x，1),2f(x,1),2x，17f(x) 1?已知，求( f(x)3f(x)，2f(),4xx 要点4:? 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 f(x)? 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某 1f(x)个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造f()f(,x) x f(x)出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。 二、练习: 2f(2x，1),x,2x,(已知，求和( f(22，1)f(22，3) 2解:令2x，1,22，1，设x,2， f(22，1),(2),22,2,22, 令2x，1,22，3，设x,2，1， 2( f(22，3),(2，1),2(2，1),3，22,22,2,1 ,1,,0xx,2,(已知，求( (),,1,(),f(g(x))fxxgx,2,x,x,0, f[g(x)]g(x)g(x)x分析:是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用x,12,xy,f(x) 替换呢,所以要按、分类; x,0x,0 g[f(x)]f(x)f(x)g(x)x注:是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换x,1y,g(x) 2222呢,所以要看还是，故按、分类。 2,xx,1,0x,1,0x,1,0x,1,0 2,x,2，x,12,Key:;注:。 ,2x,2xx,0，,g[f(x)],3,x，,1,x,1,f[g(x)],,22,,x,4x，3x,0，,x，x,2,,1, 三、总结: y,f(g(x)),(复合函数的构成; 设函数，，则我们称是由外函数和内函y,f(u)u,g(x)y,f(u) 复合函数定义域求法——第4页(共3页) 数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值xuxu,g(x) g(x)范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。 uy,f(u),(有关复合函数的定义域求法及解析式求法: ?定义域求法: 求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由解);求外函数的定义域只xa,g(x),b g(x)要求中间变量的值域范围(由求的值域)。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须a,x,b 3)先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2(反映明显。 ?解析式求法:待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法( 四:外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有: f(x),? 当为整式或奇次根式时，xR; f(x)? 当为偶次根式时，被开方数不小于0(即?0); f(x)? 当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0; 012,f(x)f(x),x? 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。 x,0f(x),x,2x f(x)? 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x的值组成 的集合，即求各部分定义域集合的交集。 x? 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 y,f(x) ? 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 ? 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集 合。 ? 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 ? 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。 复合函数定义域求法——第5页(共3页)