高数函数及极限练习题及答案

高数函数及极限练习及答案 精品文档 高数函数及极限练习题及答案 f?x??x2 x3?1 ?x?1与函数g?x??x?1相同( 错误?当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ? f?x??x2 x3?1 ?x?1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?与g?x? x?1 是不同的函数。 2、如果f?x??M，则f?x?为无穷大( 错误根据无穷大的定义，此题是错误的。、如果数列有界，则极限存在( 错误如:数列xn???1?是有界数列，但极限不存在 n 4、n?? liman?a，liman?a( n?? n n n?? 1 / 35 精品文档 错误如:数列an???1?，lim x?? ?1，但limn不存在。 n?? 5、如果limf?x??A，则f?x??A??( 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。、如果?,?，则????o???( ? ?1，是 ? ???????lim?lim?1???0，即???是?的高阶无穷小量。 ???? 2 7、当x?0时，1?cosx与x是同阶无穷小( 2 xx??2sin2sin? 1?cosx1???1 ??lim?lim2??正确?limx?0x?0x?04?x?2x2x2 ???2? 正确?lim 11 ?limx?limsin?0( x?0xx?0x?0x 2 / 35 精品文档 1 错误?limsin不存在，?不可利用两个函数乘积求极 限的法则计算。 x?0x 8、 limxsin ?1? 9、 lim?1???e( x?0 ?x? ?1? 错误?lim?1???e x?? ?x? x 10、点x?0是函数y?的无穷间断点( x xx?xx lim??1错误 lim?，lim?lim?1 x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x x ?点x?0是函数y?的第一类间断点( x 3 / 35 精品文档 1 11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值( x 1 x x 错误 ?根据连续函数在闭区间上的性质，f?x?? ?函数f?x?? 1 在x?0处不连续 x 1 在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x 二、填空题: 1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则 ?? f?1?sinx?的定义域是fex的定义域是; f?lgx?的定义域是( 答案:?0?e?1 ?0?1?sinx?1 ?0?lgx?1 2x ??? ; xx??k,?x???? Z) 2?? 4 / 35 精品文档 ?x?2?2?x?0 ? x?0的定义域是2、函数f?x???0( ?x2?30?x?4? 3、设f?x??sinx2，??x??x2?1，则f???x???( 2 ?? x ,( n??n xxsinsin x?lim?x?x ?limnsin?lim n??n??xnn??1 nnx??1?1?x ??x? 5、设f?x???cos，limf?x??( ?1?x?1，则limf?x?? x?1?0x??1?02? x?1??x?1 ?limf?x??lim?2，limf?x??lim?x?1??0 4、limnsin x??1?0 x??1?0 5 / 35 精品文档 x?1?0 x?1?0 ?1?cosx1?x?0 6、设f?x???x2，如果f?x?在x?0处连续，则a?( 2?x?0?a 1?cosx11?cosx1 x?0?lim??f?0??a ???lim，如果在处连续，则 fx22x?0x?022xx 7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??( ?初等函数f?x?在定义区间内连续，?limf?x??f?x0? x?x0x?x0 8、函数y? ?lim x?1 1 x?12 2 当x?时为无穷大，当x?时为无穷小( 1 x?1??，lim x?? 1 6 / 35 精品文档 9、若lim ? x??? x x?12 ?0 1 )( 2 ?x?1?ax?b?0，则a?，b?( 11? xx2?x?2 11、f?x??2的连续区间是( x?4x?3ax?2sinx ?2，则a?12、若lim( x??x ?aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x ??xx?? 1 ?2 13、lim sinx 7 / 35 精品文档 ?is，limxn x??x??x 1 x x?0 1 ?， x kx lim?1?x? ?1?k ，lim?1???