指数稳定与Lyapunov函数偶

第 29卷 第 9期 2011年 9月 河 南 科 学 HENAN SCIENCE Vol.29 No.9 Sep. 2011 收稿日期：2011-05-11 基金项目：国家自然科学基金“非线性不连续系统的稳定与镇定”资助（60874006） 作者简介：唐风军（１９７１-），男，山东平度人，博士后，研究方向为非线性系统理论与应用 . 文章编号：1004-3918（2011）09-1017-04 指数稳定与 Lyapunov函数偶 唐风军 1， 李晓楠 2， 焦玉兰 2 （1. 北京师范大学 数学科学学院，北京 100875； 2. 信息工程大学 理学院 数理系，郑州 450000） 摘 要：给出了上半连续的微分包含与指数稳定的关系是当且仅当存在一个光滑的 Lyapunov函数偶 . 关键词：指数稳定；微分包含；Lyapunov函数 中图分类号：O 231.2 文献标识码：A 稳定性理论在非线性控制系统的理论分析和工程应用方面扮演着一个重要角色 ． Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法是稳 定性理论中的一个重要方法 ． 文献［１］对于一般系统 x觶= f（x（t））， （１） 运用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法对于解的稳定性，一致渐近稳定，指数稳定等给出了一些相关的定理和逆定理 ． 文献［２］ 分析了 x觶∈F（x（t））， （２） 这里 x∈ n，F是一多元函数，F（x）是 n的一个子集，且 F满足如下假设： （Ｈ１）对任意 x∈ n，F（x）是 n的一个非空紧凸子集 ． （Ｈ２）F上半连续，即给定 x∈ n，对任意 着>0存在 啄>0使得 │x-x觶│<啄=圯F（x觶）哿F（x）+EB， 此处 B示单位球 ． 文献［２］在 F强渐稳时，构造出了一对光滑的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数偶（V，W），其中 V∈C∞（ n），W∈C∞（ n\｛0｝）， 且它们满足 （Ｌ１）对所有的 x≠0，有 V（x）>0，W（x）>0，V（0）=0 ． （Ｌ２）对任意 a≥0，｛x∈ n ∶V（x）≤a｝是有界集 ． （Ｌ３）maxV∈F（x）< 驻 V（x），V>≤-W（x），坌x≠0 ． 本文从微分包含的指数稳定出发构造出了一对满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数偶 ． 主要结论 定义 １ 如果对于微分包含（２）的任意解 x（t，t0），x（t0）=x0，均存在 姿>0，琢>0，使得 │x（t，t0）│≤姿│x0│e -琢（t-t0） 成立，则称（２）是指数稳定的 ． 定理 １ F满足假设（Ｈ），则 F指数稳定的充分必要条件是存在一对 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数偶（V，W），且（V，W）， 满足 （Ａ１）存在 姿1，姿2，琢>0使得姿1│x│琢≤-V（x）≤姿2│x│琢． （Ａ２）W（x）≤姿3│x│琢，姿3>0 ． 下面我们通过一步步的构造来证明该定理 ． 命题 １ 设 F满足假设（Ｈ），且 F在 n\｛0｝上是局部 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ，则若 F指数稳定，就存在一对局部 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数偶（V，W）． 设 y（t，x），y（0）=x为（２）的解，令 第 29卷 第 9期河 南 科 学 V（x）=supy（0）=x +∞ 0乙│y（t，x）│2 dt， W（x）=│x│2 ． 我们现在来证明这样定义的（V，W）满足命题 １的要求 ． 对任意 M>1，令 Rk=Mk，则显然有 （0，＋∞）=∪%ｋ＝＋∞［Ｒｋ－１，Ｒｋ］ｋ＝－∞ ． 命题 ２ 设 F满足假设（Ｈ），F指数稳定，则对于任意的 c∈（0，1M），存在连续函数T 軌 ∶ n→（0，+∞），使得 对（２）的所有解 y（t），y（0）=x有 │y（t）│≥c│x│， 坌t∈0［0，T軌］． 证明 设 y（t），y（0）=x，（Rk-1≤│x│0均有 │y（t）-y（t軇）│≤pk│t- t軇│． 设 t%k=（1-Mc）Rk-1pk ，则对 t∈［0，t%k］有 │y（t）│≥│y（0）│- t%k pk≥Rk-1-（1-Mc）Rk-1=cRk≥c│x│． 