圆锥曲线交点弦的一个定值问题

上海中学数学 ·2012年第4期 圆锥曲线交点弦的一个定值问题 201600 上海师范大学附属外国语 中学 曾 铮 苏有马 最近有幸拜读文[1]，发现其中所选几道例 题在圆锥曲线中具有推广价值，并且其中-有些 研究成果已见诸报刊杂志。笔者就其 中例 1所 做的一些研究进行了思考． 圆锥曲线中的定值问题一直是高考中的热 点、难点问题，在全国各地每年的高考数学 COS +2 a ． COS +2 COS 口 ’ COS ≥ ( +2)COS a sin a ． sin 8 ’ +cos。 coS2卢+⋯-}-COS2／~ n个 sinn +ea+ sine／?+sine／? _ +．．．+sine]? 由上两式相加得：n+2= ( 姜 + ) ≥ +2_ 这说明上述三个不等式 同时取 等号，有 COSn+20 ~一c。s2p，案 一sidfl fi~gf，即有COSn 口 ’ 万一 ’RI 伺 ～ ：cosn+2／?，sinn+Z0~一sin + p成立．从而有 CO S n~ +紫 cosn~sln' cos+ SIN-l_ a 5．已知 sec 4ot 一 ta n4a 一 1，求证： s e c。41 。 ~ 一 tan ~／?一1 ． tan 证 明：由条件知点 P(sec。a，tan a)，Q(sec p，tan2 都在双曲线 而一石Y 一1上，过点Q 的切线方程为 --y=1，而点 P又在切线 —Y 一1上，由切点的唯一性可知，点 P与点Q必重 合，故 sece~ sec。 ，tane a tan2 ’· 一 tan tan ： 4 ／?：1成立 ． 6．已知 一 cot~a_l，求证 ： CSC2一砒cot~／? 证明：由条件知点 P(CSC a，cot a) Q(CSC ／?~cot2 都在双曲线 一 y 一1上，过点 Q 中或多或少都会出现它的身影，并且有些试题 因解法独特，结论优美，具有一定的推广价值而 成为后继命题者和广大师生研究的目标．如： 2004年北京理科第 17题：过抛物线 Y。= 2px( >0)上一定点 P( 。， )( >0)作两条 直线分别交抛物线于A( ，Y。)，B(z ，Y )．(1) 的切线方程为 — 1，而点 P又在切 线 —Y 一1上，由切点的唯一性可知，点 P与点 Q必重 合，故 csc2a CSC2／?,cot2-cot。 一 一1成立． 7． S(~C30 一 tan30 1( a，0为锐角)，试证 ： sec a tana CSC。0 cot。0 ， 一 = l CSC~t cota 证明：因为 —sec—30 一 _ tana0 一 sec2 0一 tan2 0， — Sec — 30 一 — tan — 30 一 sec2 a 一 tan2 口 ， ． · ． seca tana — sece0(see — 0--seeR) 一 — tan2O(tan — O--tana) (1) seca tana — sec3O-- — sec3~ ： — tan3O-- — tan~a (2) · seca tana 由(2)÷(1)整理得：—se—ceO — + — se cO se ca — + 一 secza 一 — tanz — O+ — ta nOta na 一 + tanza ， 即 sec2a 一 tan2a SeC 0 + tan2 ⋯ ta 日 。 sec0一 tanO—O，．。·( sec0一 taro)( + +1) 一 -U⋯(一 )( 十 ) 一o．因为 a， 为锐角，··· Se Cff— tan a：0 一 旦 一o sim — sin a：0 ． }i)]：1~csd0 一 — cot — a0：CsC2O--cote0一l ．—CSC—30 一 — cot — s0 1 ． 参考文献 [1]敬加义，余胜蓝．运用向量夹角巧解代数问题 [J]．