( ? x??x?? sin1 x?1 k ?lim sinx11 ?lim?sinx?0 limxsin?lim x??x??xx??xxx??1 x lim?1?x??lim?1?? x?0 8 / 35 精品文档 x?0 1x1 ??x 1??1?? ?e?1 lim?1???lim?x??ek x??x??x??x?? x??? kx 14、x?? limsin?iclarcont，m n?? x? 三、选择填空: 1、如果limxn?a，则数列xn是 a.单调递增数列b(有界数列 c(发散数列 3 2、函数f?x??logax? x2?1是 a(奇函数 b(偶函数c(非奇非偶函数 ? f??x??loga??x?2 ?1? ?log1a 9 / 35 精品文档 ?? x?x2 ?1 ??logax?x2?1??f?x? 3、当x?0时，ex ?1是x的 a(高阶无穷小 b(低阶无穷小 c(等价无穷小 4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x?M，则函数f?x?在该邻域内条件下趋于??. a(x?1 b(x?1?0 c(x?1?0 6、设函数f?x??sinx x ，则limx?0f?x?? a(, b(,,c(不存在 ?sinx xlim ?lim ?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x ??1 limsinxsinx0x?xlim?0?0x ?1 x?0?根据极限存在定理知:limx?0 f?x?不存在。 7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x? 10 / 35 精品文档 在x0点 a(有定义?b(无定义 c(不一定有定义 ?f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。、数列,，,， 12，,，13，,，…，1 n ，n，…当n??时为 a(无穷大?b(无穷小c?(发散但不是无穷大 9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的 a(充分条件b(必要条件c(充分必要条件 10、点x?0是函数arctan 1 x 的 a(连续点b(第一类间断点 c(第二类间断点 ?1xlim?0?0 arctan x??? 1?xlim?0?0arctanx?2 根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin 1 x 的 a(连续点b(第一类间断点 c(第二类间断点 四、计算下列极限: 11 / 35 精品文档 nn 1、lim???1?n??3n n 解 limn???1?n??3n?limn??n13?n)?3 4 c ) 2、lim tan3x x?0sin2x tanx33x3li?lim? 解 x?0 sinx2x?02x2 3、lim??x? x??? ? ?lim x??? x??? lim x?x?x?? ? x??x?? 12 / 35 精品文档 x??x?x??x?x??x?? ?lim x??? ?2 x??x?1??? ??1 ??2lim 4、lim n?? x??? n 2 ?n?1?n2?n ? 解 limn2?n?1?n2 n?? n ?n??lim n?? 2 ?n?1?n2?n 13 / 35 精品文档 2 n 2 ?n?1?n2?n 2 n?n?1?n?n 12? 2n?1?lim?lim?1 n?? 111 n2?n?1?n2?nn?? ??2??nnn x3?x2 5、lim x?0?0x?sinx x3?x2x ?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx ?0?0 xsin x? x?1 2 x?0 14 / 35 精品文档 ?x1 ?sinx1? x x2? 6、lim x?0 xsinx?x?0 x2? ?1 5 ?lim x?0 1x2 ? 第一章 函数与极限 习 题 1-1 1(求下列函数的自然定义域: y? 11?x 2 ?; ( ?1?x2?0 15 / 35 精品文档 解:依题意有?，则函数定义域D??x|x??2且x??1? x?2?0? 2x?1 arccos y? ?2x?1 ?1? 解:依题意有?3，则函数定义域D??( ?2 ?x?x?6?0 y?ln; 解:依题意有?x2?3x?2?0，则函数定义域D??x|1?x?2?( 1 y?2 x?x 3 ; 解:依题意有x3?x?0，则函数定义域D??x|???x??? 且x?0,?1?( 1? , x?1,?sin 16 / 35 精品文档 y?? x?1 ?2， x?1;? 解:依题意有定义域D??x|???x????( y?arctan解:依题意有? 1x? ?x?0?3?x?0 ，则函数定义域D??x|x?3且x?0?( 2(已知f定义域为[0,1]，求f, f, f, f?f 的定义域( 解:因为f定义域为[0,1]，所以当0?x2?1时，得函数f的定义域为[?1,1]; 当0?sinx?1时，得函数f定义域为[2kπ,π]; 当0?x?a?1时，得函数f定义域为[?a,?a?1]; 当? ?0?x?a?1?0?x?a?1 12 时，得函数f?f定义域为:若a? 12 12 ，x??a,1?a?; 若a?