圆内接多边形定周长的面积最大值问题

第23卷第1期 武 汉科 技大 学学 报 ( 自 然科 学版 ) Vol. 23, No. 1 2000年3月 J. of Wuhan U ni. of Sci. & Tech. ( Natural Science Edit ion) Mar. 2000 　　收稿日期: 1999- 10- 18 　　作者简介:舒阳春( 1957- ) ,男,武汉科技大学澳曼特国际学院,副教授. 　　文章编号: 1001- 4985( 2000) 01- 0105- 03 圆内接多边形定周长的面积最大值问题 舒 阳春 (武汉科技大学澳曼特国际学院, 武汉, 430081) 摘要: 推广了经典的圆内接三角形面积最大值问题。运用分析的方法给出了圆内接三角形定周长的面积最大 的三角形为等腰三角形, 并且给出了周长和面积最大值的不等式关系。将此结果推广到圆内接多边形的情况, 得到了在周长为定值的条件下圆内接 n 边-多边形中,面积最大的 n 边形最多只有两种不同的边长。 关键词: 定周长;面积; 最大值 中图分类号: O186　　文献标识码 : A 　　众所周知, 圆内接三角形的面积最大时的形 状为等边三角形[ 1]。本文讨论的是如果圆内接三 角形的周长为一定时, 要使其面积为最大, 它的形 状应该是什么形状呢?直观上说,应该是等腰三角 形。经查询, 教科书或资料中尚无这个结果。原想 用初等数学的方法去解决, 但是没有成功。本文利 用微积分的方法证实了猜想的正确性。经过研究 得到了如下的结果。 定理1　设圆的半径为 R, 周长 S 为定值 l 的 内接三角形, 当 S的面积最大时, S 形状为等腰三 角形; 记最大面积为 Smax ,进一步, 此时三角形的 周长与其面积有如下关系: Smax = 4R2t 2( a/ 2 - t ) 其中: a= l / 2R; t满足方程: 4t 4 - 4at + a2 = 0 　　证明: 如图1所示, 设三角形△A BC 是半径为 R 圆内的内接三角形,它的周长为 l; 三角形的三 条边对应的圆心角分别是 x , y, z。我们要求的面 积最大值问题可以示如下: 约束条件为 2R( sin x 2 + sin y 2 + sin z 2 ) = l ( 1) x + y + z = 2� ( 2) 求 S = 1 2 R 2( sinx + siny + sinz) ( 3) 在上面约束条件下的最大值问题。我们利用拉格 朗日乘数法[ 2] ,记 F= 1 2R 2( sinx+ siny+ sinz ) + �( 2R( sin x 2 + sin y 2 + sin z 2 ) - l ) ( 4) 图1　圆内接三角形 将 z= 2�- x - y 代入式( 4) ,得: F = 1 2 R 2 ( sinx + siny - sin( x + y ) ) + �( 2R( sin x 2 + sin y 2 + sin x + y 2 ) - l ) 对 x , y 求偏导数,得: F ′ x = 1 2R 2 ( cosx - cos( x + y ) ) + �R ( cos x 2 + cos x + y 2 ) F ′ y = 1 2 R 2( cosy - cos( x + y ) ) + �R ( cos y2 + cos x + y2 ) 令 Fx= 0, Fy= 0, 得: 1 2 R 2 ( cosx - cos( x + y ) ) + �R( cos x 2 + cos x + y 2 ) = 0 ( 5) 1 2R 2 ( cosy - cos( x + y ) ) + �R( cos y 2 + cos x + y 2 ) = 0 ( 6) 由式( 5) ,式( 6)得: 1 2 R 2 ( cosx - cosy ) + �R( cos x 2 - cos y 2 ) = 0 ( 7) 将上式因式分解, 得: cos x 2 - cos y 2 = 0 或 R ( cos x 2 + cos y 2 ) + �= 0 如果 cos x2 - cos y2 = 0 我们得到 x = y ;若不然,则有: R ( cos x 2 + cos y 2 ) + �= 0 将此式代入式( 5)并化简,得: ( cos x 2 + cos x + y 2 ) ( cos y 2 + cos x + y 2 ) = 0 　　如果 cos( x / 2) + cos( x+ y ) / 2= 0,我们得到 x+ y / 2= �,代入式( 2)得: z+ y / 2= �,由此可得: x= z ; 如果 cos( y / 2) + cos( x+ y ) / 2= 0, 同理可 得: y= z ;因此, △ABC为等腰三角形。进一步, 我 们来讨论上述的圆内接三角形 S 达到面积最大 时,其周长与面积的关系。不失一般性,设三角形 相等的两条边对应的圆心角是 x = y ,由式( 1)、式 ( 3)两式得: Smax= ( 1/ 2) R2 ( 2sinx - sin2x ) , 其中 的圆心角 x 满足: 2sin x 2 + sinx = l 2R ( 8) 　　令 t= sin( x / 2) , a= l/ 2R ,得: Smax= 4R2 t2 ( a/ 2 - t ) ,其中 t满足: 4t 4 - 4at + a2 = 0 证毕。 值得注意的是: 由于 t满足方程的解不一定 唯一,所以满足定理1条件的三角形的形状虽然都 是等腰的,但是形状可能不一样。在实际中, 究竟 哪一个 t对应的是面积的最大值,还需要验证。下 面我们来看一个具体的例子。 例1　设半径为 R 的圆内接三角形的周长为 l= 2R( 1+ 2 ) , 那么当此三角形为等腰直角三 角形时,所得到的三角形的面积最大,其面积为 Smax = R 2 　　解:设 x= y ,利用式( 8) ,知 x 满足: 2sin x 2 + sinx = 1 2R = 1 + 2 ( 9) 显然, x= �/ 2是该方程的一个解。从而 x + y= �; 由定理1证明中的图形知, ∠A = �/ 2。这个直角三 角形的等腰的直角边长显然是 2 R ,因此 S = R 2。 因为满足式( 9)的解并不唯一,故到此问题并 没有完全解决。