不失一般性，可设 k≤0时 t%k严格递增，k≥0时 t%k严格递减 ． 令t軇（r）=t%k，r∈［Rk-1，Rk］则必存在严格单调递减的连续函数 t（r）≤t軇（r），且有 t（0）=0 ． 令T軌（x）=t（│x│）， 就是符合要求的函数 ． 进而，我们不难得到： 命题 ３ 设 F满足假设（Ｈ），F指数稳定，则任意的 c∈（0，1M），对（２）的所有解 y（t）·y（0）= 1 M2n x（Rk-1≤ │x│0使得姿1│x│2≤V（x）≤姿2│x│2 ． 证明 １）由于 V（x）≤ +∞ 0乙 姿2│x│2e-2琢tdt= 姿2琢│x│2，因此令 姿2= 姿 2 2琢即可 ． ２）由命题 ２和命题 ３，令 c= 1M2 ，则有 V（x）≥ n=+∞ n=0 移 （1-cM）Rk-1-2npk-2n 0乙 c% 2│x│%2 M%4n dt=│x│%2 n=+∞ n=0 移（M%%-4n-4 -M%%-4n-5）Rk-1-2npk-2n ， 由命题 ２的证明知道 Rk-1-2npk-2n 是有界序列，故级数 n=+∞ n=0 移（M%%-4n-4 -M%%-4n-5）Rk-1-2npk-2n 收敛，因此必存在正数 姿1>0，使得 V（x）≥姿1│x│2 ． 引理 1 设 F满足假设（Ｈ），则对于任意序列 啄k→0和［ａ，ｂ］上的绝对连续且一直有界的函数 xk（t）若有 x觶 k（t）∈co F（xk（t）+啄k B軍）+啄k B軍， 则必定存在子序列 xki（t）在［ａ，ｂ］上一直收敛到（２）的某个解 x（t）． 证明参考文献［３］． 命题 5 对任意 x∈ n，存在（２）的一个解y軇（t），y軇（0）=x使得 V（x）= +∞ 0乙│y軇（t）│2 dt ． 证明 设 yk（t），yk（0）=x是（２）的一列解，且满足 +∞ 0乙│yk（t）│2 dt→V（x）． 1018- - 2011年 9月 唐风军等：指数稳定与 Lyapunov函数偶 由于│yk（t）│≤姿│x│，因此它一致有界，由引理 1，不失一般性，可设 yk（t）点点收敛到y軇（t）再由控制收敛定理 可得 limk→+∞ +∞ 0乙│yk（t）│2 dt= +∞ 0乙│y軇（t）│2 dt→V（x）． 命题 6 任意 x∈ n，V（x）上半连续，V（x）在 0处连续 ． 证明 考虑 n中任意收敛到 x的序列 xk，由命题 ６，对每个 k，存在（２）的一个解 xk（t），xk（0）=xk满足 V（xk）= +∞ 0乙│xk（t）│2 dt， 再次根据一致有界性，引理 1和控制收敛定理可得 lim k→+∞ sup V（xk）= +∞ 0乙 limk→+∞│xk（t）│2 dt= +∞ 0乙│x（t）│2 dt≤V（x）， 即得 V（x）的上半连续性 ． 对于任何收敛到 ０的序列 xk，显然 0≤limk→+∞sup V（xk）≤V（０）=0， 即 V（x）在 ０点连续 ． 命题 7 （V，W）满足（Ｌ３）． 证明 设 v∈F（x），x≠0，对每个 y，令 g（y）=仔F（y）（v），即 d（v，g（y））=infz∈F（y）d（v，z）， 显然 g（x）=v，由于 F满足局部 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，故 g ∶ n\｛0｝→ n是连续函数 ． 设 x（t），x（0）=x是x觶（t0=g（x（t））的 解，显然它也是微分包含（２）的解 ． 因此对足够小的t有 x（t%）=x+t v+o（t）． 固定 t，由命题 ６，设x軇（t），x軇（0）=x（t%）是（２）满足 V（x（t））= +∞ 0乙│x軇（t）│2 dt 的解 ． 现在定义函数 z ∶［０，＋∞］→ n，z（t）=x（t），当 0≤t≤t时；z（t）=x軇（t-t）当 t≥t时 ． 显然，z（t）也是（２）的解， 且 z（０）=x，因此 V（x）≥ +∞ 0乙│z（t）│2 dt= t 0乙│x（t）│2 dt+ +∞ t乙│x軇（t-t）│2 dt= t 0乙│x（t）│2 dt+ +∞ 0乙│x軇（t）│2 dt， 这样就有 V（x（t））-V（x）≤- t 0乙│x（t）│2 dt， 进而对于足够小的t可得 V（x+t%v+o（t%））-V（x） t% ≤- t 0乙│x（t）│2 dt t% ， 即 D（V（x；v）≤-│x│2 =-W（x）． 由 v的任意性知（Ｌ３）成立 ． 