，x?;若a? 12 ，x??( 17 / 35 精品文档 3 (设f? 1?1?2?x?? ,其中a?0,求函数值f,f( ? ，则 1?a?11??21?a?1? ??0 ,a>1, ?( ???,0 解:因为f? f? 1? 1?2?x? 1??a?1 1???2?2 4a?a?2a ，f? |x|?1,?1? 4(设f??0|x|?1, ??1|x|?1.? g?2，求f)与g)，并做出函数图形( x x ?12?1x?0?1?? 18 / 35 精品文档 解:f)??02x?1，即f)??0x?0， ??1 x?0?x ???1?1 ?21 ?0 g)??2 ??1?2 ??2? |x|?1，即g)??1 ?1 |x|?1? ?2 |x|?1 |x|?1|x|?1 |x|?1 ，函数图形略( 5(设f?? ?1?x,?1, x?0,x?0, 试证:f[f]?? ?2?x,?1, ?1, x??1,x??1. 19 / 35 精品文档 ，得证( 证明:f[f]?? ? ?1?f,f?0 1,f?0 ，即f[f]?? ?2?x,x??1,x??1 6(下列各组函数中，f与g是否是同一函数,为什么, f?ln x,g??ln ?3 ? ; 不是，因为定义域和对应法则都不相同( f?g? 是( f?2,g?sec2x?tan2x; 不是，因为对应法则不同( f?2lgx,g?lgx2; 不是，因为定义域不同( 7(确定下列函数在给定区间内的单调性: y?3x?lnx，x?; 解:当x?时，函数y1?3x单调递增，y2?lnx也是单调递增，则y?y1?y2在内也是递增的( y?解: y2? 1y1 20 / 35 精品文档 ? ，x?( 1?x?x?11y???1? 1?x1?xx?1 1 ?x ，当x?时，函数y1?x?1单调递增，则 ?x1?x x?1 是单调递减的，故原函数y?是单调递减的( 8. 判定下列函数的奇偶性( y?lg?lg ， 所以y?lg?0?f，所以y?0是偶函数( y?x2?2cosx?sinx?1; 解:因为f?x2?2cosx?sinx?1，f?f且f??f，所以 y?x?2cosx?sinx?1既非奇函数，又非偶函数( 2 x ?x y? a?a 2 . 21 / 35 精品文档 a ?x 解:因为f? ?f，所以函数y?22 9(设f是定义在[?l,l]上的任意函数，证明: ?a x a?a x?x 是偶函数( f?f是偶函数，f?f是奇函数; f可示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明:令g?f?f,h?f?f，则 所以f?f是偶函数，g?f?f?g,h?f?f??h， f?f是奇函数( 任意函数f?数， f?f 2 f?f 2 ? f?f 2 22 / 35 精品文档 ，由可知 f?f 2 是偶函 是奇函数，所以命题得证( 10(证明:函数在区间I上有界的充分与必要条件是:函数在I上既有上界又有下界. 证明:若函数f在区间I上有界，则存在正数M，使得x?I，都有 f?M成立，显然?M?f?M，即证得函数f在区间I上既有上界又有下界 设函数f在区间I上既有上界M2，又有下界M1，即有 f?M1且f?M2，取M?max{M1,M2}，则有f?M ，即函数f在区间I上有 界( 11(下列函数是否是周期函数,对于周期函数指出其周期: y?|sinx|; 周期函数，周期为π( y?1?sinπx; 周期函数，周期为2( y?xtanx; 不是周期函数( y?cos2x. 周期函数，周期为π( 12(求下列函数的反函数: y? 3 23 / 35 精品文档 xx 3?1 ; yy?1 解:依题意，3x? f ?1 ，则x?log3 ( yy?1 ，所以反函数为 ?log3 ,x??x?1ax?by?; cx?d b?dycy?a x 解:依题意，x?y?lgx?解:依题意，x? ，则反函数f?1? b?dxcx?a ( ?; 24 / 35 精品文档 ?y 12 ，所以反函数f?1? 12 ,x?R ( y?3cos2x,?? ?x? π? ?( ? arccos y3 arccos x ,x?[0,3] 解:依题意，x? 2 ，所以反函数f?1? 2 ( 13(在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数， 25 / 35 精品文档 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: y?eu,u?x2，1,x1?0,x2?2; y?u2?1,u?ev?1,v?x?1,x1?1,x2??1( 解:y?f?ex 2 ?1 ,f?e,f?e 5 y?f?2?1，f?e4?2e2?2，f?1( 14(在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H(当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V(试把h表示为V的函数，并指出其定义区间( 解:依题意有V?πr2h，则h? Vπr 2 ,V?