一根1米长的水平弹性绳子

一根1米长的水平弹性绳子 . 一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。A端固定，B端每秒钟10cm的速度水平向前延伸。假设绳子永远不会断。 2. 一只蜗牛从绳的A端开始向B端爬，蜗牛相对绳子的速度为每秒钟1cm。假设蜗牛不知疲倦，生命永恒; 问题: 现在，蜗牛爬的同时，绳子开始变长，请问: 1. 蜗牛是否可以爬到B端，要多久, 2. 是否蜗牛只要速度大于0，不论绳子多快，都可以爬到头, 我后来想了一下，这个问题因为涉及到一阶线形微分方程，手工求解比较繁琐，于是求助于Matlab的符号微分方程功能，现详解如下: 1) B点的位置随时间变化的函数 S = 100 + 10t B 2) 虫子的速度v与其初始速度v,自身的位置w0 S以及时间t的关系函数 w 3) 对2)式两边依时间t从0到?积分 左边就是虫子自身的位置S，所以有: w 对上式两边化简，便得一阶微分方程 其中，初始条件为: S(0) = 0 w 即虫子在一开始的时候位置为0 4) 使用Matlab脚本求解上式的一阶微分方程: >> dsolve('DS-S/(10+t)-v=0','S(0)=0') ans = (v*log(10+t)-v*log(2)-v*log(5))*(10+t) 所以，虫子的位置S关于时间t和初速度v的w0关系函数为: 5) 由1)式可知，要让虫子到达B点，则有S= w S，即有对数方程 B 6) 再次使用Matlab脚本求解上式的对数方程: >> solve('v*(10+t)*log(1+(t/10)) = 100+10*t','t') ans = 10*exp(10/v)-10 7) 所以，虫子到达B点的时间t与其自身的初速度v之间的关系函数为: 0 8) 由此可见，只要虫子的初速度v>0，它总有0 一天能到达B点的，再次使用Matlab脚本体现t与v的关系图: 0 >> v = 0:100; >> t = 10.*(exp(10./v)-1); Warning: Divide by zero. >> plot(v,t); 当v= 1时: 0 >> digits(10); %结果显示10位数 >> t = vpa(10*(exp(10)-1)) t = 220254.6579 换算成天之后，就是 >> 220254.6579/3600/24 ans = 2.5492 所以，虫子在两天半之后到达B点