数学教学研究，2010，i0． [2]贾士代，翟连林．高中数学巧妙解法400例[M]． 北京：北京教育出版社，1993． Es]罗增儒．数学解题学引论[M]．陕西：陕西师范 大学出版社 ，2008． 上海 中学数学 ·2012年第 4期 2 7 求该抛物线上纵坐标为鲁的点到其焦点F的距 离；(2)当 PA、PB的斜率存在且倾斜角互补 时，求 ±丝 的值，并证明直线 AB的斜率是非 零常数． 解 ：(1)略； (2)证明：因为 P( 。，Y。)在抛物线 Y 一 2px上，所以Y：一2px，设直线 PA方程为 一走 ( —Y。)+z。，代人 Y =2px得Y =2p[k(Y— yo)+ 。]，整理得 Y 一2pky+2pkyo一2px。一0． 设 A( ，Y )，因为点 P(x。，Y。)在直线 PA上， 由根与系数关系得： 一—2p — ky o 一 --y~ 一 2pk一 ， 又直线 PA的斜率与 PB的斜率互为相反数，在 上式 中以 一k代 矗，同理可得 Y =2pk—Yo， 一 _ _-- 2yo 一一2，所以直线 AB的斜率为： o o k邶 一 Y2--Yl= ： 2p 一 2p 一 2户 2 一 ，即直线AB的斜率为常数一 ． 评析：由解答过程易知，对于所有 的抛物 线，本题的结论具有一般性．即： 性质 1 对于抛物线 Y 一2px(p=／：O)，点 A (z。，Y。)为抛物线上任一点 ，直线 AE、AF分别 交抛物线于E、F两点，若直线 AE与AF的斜 率存在且互为相反数，则直线 EF的斜率为定 值一上． 若抛物线方程变为 -z 一2py( ≠0)时，则 直线 EF的斜率为定值一 ． p 圆锥曲线在许多性质上是一致的，对于其 他圆锥曲线，是否都具有这样一个统一的性质 呢?下面笔者就把所得到的几个结论呈现给大 家． 性质 2 对于椭圆 x-T y：1(n>6>0)，点 A(xo，Y。)是椭圆上任一点，直线 AE、AF分别 交椭圆于E、F两点，若直线 AE与AF的斜率 存在且互为相反数，则直线 EF的斜率为定值 b Itfo 口 Yo 证明：因为A( 。，Y。)在椭圆上，所以等+ 詈一1，即52X +d Yj—n b2，设直线AE方程为 一 惫( —z。)+ ，代人 + 一1，得 + — Ek — (x — - — x o ． )+ — 一 Yo]2—1，即 b2 z+口z[志( — 。)+ Y。] ：口2b2，整理得(b2+n k )32。一(2a。k2-1ro+ 2a ky。) +(n。k ：一2a kx。 。+6 z：)=0，设 E (z ，y )，点 A(x。，Y。)在直线 AE上，由根与系 数关系得 =丝 -- kx。-4-Y。，又直线 AF的斜率与AE的斜率互 为相 反数 ，在上 式 中以 一k代 k，可得 3；F = 竺兰 至 孚± ， 一一是 ，+忌 。+ ，b2 k +n ’ 。 。 、 。 。 。 ’ 所以 直 线 EF 的 斜 率 惫 一 YF=-- YE 一 LrF)+ 一 一 是 —— _ 一——■ 巫■一 +n k。 -- 2a k。 +2EkXo+262 +2 4a kyo 4 疋骱 4a。kyo 篆，即直线EF的斜率为定值 ． 若椭圆方程为 yZ TX z一1(a>6>o)，则直 线 EF的斜率为定值 ． D—V 性质 3 在双曲线 ～ 一1中，点 A(x。， Y。)是双曲线上任意_点，直线 AE、AF分别交 双曲线于E、F两点，若直线 AE与AF的斜率 存在且互为相反数，则直线EF的斜率为定值一 口 Yo’ 结论的证明方法与椭圆中结论的证明方法 相 同，略． 若双曲线方程为 一 一1时，则直线 EF 的斜率为定值一 ． 