命题 ９ 设 F具有全局 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数 K，且 琢>K，则 V在 n上是 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数 ． 证明 设 x（t），x（0）=x是（２）的解，且满足V（x）= +∞ 0乙│x（t）│2 dt ． 设 g（t，y）=仔F（y）（x觶（t））则y觶=g（t，y）的解 y（t）， y（0）=y显然也是（２）的解，因此有 │x觶（t）-y觶（t）│=d（x觶（t），F（y（t）））≤K│x（t）-y（t）│． 运用 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式可得 │x（t）-y（t）│≤eKt│x-y│， 1019- - 第 29卷 第 9期河 南 科 学 因此 │V（x）-V（y）│≤│ +∞ 0乙（│x（t）│2 -│y（t）│2）dt│≤ +∞ 0乙（│x（t）+y（t）│）│x（t）-y（t）│dt≤ +∞ 0乙 2姿e-琢t eKt│x-y│dt≤ 2姿琢-K│x-y│． 所以 V在 n上是 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数 ． 将前面的各个引理和命题综合起来就是定理 １的证明 ． 参考文献： ［１］ Ｈａｓｓａｎ，Ｋｈａｌｉｌ. Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ sｙｓｔｅｍｓ tｈｉｒｄ ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］. Ｎｅｗ Yｏｒｋ：Ｍａｃｍｉｌｌａｎ，1９９２． ［２］ Ｃｌａｒｋｅ Ｆ Ｈ，Ｌｅｄｙａｅｖ Ｙ S，Ｓｔｅｒｎ Ｒ Ｊ． Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｍｏｏｔｈ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［J］. Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， １９９８，149：６９－１１４． ［３］ Ａｕｂｉｎ Ｊ Ｐ，Ｆｒａｎｋｏｗｓｋａ Ｈ. Ｓｅｔ－ｖａｌｕｅｄ aｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］. Ｂｏｓｔｏｎ：Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，１９９０． Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ Ｓｔａｂｌｅ ａｎｄ Ｌｙａｐｕｎｏｖ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｐａｉｒ Ｔａｎｇ Ｆｅｎｊｕｎ1， Ｌｉ Ｘｉａｏｎａｎ2， Ｊｉａｏ Ｙｕｌａｎ2 （1. Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ 100875，Ｃｈｉｎａ； 2. Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００00，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：The ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｕｐｐｅｒ ｓｅｍｉｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｍｕｌｔｉｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｓｍｏｏｔｈ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｉｒ are established． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：eｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ sｔａｂｌｅ； ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ iｎｃｌｕｓｉｏｎｓ； Lｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 1020- -