[0,πrH]( 2 15(某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法:每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元,吨计算(超过部分每吨以5倍价格收费(试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系(并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用( 26 / 35 精品文档 解:依题意有f?? ?0.64x, ?4.5?0.64??3.2, 0?x?4.5x?4.5 ，所以 f?2.24元，f?2.88元，f?6.08元 ( 习 题 1-2 1(设an? ，n?1 222 求|a1?|,|a10?|,|a100?|的值; 333 2 求N，使当n?N时，不等式|an?|?10?4 3 23|??23|?| 2n?1 成立; 求N，使当n?N时，不等式|an?解: |a1? |a100 2 34312220121?|?|?|?33013903 27 / 35 精品文档 23|?10, ?4 成立( 2131?23|? 193, |?| 3 ? 2 |? 1 , |a10? ( 要使 |an? ?9997? ?9??1110,?? 即 1 ?4 310 23|?10 28 / 35 精品文档 ?4 1 ，则只要n? 99979 , 取N, 故当n>1110时，不等式|an? 23|?? 成立( 2 要使|an? 成立，n? 1?3?9? , 取N??那么当n?N时， |an?|?? ?，3?9?? ?1?3?? 成立. 2(根据数列极限的定义证明: lim 1n! n?? ?0 29 / 35 精品文档 ;lim 1n!?0|, 1n!?1n n n?? ?1( ?1? 解:???0， 要使| ?? ， 只要取N???， 所以，对任意??0， ??? 存在N???，当n?N时，总有|?0|??，则lim?0. n??n!n!??? ???0,要 使| N??1?11 n ?1|? ? 22n 2 ?? 30 / 35 精品文档 , 即n? n ,只要 取 ,所以,对任意的>0, 存在N??, 当n?N, 总有1|??, 则 lin?? n ?.1 n?? 3(若limxn?a，证明lim|xn|?|a|(并举例说明:如果数列?|xn|?有极限，但数列?xn? n?? 未必有极限( 证明: 因为limxn?a, 所以???0, ?N1, 当n?N1时, 有|xn?a|??.不妨假设a>0, n?? 由收敛数列的保号性可知:?N2, 当n?N2时,有xn?0, 取N?max?N1,N2?, 则对 31 / 35 精品文档 ???0 , ?N,当n?N时, 有||xn?|a|?|x|n?|a??.|故lim|xn|?|a|. 同理可证a?0 n?? 时, lim|xn|?|a|成立. n?? 反之,如果数列?|xn|?有极限, 但数列?|xn|?未必有极限.如:数列xn???1?,|xn?， |1显然lim|xn|?1, 但limxn不存在( n?? n?? n 4(设数列?xn?有界，又limyn?0(证明:limxnyn?0( n?? n?? 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有|xn|?M， 又limyn?0, 对???0, 存在N, n?? 当n?N时, |yn?0|??, 因为对上述N, 当n?N时, |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?,由?的任意性, 则limxnyn?0( n?? 5(设数列?x 32 / 35 精品文档 n?的一般项xn?解: 因为lim ?0 π 2 ，求limxn( n?? x?? , |cos π 2 |?1 , 所以 lim x?? π 2 ?0 . 6(对于数列?xn?，若x2k?1?A，x2k?A，证明:xn?A( 证 明: 由于limx2k?1?A, 所以, ???0, ?N1?0, 当k>N1时，有 |x2k?1?A|??, 同理, 33 / 35 精品文档 k?? ???0,?N2?0, 当k?N2时, 有|x2k?A|??(取N=max?N1,N2?, ???0, 当n?N时, |xn?A|?? 成立, 故xn?A( 习 题 1-3 1(当x?1时，y?x2?3?4(问?等于多少，使当|x?1|??时，|y?4|?0.01, 解:令 |x?1|? 12 ，则 32 2 ?|x?1|? 52 2 ，要使 52 |x?1|?0.01， |y?4|?|x?3?4|?|x?1|?|x?1||x?1|? 只要|x?1|?0.004，所以取??0.004，使当 |x?1|?? 时，|y?4|?0.01成立( 2(当x??时，y? 34 / 35 精品文档 2 2x?1x?3 2 2 ?2(问X等于多少，使当|x|?X时，|y?2|?0.001, 7|x?3| 2 解:要使|y?2|?| 2x?1x?3 2 ?2|? 函数与极限练习题 答案 35 / 35