零阶保持器

1． 已知被控对象的传递函数为Gp（s）= ，试用模拟法设计一个数字控制器D（z），使闭环系统满足下列性能指标： A：静态速度误差系统Kv 10 B：超调量 C：调节时间 具体过程要求：1。先用模拟法设计出D（s）2.将其转换为D（z）3.分别检验是否满足要求性能指标（其中对超调量和调节时间要有仿真研究，要有仿真曲线）4.并写出数字控制器的具体实现——差分方程 5. 如果采用数字控制器，利用位置型控制算法，试确定PID控制器参数。 解：做原系统的BODE图与阶跃响应曲线，检查是否满足目要求。得到曲线图如下： 图1原系统阶跃响应曲线 图2原系统bode图 由图可知原系统的性能指标（程序见附录1）： ①调节时间为ts=3.79s >1s，超调量 > ，不满足要求; 满足要求。 ②幅值稳定裕度：Lh=20lg(Gm)= dB ，- 穿越频率： rad/s ，相位稳定裕度： EMBED Equation.3 ，剪切频率： 4.25rad/s 。 分析可知,需要对原系统采取如下措施：加快反应速度，降低超调量，适当增大相位稳定裕度，这样我们可以设计超前校正器D(s),再将其离散化为D(z)，其过程如下所示： ⑴设计超前校正器传递函数 设超前校正器传递函数为 ，设定校正后的相位稳定裕度为 EMBED Equation.3 则 ，又 ；超前校正器传递函数计算（程序见附录1）可得： = ⑵校验校正后系统性能指标 Gp’(s)=D(s) Gp (s)= * 图3校正后连续系统阶跃响应曲线 图4校正后连续系统bode图 由图可知原系统的性能指标（程序见附录1）： ①调节时间为ts=0.721s <1s，超调量 < ， 满足要求。 ②幅值稳定裕度：Lh=20lg(Gm)= dB ，- 穿越频率： rad/s ，相位稳定裕度： EMBED Equation.3 ，剪切频率： 7.28rad/s 。 可见所得超前校正器传递函数满足设计要求。 ⑶校正器传递函数的离散化： 采用零阶保持器法离散化D(s)系统中加入加零阶保持器 （程序见附录1），其中采样周期取T=0.1s,可得 = 由 得 EMBED Equation.3 即有 转化到时域内，则得其差分方程为 校正后离散系统阶跃响应曲线绘制如下（程序见附录1）： 图5校正后离散系统单位阶跃响应 由图5可知调节时间为ts=1.8s>1s，超调量 > ,显然加零阶保持器离散系统与校正后的连续系统相比，快速性和瞬态特性变化显著。假如我们将图5中第2、3、4点用第1点与第5点连线与y=2T、3T、4T交点来代替，同时将tp=0.7s,Mp2=1.20作为第一峰值点,此时 < 满足要求, ts=1.8 s>1s系统快速性欠佳。 2．计算机控制系统如下图所示，对象的传递函数 ，保持器模型为 ，采样周期T=0.5 ，系统输入分别为单位速度函数和单位阶跃函数时，试设计最少拍调节器D(z)，并计算书出相应y(k)、控制信号u(k)、误差e(k)并用仿真曲线表示系统的输出响应。 SHAPE \* MERGEFORMAT 解： 由此可知： G（z）的零点：-0.718（单位圆内）， （单位圆外）；极点：1（单位圆上），0.368（单位圆内）故m=1,u=0,v=1。根据稳定性要求G（z）中z=1的极点应包含在 的零点中，由于系统针对单位速度输入时q=2 ，单位阶跃输入时q=1。 （1） 输入为单位速度函数R(z)= 时，q=2,q+v-1=2。由于G(z)包含一个单位圆上的极点z=1,即w=1，则q+v-w-1=1故有： 由 解得 即 又p=2,m+u+q-p-1=0,故 = 由 可得 转化为差分方程： 输出响应仿真曲线如下（程序见附录2）： 图6系统单位速度响应曲线 （2） 输入为单位阶跃函数R(z)= 时，设计最少拍调节器D(z) 为了满足准确性要求另有 = ， 由 可得 转化为差分方程： 输出响应仿真曲线如下（程序见附录2）： 图7系统单位阶跃响应曲线 附录1 %原系统阶跃响应曲线与原系统BODE图 num=[0 0 10];den=[0.5 1 0]; s1=tf(num,den); sys=feedback(s1,1); figure(1) step(sys) grid figure(2) [Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s1) margin(s1) grid %计算系统超调量sigma,调节时间ts，速度稳差系数kv syms zeta sigma s Gb zeta=1/(20^0.5) sigma=2.7182^(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2)) ts=4/(zeta*(20^0.5)) phib=20/(s^2+2*s+20) [Gb]=solve('20/(s^2+2*s+20)=Gb/(1+Gb)',Gb) kv=limit(s*Gb,s,0) %计算校正器传递函数 n1=10; d1=conv([1 0],[0.5 1]); sope=tf(n1,d1); [mag,phase,w]=bode(sope); gama=45; [mu,pu]=bode(sope,w); gamal=gama+5; gam=gamal*pi/180; alfa=(1-sin(gam))/(1+sin(gam)); adb=20*log10(mu); am=10*log10(alfa); ca=adb+am; wc=spline(adb,w,am) T=1/(wc*sqrt(alfa)); alfat=alfa*T; Gc=tf([T 1],[alfat 1]) %校验校正后连续系统性能 num1=[0 0 10];den1=[0.5 1 0]; num2=[0.3774 1];den2=[0.05 1]; s1=tf(num1,den1); s2=tf(num2,den2); s=s1*s2; sys=feedback(s,1); figure(1) step(sys) grid figure(2) [Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s) margin(s) grid %零阶保持器法离散化D(s) dnum1=[0.3774 1];dden1=[0.05 