以上圆锥曲线的共同性质形式简洁，富有 共性，具有较强应用价值，在高考中多次出现， 如 ： 2009年辽宁理科高考题：已知，椭圆C过点 Af1，号)，两个焦点为(一1，o)，(1，o)． (1)求椭圆 C的方程； (2)E、F是椭圆 C上的两个动点，如果直 线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明： 直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值． 22 上海中学数学 ·2012年第 4期 探索运算推理能力的培养 314500 浙江省桐 乡市凤呜高级 中学 王晓燕 314500 浙江省桐 乡市职业教育中心学校 宋 凯 数学运算推理能力是从运算对象不同来说 的，要培养学生各种运算推理能力，首先要学生 掌握各种运算的有关知识 ，并且在运算过程中， 还有运算的准确程度、快慢程度、合理程度以及 简捷程度的不同．这些方面的区别会反映出运 算推理能力的大小．要学生具有正确、迅速的运 算推理能力，就不能停留在只是了解一些有关 运算的知识，还要善于分析运算对象的性质和 特点，善于运用运算规律和法则，才能灵活地运 用变换运算程序，选用最优运算的方法；还要有 熟练的运算技能，才能准确地、迅速地进行运 算，求得结果 ；在运算过程中，还要善于思考，会 运用逻辑方法进行推理，才能使运算正确合理． 在新大纲实践能力的培养上提出运算推理 能力的大小包括掌握运算知识的深刻程度、运 用运算知识的熟练程度以及逻辑思维能力和运 算操作能力等方面的因素，要提高学生的运算 推理能力，必须对上列各因素进行全面的、足够 的训练． 力的培养要求在逐渐提高，运算推理能力也在 创新意识下不断发展着．在教学第一线的数学 老师们，亲身体验到学生“听懂了自己不会做”、 “会做了就是做错”、“答对了却又不完整”等令 学 生很是烦恼的问题． 从知识和能力的关系来看，知识是指人们 对事物的认识，是以前经验的总结 ，而能力则主 要指完成一定活动的本领，包括完成一定活动 的具体方式，以及顺利完成一定活动所必需 的 心理特征．首先，人的知识与能力是有区别的． 其次，要认识掌握知识与发展能力是相互联系， 相互约束的．再次，运算推理能力的形成比知识 的获得要慢． 从当前时代特征来看，如果学生在学校掌 握现成的知识，而面对现今高考指挥棒和高校 的应试体制，极强的运算推理能力将体现教学 的效果，将对学生有重要的要求；运算推理的能 力也从某方面体现了数学逻辑思维能力 的强 弱． 1．培养数学运算推理能力的必要性 2．数学运算推理能力的培养 从数学教学 目的来看，在建国以来的大纲 里，在“双基”的同时，第一次明确提出了要培养 运算推理能力、逻辑思维能力和空间想象力．作 为三大数学能力的首要能力，运算推理能力得 到了充分的认识和重视，并且在数学教学 中，能 解：(1)易得椭圆方程为 + =1； ‘士 (2)由“性质 2”可确定“a 一4，b2=3， 。一 0 1，Y。=÷”，利用“性质2”的解题方法直接得到 厶 厶 2 ～ 1 直线EF的斜率为定值 一÷． “ 3'0 厶 由此，可作进一步思考，若经过圆锥曲线上 一 定点的两条直线的倾斜角互补，则这两条直 线与圆锥曲线的交点弦过定点．那么当这两条 直线的倾斜角的和为定值时，这两条直线与圆 锥曲线的交点弦是否仍过定点呢?篇幅所限， 不再赘述． 数学运算推理能力的培养受许多方面的影 响，必须对多个因素进行全面的训练． 2．1 加强概念、命题的教学来培养提高运 算推理能力 要使运算正确而又迅速，当然要多练习，常 圆锥曲线在形状和性质上虽然具有较大差 异，但它们在某些性质上具有一致性，所运用的 解决方法也都相同，若我们在 日常工作 中能多 进行一些反思性教学，注重由特殊到一般 ，由一 类圆锥曲线向其它圆锥曲线推广，就可以避免 陷入繁杂的题海战术，起到举一反三、融会贯通 的效果．既明确了解题方向，又养成了较强的探 究能力，在解题中会起到事半功倍的效果． 参考文献 [1]张乃贵．抛物线的一个性质与一组探索性问题 [J]．数学通讯，2011，5～6．