根据求导数的判断,我们知道函数 f ( x ) = 2sin x 2 + sinx = 1 + 2 在[ 0,�]恰有两个实根。我们还需要看另一个根的 情况。令 t= sinx / 2,由式( 9)得: 4t 4 - 4( 2 + 1) t + ( 2 + 1) 2 = 0 ( 10) 因为已知: t= 1/ 2 为方程( 10)的一个解, 代入 方程( 10)并且作因式分解, 得: ( t - 1 2 ) [ 2 + 1 - ( t + 1 2 ) ( t 2 + 1 2 ) ] = 0 ( 11) 那么方程的另一个根满足: t 3 + 1 2 t 2 + 1 2 t - 1 - 3 2 4 = 0 ( 12) 利用 EXCEL 中的 GOAL SEEK [ 4]求得方程的近 似解为: t= 0. 9695,因此对应的面积为 S = 4R 2t2 ( a 2 - t) = 4R20. 96952( 1 + 2 2 - 0. 9695) = 0. 8993R2 综合上述,可以断定,所求的三角形为直角等腰三 角形,且其最大面积 Smax= R2。 推论1　设半径为 R 的圆内接三角形的周长 为 l , Smax表示该圆内接周长为 l的三角形中面积 最大的,那么此时三角形的面积与其周长有关系 Smax≤( 1/ 4) Rl, 其中等号是当且仅当 l= 3 3 R 时成立。 证明:根据定理1, Smax所对应的三角形为等 腰三角形,设 x= y ,由式( 8)得: Smax l = R 4 4cos x 2 ( 1 - cos x 2 ) 0 < cos x 2 < 1 利用微分求导知: 106　　　　　　　　　　　　武汉科技大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　2000年第1期 cos x 2 ( 1 - cos x 2 ) ≤ 1 4 从而Smax≤( 1/ 4) R l,等号当 cos x 2 = 1 2 时成立, 由 此知等号成立时, x = 2�/ 3;从定理1证明的图形 中知, x 是∠C 的2倍, 从而∠C= �/ 3;又由 x = y , 同理, ∠B= �/ 3, 因此, Smax所对应的三角形为等 边三角形。对于等边三角形, 显然有 l= 3 3 R, 反之, 如果 l = 3 3 R, 由式( 8)得2sin ( x / 2) + sinx = 3 3 / 2, 此方程只有唯一解 x= 2�/ 3, 同 上段一样,可证得三角形为等边三角形。 证毕。 从上面的讨论我们猜测,满足定理1条件的等 腰三角形的形状只有一个, 但这需要进一步研究 证明。 对于圆内接多边形,我们有如下结果: 定理2　设半径为 R 的圆中,在满足定周长 的条件下的内接 n边-多边形中,面积达到最大的 n边-多边形最多只有两种不同长度的边长。 定理2的证明与定理1的证明完全平行, 所不 同的是需运用多元拉格朗日乘数法。故在此略去。 参 考 文 献 [ 1]　上海交通大学.高等数学习题分析[ M ] . 上海: 上海 科学普及出版社, 1993. 459. [ 2]　同济大学. 高等数学(下册) [ M ] .北京:高等教育出 版社, 1987. [ 3]　林渠源,等. 数学分析题集[ M ] .北京: 高等教育出版 社, 1986. 228. [ 4]　Gray B, Shelly Tomas J, Cashman M ist y E Vermat . M icr oso ft O ffice—Advanced Concept s and T echniques [ M ] , Melbourne, Thomson Publishing Company, 1995. Maximum Area of Inscribed Polygon with Constant Perimeter SH U Yang-chun ( WUST-RMIT International School, Wuhan Univ ersity of Science and Technolo gy , Wuhan 430081, China ) Abstract: Classical maximum area of inscribed triangle is extended in this paper. It is obtained that the inscribed triang le w ith constant perimeter is isosceles w hen using mathematical analysis to max imize it s area. Besides, an inequality of the max imum of area and perimeter is established, i. e. Smax≤( 1/ 4) Rl and maximum area of inscribed polygon in a circle w ith constant perimeter is given by theorem 2, which show s that there exist at most tw o dif ferent lengths of the sides for the polygon. Keywords: constant perimeter; area; maximum �发明简讯� 太阳能偏转式发动机 俄罗斯发明者科切特科夫提出的发动机利用太阳能加热,而在水里冷却。在固定支座上旋转 的转子轴套用双金属弹簧与轮缘相连。一个弹簧被水冷却并收缩,其余弹簧被热空气加热。当太阳 光用镜面集光器聚集到转子上或使烟囱排出的热气对准转子时,加热会增强。由于弹簧长度改变, 轮缘会相对转子转轴发生偏移。附加在力臂“e”上的重力形成沿顺时针方向的一个转矩,这时轮叶 会产生来自绝热管的水流。绝热管下端处在常冷的深水层中。这时消耗的能量非常少——仅仅使 水在水平方向移动。 当然,这种太阳能偏转式发动机不可能快速转动(传热非常慢) , 但是可以提供非常大的有效 转矩,因此具有很高的功率。 (摘自《世界发明》2000年第1期,周道其/文) 1072000年第1期　　　　　　　舒阳春:圆内接多边形定周长的面积最大值问题