1];Ts=1; sysc1=tf(dnum1,dden1); sysd2=c2d(sysc1,Ts,'zoh') %校正后离散系统单位阶跃响应(零阶保持器法) dnum1=[7.548 -6.548];dden1=[1 -2.061e-009];Ts=0.1; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[10];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2); sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2; sysbd=feedback(sysd,1); [dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:1:30; y=dstep(dnum,dden,t); stem(t,y,'r','filled') grid 附录2 %输入为单位阶跃函数时输出响应 dnum1=[2.72 -1];dden1=[1 0.718];Ts=0.5; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2); sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2; sysbd=feedback(sysd,1); [dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:5 y=dstep(dnum,dden,t) stem(t,y,'r','filled') grid %输入为单位速度函数时输出响应 dnum1=[5.44 -4.722 1];dden1=[1 -0.282 -0.718];Ts=0.5; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2); sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2; sysbd=feedback(sysd,1); [dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:.5:6;u=t; y=dlsim(dnum,dden,u); stem(t,y,'r','filled') axis([0,6,0,6]) grid � EMBED Equation.3 ��� Gc(z) HG(z) D(z) H0(s) G(s) Y(s) R(s) Y(z) _1296816986.unknown _1296817034.unknown _1296817042.unknown _1296817051.unknown _1296817055.unknown _1296817059.unknown _1296817061.unknown _1296817063.unknown _1296817065.unknown _1296817066.unknown _1296817064.unknown _1296817062.unknown _1296817060.unknown _1296817057.unknown _1296817058.unknown _1296817056.unknown _1296817053.unknown _1296817054.unknown _1296817052.unknown _1296817047.unknown _1296817049.unknown _1296817050.unknown _1296817048.unknown _1296817045.unknown _1296817046.unknown _1296817044.unknown _1296817038.unknown _1296817040.unknown _1296817041.unknown _1296817039.unknown _1296817036.unknown _1296817037.unknown _1296817035.unknown _1296816994.unknown _1296817030.unknown _1296817032.unknown _1296817033.unknown _1296817031.unknown _1296817028.unknown _1296817029.unknown _1296816995.unknown _1296816990.unknown _1296816992.unknown _1296816993.unknown _1296816991.unknown _1296816988.unknown _1296816989.unknown _1296816987.unknown _1296816969.unknown _1296816978.unknown _1296816982.unknown _1296816984.unknown _1296816985.unknown _1296816983.unknown _1296816980.unknown _1296816981.unknown _1296816979.unknown _1296816974.unknown _1296816976.unknown _1296816977.unknown _1296816975.unknown _1296816972.unknown _1296816973.unknown _1296816970.unknown _1296816971.unknown _1296816961.unknown _1296816965.unknown _1296816967.unknown _1296816968.unknown _1296816966.unknown _1296816963.unknown _1296816964.unknown _1296816962.unknown _1296816957.unknown _1296816959.unknown _1296816960.unknown _1296816958.unknown _1296816955.unknown _1296816956.unknown _1296816954.unknown